《【精编】2020年高考理科数学试卷(全国1卷)(附详细答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【精编】2020年高考理科数学试卷(全国1卷)(附详细答案)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2 绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 本试卷共 5 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 祝考试顺利祝考试顺利 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选考题的作
2、答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答 题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1若z1i ,则 2 2zz() A0B1CD2 解：z1iz22z=z( z2)= (1i )( i1)=i212=2| z22z| 选D 2设集合A=x|x2 40，B=x|2x+a 0且AB=x |2x1则a （） A-4B-2C2D4 解：A=-2,2, B=(-, 2 a , A
3、B=-2,1 2 a =1a=2.选B 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高 为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其 侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. 51 4 B. 51 2 C. 51 4 D. 51 2 解：设正四棱锥的底面边长为a,高为h，斜高为b,则 22 22 1115 4210 224 bbb abhba aaa （ 舍负）. 选 C. 4.已知 A 为抛物线C : y2 2 px p 0 上一点，点 A 到C 的焦点的距离为 12，到 y 轴 的距离为 9，则 p （ ） A2B3C6D
4、9 解：9126 2 p p. 选 C. 2 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：）的关系，在20个 不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 xi , yi （ i 1 ， 2 ， 20 ）得到下面 的散点图： 由此散点图，在10 至40 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是（） A. yabxB. yabx2C. yabexDyabln x 解：选D 6.函数 f x x4 2x3 的图像在点1，f 1 处的切线方程为（） Ay 2x1By 2x+1C. y2x3Dy2x+1 解： 32 ( )46,(1)
5、1,(1)2fxxxfkf 切线方程为( 1)2(1)yx ,即21yx . 选B 7.设函数 f x cos() 6 x 在, 的图像大致如下图，则 f x 的最小正周期为（） A. 10 9 B. 7 6 C. 4 3 D. 3 2 解：由图可知 T-(-)2T, 即 22 2212 又 4 2, 962 kkZ 9 2 (2 ), 4 3 k kZ 当0k 时， 3 2 ，从而 4 3 T ，选C 8. 2 5y xxy x 的展开式中 x3 y3 的系数为（ ） A 5B10C15D 20 解： 22 555yy xxyx xyxy xx 2 5y xxy x 的展开式中含 x3 y3
6、 的项为 2 22344 55 y xC x yC x y x 3 2 5y xxy x 的展开式中 x3 y3 的系数为 24 55 15CC,选C 9已知0, ，且3cos28cos5，则sin （） A. 5 3 B. 2 3 C. 1 3 D. 5 9 3cos28cos53（2cos2）8cos5=0（3cos+2)(cos2)=0 cos= 2 3 这里0, ，所以 22 25 sin1 cos1 () 33 ，选A. 10.已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，O1 为ABC 的外接圆若O1 的面积为4， AB=BC=AC= OO1，则球 O 的表面积为 A 64B48C
7、36D32 解：设AB=BC=AC= OO1 = a，则O1A= 3 3 ar 又 2 22 3 412 3 O Sraa ，从而 2 4r 在RtO1OA中， 222 16Rar 2 464SR 球 选A. 11.已知M: x2y22x2y20，直线l：2xy20，P为l上的动点，过 点P 作M的切线 PA，PB，切点为 A，B，当 |PM | |AB| 最小时，直线 AB 的方程为 （） A2x y 1 0B2x y 1 0C2x y 1 0D2x y 1 0 解： 22 :(1)(1)4Mxy的圆心为M（1，1），半径为2 PA，PB是M的切线，设PMAB=C，则PAAM，PMAB AC
8、AM Rt PAMRt ACM PAPM ，即 1 2 24 AC AM PM ABAM PAPA PAPM 当 |PM| |AB | 最小时，PA 最小，此时，PMl，AB / l, 22 |2 1 12| 5 21 PM 由 2 AMMC MP，即 2 25MC，得 4 5 MC 41 5 55 PCPMMC 4 设AB:2x+y+c=0，则 |2|1 1 55 c c AB:2x+y+1=0， 选 D 12.若 24 2log42log ab ab，则（） Aa2bBa2bCab2Dab2 解：显然 2 ( )2log x f xx是R+上的增函数 若a2b，则( )(2 )f afb，
9、即 2 22 2log2log 2 ab ab 又 2 242 2log42log2log abb abb -得 22 0log 2log1bb怛成立，选 B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若 x，y 满足约束条件 220 10 10 xy xy y ，则zx7 y的最大值为 解：解方程组 220 10 xy xy 得 1 0 x y 作出可行域，平移直线x+7y=0，当直线x+7y=z经过点M（1，0）时，z 最大， 最大值为1+70=1. 14.设 a，b 为单位向量，则|a b| 1，则 |a b| 22 121 21 1,1 abaa bb a b
10、 ab 解： 2 22 21 ( 1) 133abaa bbab 15.已知 F 为双曲线 22 22 :1 xy C ab a 0, b 0 的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的 点，且 BF 垂直于 x 轴若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为 2 2 : 3 3, bb BFxBF aa caBF AFca AF 解轴 又 ，即 22 332 () cac caae a caa 5 16.如图，在三棱锥 P-ABC 的平面展开图，AC =1，AB =AD =3，AB AC ，AB AD ， CAE30，则cosFCB 解：在Rt ABC中， 22 2BCACAB,在等腰R
11、t PAB中，6PB 在Rt PAC中， 222 23 1cos3011PCPAACPC 22222 1261 cos 22 1 24 PCBCPB PC BC 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分） 设 n a是公比不为 1 的等比数列， a1为a2，a3的等差中项 (1)求an的公比； (2)若 1 1a ，求数列 n na的前 n 项和 解：（1）在等比数列 n a中， 133 2aaa，即 22 111 2202a
12、a qa qqqq (2) 1 1a ，令 1 ( 2)n n bn 01221 1 ( 2)2 ( 2)3 ( 2)(1) ( 2)( 2) nn n Snn 1231 21 ( 2)2 ( 2)3 ( 2)(1) ( 2)( 2) nn n Snn -得 121 1 ( 2) 31 ( 2)( 2)( 2)( 2)( 2) 1 ( 2) n nnn n Snn 1 131 ( 2) 9 n n Sn 18(12 分) 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径， AE=AD ABC 是底面 的内接正三角形，P 为 DO 上一点， 6 6 PODO (1)证明：PA 平面
13、PBC (2)求二面角B-PC-E的余弦值. (1)证明：不妨设底面圆的半径为1，则正三角形ABC的边长为3， AD=2,所以，OD=3,从而 OP= 2 2 . 6 AEABCAEBC DOAEO 是正的直径 ADEBC BCPA PAADE 平面 平面 在Rt AOP中， 2 16 1 22 APPB 222 ABPAPBPAPB DOABC ABC DOBC BC 平面 平面 PABC PAPBPAPBC PBBCB 平面 （2）解：分别以,OE OD 所在直线为y轴，z轴，建立空间直角坐标系（如图）. 则 3 1 (,0) 22 B， 3 1 (,0) 22 C ，E(0,1,0)，
14、2 (0,0,) 2 P，A(0,-1,0) 312 (,) 222 CP ,( 3,0,0)CB , 3 1 (,0) 22 CE 由（1）知 2 (0,1,) 2 AP 是平面PBC的法向量， 3 2 AP 设平面EPC的法向量是( , , )na b c ，则 312 30 222 3 31 20 22 nCPn CPabc ab cbnCEn CEab 令b=1，得 3 (,1,2) 3 n ， 10 3 n 设,AP n ，则 1 12 5 cos 5310 23 AP n AP n 二面角B-PC-E的余弦值为 2 5 5 . 19（12 分） 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约
15、定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜 者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩 余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为 1 2 . （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率 z x y 7 解：（1）甲连胜四场的概率为 11111 222216 （2）根据赛制，至少需要进行4场比赛，至多需进行5场比赛。 甲连胜四场的概率为 1 16 ； 乙连胜四场的概率为 1 16 ； 丙上场后连胜三场的概率为 1 8 ； 所以需要进行第五场比赛的概率为1- 1 16 - 1 16 - 1 8 = 3 4 丙最终获胜有两种情况: 比赛四场结束，且丙最终获胜的概率为 1 8 ； 比赛五场结束，且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空的结 果，有三种情况：()胜胜负胜；（)胜负空胜；()负空胜胜.其概率分别为 1 16 ， 1 8 ， 1 8 ；共 1 1
