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1、第3章 微商的应用,重点：求极值 难点：证明等式或不等式 微商的应用,3.1 微分中值定理,3.1.1 函数的极值与费马(Fermat)引理,函数极值的直观描述如图.,费马(Fermat)引理,f (x)f (x0).,3.1.2 微分中值定理,罗尔定理的几何意义是,在所给的条件下,曲线 y = f (x)至少有一条水平切线.,注意：罗尔定理的三个条件是结论成立的充分条件. 三个条件缺任意一个条件,定理的结论可能不成立.,确定方程根所在的区间,函数构造方法,练习 试证4ax3 + 3bx2 + 2cx = a + b + c在(0, 1)内至少有一个根.,拉格朗日(Lagrange)中值定理,
2、拉格朗日中值定理的几何意义是, 在所给的条件下, 曲线 y = f (x) 至少有一条切线平行于联结曲线端点的弦.,双未知数不等式,拉格朗日中值定理主要用来证明双未知数不等式.此时,结论中应含有如下形式,或者变形后含有如下形式,有些单未知数不等式虽然也可用拉格朗日中值定理来证明，但变形技巧难于掌握,更好的方法我们在下一节里介绍.,练习,有限增量公式,证明恒等式,由拉格朗日中值定理可得,3.1.3 微分中值定理的证明,罗尔定理的证明 在闭区间 a, b 上连续的函数一定存在最大值和最小值.下面分两种情况加以证明. 最大值与最小值相等.函数 f (x) 在a, b上恒为常数，常数的微商等于零,则罗
3、尔定理的结论成立.,拉格朗日中值定理的证明,3.2 用微商研究函数,3.2.1 函数单调性的判别法,练习 求下列各函数的单调区间.,驻点或微商不存在的点,都可用来划分函数的单调区间.,单调性证明不等式,从而,单调性证明不等式,证 将原不等式变形为,3.2.2 函数极值的检验法,取得极值的充分条件,证明(P126),取得极值的充分条件,证明(P128),3.2.3 曲线的凸性与拐点,拐点 (c, f (c),拐点的必要条件,由题设知 a + b = 2, 6a + 2b = 0,解之得 a = 1, b = 3.,拐点的充分条件,注意：二阶微商不存在的点，其曲线上对应的点有可能是拐点,如(0,0
4、)是曲线 y = x1/3的拐点.,练习 求曲线 y = 3x5 5x4 + 4 的拐点.,3.2.4 函数作图,例 作函数 y = xe x 的图形. 解 函数的定义域是(,)., 求y, y,并列表,y = xe x (,), 渐近线,函数作图, 渐近线 y = 0,3.3 最优化问题,3.3.1 最大值、最小值,假设函数 f (x)在闭区间a, b上连续,且 f (x)至多有有限个驻点和微商不存在的点.,注意：对于实际应用问题而言,若求得唯一驻点,该驻点就是最值点.,3.3.2 最优化问题,最优化问题,就是建立一个目标函数,再利用微商来求其最大值或最小值.,解 设每亩多种 x 株,则总产
5、量为 f (x) = (50 + x) (75 x), 0 x20. 问题归结为求目标函数 f (x)在0, 20上的最大值.,根据实际问题,x应取整数.,f (12)=3906 f (13)=3906,每亩种62株葡萄藤时,产量达到最高3906kg.,3.4 相对变化率与相关变化率,3.4.1 边际与边际分析(P143-146),了解经济学中的边际概念：,3.4.2 弹性与弹性分析,需求弹性分析,例 设某产品的需求函数为Q(p) = 75 p2, p为价格. 求 p = 4时的边际需求与需求弹性,并说明其经济意义.,其经济意义是,当价格从 p = 4上涨到 p = 5时,需求量会减少8个单位
6、.,其经济意义：需求变动的幅度小于价格变动的幅度.,收益弹性分析,例 设某产品的需求函数为Q(p) = 75 p2, p为价格. 当 p = 4, 6时, 若价格 p 上涨1%,总收益将变化百分之几？ p为多少时,总收益最大？,因此,当p=4时,价格p上涨1%,总收益将增加0.46%；当p=6时,总收益将减少0.85%.,因此,当 p = 5时,总收益最大.,3.4.3 相关变化率,如果变量 y 与变量 x 之间的关系由方程 f (x, y) = 0所确定,则将变量 x, y 都当作变量 t 的函数,方程 f (x, y) = 0两边对变量 t 求微商.,练习 (P150例6),3.5 洛必达
7、(LHospital)法则,3.5.1 洛必达法则,洛必达法则应用举例,运用洛必达法则比第1章的方法简单.,对的结果要有一个印象, 即x sinx, tanx x, x arctanx都与x3是x0时的同阶无穷小.,说明x时指数函数远远快于幂函数,幂函数远远快于对数函数.,洛必达法则注意事项, 在应用洛必达法则前,首先要检验条件是否满足. 洛必达法则可以连续使用., 洛必达法则完全失效的例子.,3.5.2 洛必达法则的证明,柯西(Cauchy)中值定理 若函数 f (x), g(x) 在闭区间a, b上连续， 在开区间(a, b)内可微， 则在(a, b)内至少有一点 ,使得,注意： 当 g(
8、x) = x时,即得拉格朗日中值定理；,结论可写成,洛必达法则的证明(P158),3.5.3 其他类型不定式的极限,练习 求下列极限.,结合等价无穷小与初等变形求极限,例 求极限,解 原式 =,1型的初等变换,涉及幂指函数的微商,结合变量替换求极限,为了利用 x0 时的等价无穷小,当所求极限是 x a 时可作变换 u = x a,把问题变成 u 0的形式. 当 x 时可用变换 u = 1/x. 另外根据具体的问题,也可作其它一些变换.,第3章 重要概念与公式,微分中值定理：罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理,最值点：实际应用问题中的唯一驻点即是最值点.,相对变化率 相关变化率,曲线的交点个数,把常量当作变量证明不等式,最大长度,解 如图所示,设,
