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1、,第七章 多目标及离散变量优化方法,一、多目标优化问题,二、多目标优化方法,一、多目标优化问题,1、概念,同时要求实现： 成本、重量、体积,利润、产量、承载能力,兼顾多方面的要求，则称为多目标优化问题。,一般地说，若有,个目标函数，则多目标优化,问题的表达式可写成：,称为向量目标函数。,表示向量极小化，,即向量目标函数中各个目标函数被同等的极小化的意思。,在多目标的优化模型中，还有一类模型是在约束条件下，各个目标函数不是同等的被最优化，而是按不同的优先层次先后地进行优化-分层多目标优化问题。,2多目标优化问题的特点,任意两个设计方案的优劣一般是难以判别的，在多目标优化问题中得到的是非劣解。,例
2、：求,，,对于两个单目标函数显然很容易分别求的其最优解，但是却无法求得两者共同的最优解。,3多目标优化问题解得可能情况,（1）最优解,（2）劣解,（3）非劣解,（4）弱非劣解或称弱有效解。,0,f2,f1, 1, 3, 2, 4, 6, 5,对于f1(x)，1最好，其次为3，2，4，5，6； 对于f2(x)，2最好，其次为3，1，5，4，6。 综合考虑，1，2，3为非劣解，4，5，6为劣解。,二、多目标优化方法,主要有两大类： 一类直接求出非劣解，然后从中选择较好解； 另一类是将多目标优化问题求解时作适当的处理。 重新构造一个函数（即评价函数），将多目标（向量）优化问题转变为评价函数的单目标（
3、标量）优化问题主要目标法、统一目标法。 将多目标（向量）优化问题转化为一系列单目标（标量）优化问题来求解分层序列法 协调曲线法,1主要目标法,抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作为主要目标，将其他目标转化成约束条件）,2统一目标法,又称为综合目标法，它是将原多目标优化问题，通过一定方法转化为统一目标函数或综合目标函数作为该多目标优化问题的评价函数，然后用前述的单目标函数优化方法求解。,（1）线性加权和法（线性组合法）,（2）极大极小法,（3）理想点法与平方和加权法,（4）分目标乘除法,（5）功效系数法几何平均法,（1）线性加权和法（线性组合法）,根据多目标优化问题各个目标函数,的重要程
4、度，对应的选择一组权系数,，并有,用,与,的线性组合构成一个评价函数,将多目标优化问题转化为单目标优化问题，即求评价函数,的最优解，,它就是原多目标优化问题的解。,难点：如何找到合理的权系数 解决方法：将各单目标最优化值的倒数取作权系数,1）可反映各个单目标对整个多目标问题的重要程度； 2）对各个分目标函数作统一量纲处理。,（2）极大极小法,考虑对各个目标最不利情况下求出最有利的解。就是对多目标极小化问题采用各个目标,中的最大值作为评价函数的函数值来构造它。,即取,为评价函数，,对该式求优化解就是进行如下形式的极小化,将上述问题的优化解作为多目标优化问题的解。,即取最大误差为最小,或,（3）理
5、想点法与平方和加权法,1）先对各个目标函数分别求出最优值和相应的最优点构造出理想点的评价函数（表示为相对误差函数）为:,求出此评价函数的最优解，即是原多目标优化问题的最优解。,2）在此理想点法的基础上引入权系数构造的评价函数为：,此即为平方和加权法。其中权系数由各单目标允许的宽容值 决定：,宽容值大，不重要；反之则重要。,（4）分目标乘除法,优化模型为,求解上述优化模型的方法可用分目标乘除法。即将模型中的各分目标函数进行相乘或相除处理后，在可行域上求解。也就是求解,这样就构造了上述模型的评价函数,的问题。,1）基本思想：给每一个分目标函数值一个评价，以功效系数ci (0ci 1)表示（即功效函
6、数ci=Di（fi）的值）。对于一个设计方案 xk , F(xk)，有m个分目标函数值f1(xk), f2(xk), fm(xk), ，对应m个功效系数 c1,c2,cm 。,（5）功效系数法几何平均法,当fi很满意时，ci=1，不能接受时，ci=0，其余的取值为01之间的某个值。,当对应各分目标函数的ci确定后，可组成评价函数,c值要求越大越好，即c=1为最满意；c=0表示此方案不能被接受。,2）功效函数的类型（按照对目标函数的不同要求）,当,越大，,越大；当,越小，,越小,适用于要求目标函数越大越好。,越小，,越大；当,越大，,越小,适用于要求目标函数越小越好。,当,当,取得的值越靠近预先
7、确定的适当值时，,越大；否则,越小。,3）功效系数的确定方法,直线法,折线法,指数法,4）功效系数的特点,A优点： 直观，计算后调整方便， 避免某一目标函数值不可接受而评价函数值较好。 可以处理希望目标函数值取某一适当值的情况。 B事先要求明确函数值的取值范围 C. 有一个单目标不能接受,则总方案不能接受。,3协调曲线法,主要用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题。,基本思想：在多目标优化设计中，当各分目标函数的最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解，以其集合得出协调曲线，再根据恰当的匹配关系得到满意曲线，沿着满意程度的增加的方向，各分目标值下降，直至获得选好解。,说明： 1）若一个目标函数
8、值已确定，则另一目标函数值也由此曲线确定。 2）若认为R点是一个满意的设计方案，则曲线中QS间所有设计点都是满意的，且比R更好。,4、分层序列法及宽容分层序列法,先将各单目标按重要性进行排队,然后依次对各单目标求最优解.,* 后者的可行域是在前者最优点附近给出的宽容带与D的交集.,第八章 机械优化设计实例,一、机械优化设计的一般过程 二、建立数学模型的基本原则 三、数学模型的尺度变换 四、机械优化设计实例,一、机械优化设计的一般过程,1建立优化设计的数学模型； 选取设计变量，列出目标函数，给出约束条件。 2选择适当的优化方法； 3编写计算机程序； 4准备必要的初始数据并上机计算； 5对计算机求
9、得的结果进行必要的分析。,1设计变量的选择,（1） 在充分了解设计要求的基础上，应根据各设计参数对目标函数的影响程度认真分析主次，尽量减少设计变量的数目，以简化优化设计问题。 （2）设计变量应当相互独立。,二、建立数学模型的基本原则,能够确切反映工程实际问题的基础上力求简洁。,（1）最基本的要求是能够用来评价设计的优劣，同时必须是设计变量的可计算函数。 （2）对于需要追求多目标的情况，应当对所追求的各项指标进行细致的分析，从中选择最重要最具有代表性的指标作为设计追求的目标。 （3）若一项工程设计追求的目标是相互矛盾的，常常取其中最主要的指标作为目标函数，而其余的指标列为约束条件。 （4）在工程
10、实际中，应根据不同的设计对象，不同的设计要求灵活的选择某项指标作为目标函数。,2目标函数的确定,3约束条件的确定,（1）选取约束条件时应当特别注意避免出现相互矛盾的约束。 （2）尽量减少不必要的约束,三、数学模型的尺度变换,1目标函数的尺度变换 目标函数严重非线性，致使函数性态恶化，对目标函数作尺度变化，可大大改善性态。,2设计变量的尺度变换,（1）概念 设计变量在量级上相差很大，在给定的搜索方向上各自的灵敏度也相差很大。灵敏度大的，则搜索变快，否则相反。为了消除这种差别，可以对设计变量进行重新标度，使它们成为无量纲和规格化的设计变量，并称这种处理为设计变量的尺度变换。,（2）具体做法,给原设
11、计变量,乘以一个尺度变换因子,得到新的设计变量,通常可以简单地取,原设计变量的初始值，,将,带入原数学模型求得最优解,后，再通过,逆变换,，即可得到原问题,的最优点,3、约束函数的规格化 由于约束函数所表达的意义不同，使得各约束函数值在量级上相差很大，对约束函数进行规格化处理可以避免对设计的不利。,例如某热压机框架的优化设计中，许用应力为 = 150MPa，而下横梁的许用挠度=0.5mm，约束函数 为：,四、机械优化设计实例 例1：机床主轴结构优化设计,在设计这根主轴时，有两个重要因素需要考虑。一 是主轴的自重；一是主轴伸出端c点的挠度。,解决：对于普通机床，不要求过高的加工精度，对机床主轴的
12、优化设计，以选取主轴的自重最轻为目标，外伸端的挠度为约束条件。,当主轴的材料选定时，其设计方案由四个设计变量决定。孔径d、外径D、跨距l及外伸端长度a。由于机床 主轴内孔用于通过待加工的棒料，其大小由机床型号 决定。不作为设计变量。故设计变量取为,1.目标函数的确立,2.设计变量的确定,机床主轴优化设计的目标函数为,3.确定约束条件,在外力F给定的情况下，y是设计变量x的函数,其值按 下式计算,通常机床主轴刚度满足条件，强度尚有富裕，因此应力约束条件可 不考虑。边界约束条件为设计变量的取值范围，即,将所有的约束函数规格化，主轴优化设计的数学模型可表示为：,例2： 圆柱齿轮减速器的优化设计,1.
13、对减速器进行优化设计需要考虑的因素： 提高承载能力、减轻重量和降低经济成本。,2.减速器优化设计的一般模式 减速器的优化设计一般是在给定功率P、齿数比u、输入转速n以及其他技术条件和要求下，找出一组使减速器的某项经济技术指标达到最优的设计参数。,（1）设计变量（独立参数） 展开式圆柱齿轮减速器：齿轮齿数、模数、齿宽、螺旋角及变位系数 行星齿轮减速器：齿轮齿数、模数、齿宽、螺旋角及变位系数、行星轮的个数。,（2）目标函数 A.若减速器的中心距没有要求时，可取减速器最大尺寸最小或重量最轻作为目标函数。,B.若中心距固定，可取其承载能力为目标函数。,（3）约束函数,（1）边界约束：如最小模数、最小齿
14、数、齿宽上下界等,（2）性能约束：如弯曲强度、接触强度等,3.单级圆柱齿轮减速器的优化设计,已知齿数比为,输入功率为,，主动齿轮转速为,，求在满足零件的强度和刚度条件下，使减速器,体积最小的各项设计参数。,A目标函数 按齿轮和轴的尺寸最小的原则建立目标函数得：,即,B 设计变量,C约束条件,齿数,应不大于不发生根切的最小齿数,齿宽应满足,为齿宽系数,的最大值和最小值，一般最小取0.9，最大取1.4，得,动力传动的齿轮模数应大于,，得,为了限制大齿轮的直径不至于过大，小齿轮的直径不能大于, 齿轮轴直径的取值的取值范围,得：,轴的支承距离,按结构关系，应满足条件,得,齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得,接触应力和弯曲应力的计算公式为,齿轮轴的最大挠度,不大于许用值,，得,齿轮轴的弯曲应力,不大于许用值,，得,
