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1、第十三章,能量方法,储存在弹性体内的变形能等于外力所作的功，即:,功能原理,变形能,外力所作之功,13.1 概述,13.2 杆件应变能的计算,1 轴向拉伸或压缩,对于整个杆件，变形能为,应变能密度为,应变能密度,2 纯剪切,d 相应扭转角,3 扭转,变形能,对于无限小量dx ，外力偶所做的功为,整个圆轴的变形能为,dq 转角,4 弯曲,忽略剪力影响，无限小量dx的变形能为,整个梁的变形能为,应变能密度,线弹性体的应变能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。-克拉贝依隆原理,Fi 广义力,di 广义位移,13.3 应变能的普遍表达式,整个杆件的应变能,限制条件,以上各式必须满足的条件 *
2、 小变形 * 线弹性体,例 13-1,如图所示，简支梁受均布载荷作用，载荷密度为q ，梁长度为l ，常值刚度EI ，计算梁的变形能。,解 :,由梁的挠曲线方程为,(1),例 13-1,计算梁的变形能。,方法 1 先计算外力所做的功。,载荷作的功为,(2),将方程（1）代入方程（2），得梁的变形能为,(1),(2),方法 2 直接计算变形能,FP 力系,FS 力系,13.4 功的互等定理,功的互等定理证明,FP 力系,FS 力系,FP 力系,FS 力系,功的互等定理证明,功的互等定理 对于线弹性体，力系1在力系2所引起的位移上所作之功，等于力系2在力系1所引起的位移上所作之功。,特殊情况,Fi
3、i j = Fj j i,Fi,位移的互等定理,如果两个力数值相等，则Fi在点j沿Fj方向引起的位移，等于Fj在点i沿Fi方向引起的位移.,力和位移都是广义的。,13.5 卡氏定理,设di是第i个力Fi作用点处，沿Fi方向上的位移分量，假设di与F i是线性关系。,F1,如图所示，弹性材料构件上作用有n个外力Fi(i=1 n).,F2,Fi,Fn,以确定 di为目标.,n个力同时作用引起的变形能可写成各力的函数,卡氏定理,以确定 di为目标.,如果使载荷Fi增加一微量Fi ，相应的Fi作用点处沿Fi方向上的位移增量为di ，则变形能的增量为：,F1,F2,Fi,Fn,忽略高阶项,Fi,卡氏定理
4、,确定 di.,如果把所有力Fi(i=1 n)看作是第一组力系， Fi看作是第二组力系，则由互等定理有,So,或,这就是卡氏第二定理.,Fi 广义力,di 广义位移,F1,F2,F3,Fn,注意,这里的“力”是广义力，对于力矩，广义位移则是转角,卡氏定理可以用来计算结构（如桁架、梁、框架、板壳等）的位移，且不受外力或外力偶数量的限制。,另外可以计算任意点的位移或转角，即使该点没有外力或外力偶作用。,常用公式,横力弯曲,扭转,桁架,用卡氏定理计算悬臂梁截面A的位移和转角。,计算位移, 求导,A,L,F,EI,例 13-2,解:,计算弯矩, 计算 A,因为截面A处没有与A有关的力，假想的加上一个力
5、。,“-”意味着转角A方向与MA方向相反.,A,L,F,EI,计算转角, 对弯矩求导，然后令MA=0,计算弯矩,图示桁架在B点受力F作用，利用卡氏第二定理计算C点在垂直方向的位移。,例 13-3,C点不受外力作用，但可以在C点假想作用一外力F ，应用卡氏第二定理，在结果表达式中令F =0 ，从而求得垂直位移。,解:,求解内力:,变形能,使用卡氏第二定理,实际上并没有力F 作用，令F=0,假定桁架为轻质铝桁架，E=70GPa, 高度 Lo=1m,管状杆截面积为250 mm2. 当B点受载荷F=20kN作用时，求C点的位移。,由,将已知量代入方程可得,弹性体平衡,We= Wi,13.6 虚功原理,
6、弹性体平衡的充分必要条件是，外力在虚位移上所作总虚功，与内力在相应虚变形上所作总虚功相等。,外力虚功等于内力虚变形能。,虚功原理应用,A,A,计算A点位移A.,在A点沿A方向加载单位力。,将原有力系结构产生的实位移看作是单位力系的虚位移.,13.7 单位载荷法,根据虚功原理有,计算A点位移A.,A,A,- 莫尔积分公式,莫尔积分的统一表达式.,用这种方法可以计算任意点沿任意方向上的位移，该方法称为莫尔积分法、或莫尔原理、莫尔法，或单位力法、单位载荷法。,-外力在原结构上产生的内力,-只有单位力作用时原结构上产生的内力,如果杆的数量是2或大于2，且轴力为常值，则:,注意单位力的使用方法:,莫尔积
7、分法适用于线弹性结构.,必须分别在相同的,坐标系内，但是不同分段内可能有不同的坐标系。,和,单位力是广义力，可能是力或力偶。,单位力或单位力偶的值必须是1。,当单位力是一个力时，相应的是线位移。,当单位力是力偶时，相应的是角位移。,若要计算两点（横截面）之间的相对位移，应该在两点（横截面）分别施加两个单位力（力偶）。,相对线位移,图示刚架的自由端A作用集中载荷F。刚架各段的抗弯刚度已于图中标出。若不计轴力和剪力对位移的影响，试计算A点的垂直位移y及截面B的转角B。,例 13-4,解:,建立坐标系如图所示。,（1）计算A点的垂直位移。,AB段：,BC段：,使用莫尔定理计算：,AB段：,BC段：,
8、使用莫尔定理计算：,AB段：,BC段：,（2）计算B截面的转角。,在截面B上作用一单位力偶矩。,求解弯曲问题的莫尔积分公式,如果 EI=常数, 则,13.8 计算莫尔积分的图乘法,对于直杆, 必定是x的线性函数，因此,w是什么?,是什么?,dw,内力图面积.,内力图形心C处的单位力图的值.,莫尔积分图乘法公式,这里, 等截面杆 (EA、GIP、EI=常数).,实际上该公式也可用于求解轴向拉压和扭转问题，只是需要相应的改变内力和刚度。,使用该公式的先决条件,顶点,二次抛物线,几种常用图形的面积和形心位置,a,b,h,C,三角形,h,C,n次抛物线,几种常用图形的面积和形心位置,例 13-5,如图
9、所示的梁，已知抗弯刚度EI、载荷F 、长度l ，用图乘法计算自右端B的位移和转角。,解:,1) 计算B点位移,a) 建立单位力系,b) 画弯矩图,c) 计算,2) 计算B点转角,a) 建立单位力系,b) 画弯矩图,c) 计算,例 13-6,如图所示的梁，已知抗弯刚度EI、载荷密度 q 、长度l ，用图乘法计算自右端B的位移和转角。,B,解:,1)计算B点位移,a)建立单位力系,b)画弯矩图,c)计算,2)计算B点转角,a)建立单位力系,b)画弯矩图,c)计算,本章完,Example 10-10,如图所示的梁，已知抗弯刚度EI 、力偶m和长度l ，用图乘法计算中心截面C的位移。,Solution
10、:,1) 建立单位力系,Solution:,2) 画弯矩图,3) 计算,m,B,A,l,Example 10-11,如图所示的梁，已知抗弯刚度EI 、载荷密度q和长度l ，用图乘法计算梁的最大位移和最大转角。,Solution:,1) 计算最大位移,解:,C,A,B,Example 10-11,如图所示的梁，已知抗弯刚度EI 、载荷密度q和长度l ，用图乘法计算梁的最大位移和最大转角。,Solution:,2) 计算最大转角,Solution:,1,Example 10-12,钢架承受载荷如图所示，已知：BC段抗弯刚度为2EI ，AB段抗弯刚度为EI ，抗拉刚度为EA ，q, l. 求: 1)
11、 B点的水平位移. 2) 分析轴力对B点水平位移的影响。,Solution: 使用图乘法,1)计算只由弯矩引起的位移,在B点沿水平方向作用一单位力，建立单位力系。,?,在B点沿水平方向作用一单位力，建立单位力系。,画出由实际载荷引起的弯矩图。,为了计算曲线弯矩图面积和确定形心位置方便，应用叠加原理将集中载荷和均布载荷的弯矩图分别画出。,画出单位力产生的弯矩图,用叠加法计算,对于三角形截面,2) 将结果与考虑轴力影响的结果进行对比。,当 l/h10是，该比值为0.06. 这表明对于细长杆来说，忽略轴力影响的计算结果不会产生明显的误差。,变力所作的功,在外力作用下的弹性杆件将在力的作用点处产生位移
12、。 位移将随着力和变形的增大而增大。 这种情况下，力所做的功是变化的。,对于弹性杆，力所做的功为:,问题: 该公式的限制条件是什么?,0FP,变力所作的功,问题: 对于三种基本变形，功的表达式是什么?,当力保持常值不变时，力所做的功为:,需要注意的是，这里的力和位移都是广义的， FP可能是力或力偶. 当FP是力时，相应的和是线位移，当FP为力偶时，相应的和是角位移 。,常力所做的功,FP 力系,FS 力系,功的互等定理,FP 力系,FS 力系,功的互等定理 对于线弹性体，力系1在力系2所引起的位移上所作之功，等于力系2在力系1所引起的位移上所作之功。,B,C,例 13-4 使用能量法计算柱状梁上C点的位移和转角。,Solution: 1) 画出单位力图,2) 确定内力,3） 计算变形,4) 计算转角，新坐标如下所示,Example10-7 图示结构，已知E=210Gpa，G=0.4E，计算点B在垂直方向上的位移。,AB: 只有弯曲,AC: 只有扭转,Solution: 1)画单位力图,2) 计算内力,3. 计算变形,
