《（人教B版）数学必修五名师精品 2.3.2《等比数列的前n项和》教案（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（人教B版）数学必修五名师精品 2.3.2《等比数列的前n项和》教案（含答案）（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、最新学习考试资料试卷件及海量高中、初中教学课尽在金锄头文库教学设计2比数列的前 本节是数列一章的最后内容，分两课时完成，第一课时侧重于公式的推导及记忆，第二课时侧重于公式的灵活应用等比数列的前 n 项和是教材中很重要的一部分内容，是等比数列知识的再认识和再运用，它对学生进一步掌握、理解等比数列以及数列的知识有着很重要的作用等比数列前 n 项和公式的推导，也是培养学生分析、发现、类比等能力的很好的一个工具在讲求和公式推导时，应指出其运算的依据是等式性质和数运算的通性(交换律、结合律、分配律)培养学生逻辑思维的习惯和代数运算技能新大纲中对本知识有较高层次的要求，教学地位很重要，是教学全部学习任务中
2、必须优先完成的任务这项知识内容有广泛的实际应用，很多问题都要转化到等比数列的求和上来才能得到解决如增长率、浓度配比、细胞分裂、储蓄信贷、养老保险、分期付款的有关计算等许多方面均用到等比数列的知识，因而考题中涉及数列的应用问题屡见不鲜掌握等比数列的基础知识，培养建模和解模能力是解决数列应用问题的基本途径等比数列的通项公式与前 n 项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知 a1，a n，q，n，S 可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想其中解指数方程的难度比较大，训练时要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内
3、容”数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法思想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间来源:Zxx维目标1通过本节学习，使学生会用方程的思想认识等比数列前 n 项和公式，会用等比数列前 n 项和公式及有关知识解决现实生活中存在着的大量的数列求和的问题，将等比数列前n 项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题2通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训最新学习考试资料试卷件及海量高中、初中教学课尽在金锄头文库
4、练，提高学生的数学素养3通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观重点难点教学重点：等比数列前 n 项和公式的推导及灵活运用，及生产实际和社会生活中有关的实际问题教学难点：建立等比数列模型，用等比数列知识解决有关的生产实际及社会生活中的热点问题课时安排2 课时教学过程第 1 课时导入新课思路 1.(故事导入)国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有 64 个方格的木盘，和 32 个雕刻成六种立体形状，分别涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪
5、他玩高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢？数学家开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放 1 粒麦子，第二个格子上放 2 粒，第三个格子上放 4 粒，第四个格子上放 8 粒即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的 2 倍，直到最后一个格子第 64 格放满为止，这样我就十分满足了 “好吧！”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢？”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算吧！”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天！我哪来这么多的
6、麦子？”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋假定千粒麦子的质量为 40 g，那么，数学家要求的麦粒的总质量究竟是多少呢？由此传说向学生发问：怎样算出小麦的总质量呢？思路 2.(问题导入)买 24 枚钉子，第一枚 分钱，第二枚 分钱，第三枚 1 分钱，以此类14 12推，每一枚钉子的钱是前一枚的 2 倍，共要多少钱？请学生想一想，多数学生认为大概没有多少钱，结果一算吓一跳，大约要 4 万 2 千元事实上，这是等比数列的求和问题，即最新学习考试资料试卷件及海量高中、初中教学课尽在金锄头文库S 122 21？那么怎样求等比数列的前 n 项和呢？在学生急于揭开谜底的14 12强烈欲望
7、下展开新课的探究推进新课1)回忆等差数列前 n 项和公式的推导过程，是用什么方法推导的？(2)对任意数列a n，前 n 项和与通项 3)对首项为 1 的等比数列a n，你能探究它的前 n 项和吗？(4)对任意等比数列a n，怎样推导它的前 n 项和公式呢？你能联想到哪些推导思路？(5)对于思路 1 中麦粒问题，国王应发给数学家多少麦粒？对于22 2 2 n1 的两边为什么要乘以 2 而不是乘以 3 或 4 呢？活动：教师引导学生回忆前面学过的等差数列前 n 项和问题，我们用倒序相加法推得了它的前 n 项和公式，并且得到了求等差数列通项公式的一个方法：a n知道这个由数列 nS n1 a 比联想
8、以上方法，怎样探究等比数列的前 n 项和呢？我们先来探究象棋格里填麦粒的问题，也就是求 S122 63？让学生充分观察这个式子的特点，发现每一项乘以 2 后都得它的后一项，点拨学生找到解决问题的关键是等式左右同乘以 2，再相减得和通过这个问题的解决，先让学生有一个感觉，就是等比数列的前 n 项和可化为一个比较简单的形式，关键的问题是如何简化再让学生探究首项为 1 的等比数列的前 n 项和，即 1，q，q 2，q n1 的前 n 项和观察这个数列，由于各项指数不同，显然不能倒序相加减但可发现一个规律，就是次数是依次增加的，教师引导学生模仿等差数列写出两个求和式子，给学生以足够的时间让其观察、思考
9、、合作交流、自主探究经过教师的点拨，学生的充分活动，学生会发现把两个 qq 2q n1 错一最新学习考试资料试卷件及海量高中、初中教学课尽在金锄头文库个位，两边再同乘以公比 q，那么相同的指数就对齐了这一发现是突破性的智慧发现，是石破惊天的发现这样将 qq 2q n1 与 qq 2q 3q q)S n1q n，以下只需讨论 q 的取值就可得到 上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法我们将这种方法简称为“错位相减法” 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法” 如果记 Sna 1a 2a 3a n，那么 a 1qa
10、2qa 3qa 想得到 要将两式相减，就立即有(1 q)S na 1a 生注意 q 的取值如果 q1，则有 可以得到如下的过程：如果记 Sna 1a 1qa 1a 1 ，那么 a 1qa 1a 1 a 1想得到 要将两式相减，就立即有(1 q)S na 1a q1，则有 是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法” 形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1，q，a n，S n，n 中 a1，q，a n，S 者出现的是 a1，q，S n，n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前 n 项的和提供了选择的余地值得重视的是：上述结论都是在“如果 q1”的前提下得到的言下之
11、意，就是只有当等比数列的公比 q1 时，我们才能用上述公式最新学习考试资料试卷件及海量高中、初中教学课尽在金锄头文库对于等比数列的一般情形，如果 q1 会是什么样呢？学生很快会看出，若 q1，则原数列是常数列，它的前 n 项和等于它的任一项的 n 倍，即 Sna n的前 n 项和的公式： 师进一步启发学生根据等比数列的特征和我们所学知识，还能探究其他的方法吗？经过学生合作探究，联想初中比例的性质等，我们会有以下推导方法：思路一：根据等比数列的定义，我们有 q，1再由合比定理，则得 q， 1即 q，q)S na 1a q1 时，S n，当 q1 时，S n Sna 1a 2a 3a n，得Sna
12、 1a 1qa 2qa n1 qa 1q(a 1a 2a n1 )a 1q(S na n)，从而得(1q)S na 1a 以下从略)在思路二中，我们巧妙地利用了 n1 a 师再次向学生强调这是一个非常重要的关系式，应引起足够的重视，几乎在历年的高考中都有它的影子但要注意这里 n2，也就是 n 的取值应使这个关系式有意义，若写 S n2 a n1 ，则这里n3，以此类推教师引导学生对比等差数列的前 n 项和公式，并结合等比数列的通项公式，从方程角度认识这个公式，以便正确灵活地运用它(1)在等比数列的通项公式及前 n 项和公式中共有 a1，a n，n，q，S 要知道其中任意三个量，都可以通过建立方
13、程(组) 等手段求最新学习考试资料试卷件及海量高中、初中教学课尽在金锄头文库出其余两个量；(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件 q1，当 q1 时，应按常数列求和，即 Sn应分类讨论 q1 与q1 两种情况讨论结果：(1)倒序相加法；(2) nS n1 (n2)；(3)利用错位相减法；(4)利用 nS n1 (n2)；(5)乘以 2 的目的是为了错位相减，共有麦粒 2641( 颗)，每千粒麦子按 40 g 计算，共约 7 000 亿吨 1 求下列等比数列的前 8 项的和：(1) ，；121418(2)7，a 9 ，q例目的是让学生熟悉公式，第(1)小题是对等比数列的前 n 项和公式的直接应用；第(2)小题已知 7，n8，还缺少一个已知条件，由题意显然可以通过解方程求得公比 q0，一方面是为了简化计算，另一方面是想提醒学生 q 既可为正数，又可为负数本题中由条件可得 ，再由 q0 可得 q 24327 13入公式就可以了本例可由学生自己探究解答解：(1)因为 ，q ，所以当 n8 时，S 8 2121 1281 12 255256(2)由 7，a 9 ，可得 ，1243 24327又由 q0，可得 q ，13最新学习考试资料试卷件及海量高中、初中教学课尽在金锄头文库于是当 n8 时，S 8
