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1、有限元方法Finite Elements Method,吴 晓 武汉纺织大学机电工程学院,主要参考书目,有限元分析的概念与应用；罗伯特.库克. 西安交通大学出版社. 有限单元法原理与应用；朱伯芳. 中国水利水电出版社. 有限单元法及计算程序；王焕定，吴德伦等. 中国建筑工业出版社. 有限元方法（第5版）第1卷，基本原理；监凯维奇. 清华大学出版社.,概述,重大工程的设计和灾变 结构设计及工程灾变分析中的微分方程 微分方程的主要解法,重大工程的设计（概述）,1,2,3,4,4,1,重大工程的灾变（概述）,Aloha航线上波音747事故,1995年阪神地震,重大工程灾变（原因）,设计原因：设计未满
2、足标准或者安全使用的要求。包括设计计算错误，结构、选型不合理，材料选用不当等 制造和安装原因：包括材料有缺陷或者错用，制造工艺不合理，零（部）件缺陷，焊材、焊接缺陷，热处理不合理，组装错误 自然原因：包括环境腐蚀、 太阳辐射使结构强度和刚度 降低。,J7机翼前梁后段,重大工程灾变（预防或减少措施）,满足静强度要求 1、强度设计 2、刚度设计 3、稳定性设计 满足动力特性 安全寿命设计 安全寿命/损伤容限设计 耐久性/损伤容限设计 可靠性分析 改善服役环境 加强并提升结构的防护,工程结构设计中的主要构件,梁、柱、杆 板、壳 三维实体,结构设计及工程灾变分析中控制微分方程,1、梁弯曲问题,2、薄板
3、弯曲问题,3、弹性力学三维问题,微分方程解题思路及主要解法,一阶方程,高阶方程,分离变量法,全微分方程,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非全微分方程 非变量可分离,幂级数解法,降阶,作变换,作变换,积分因子,数值解法,微分方程的幂级数解法（概述）,例如求一阶微分方程：,满足初始条件,的特解，其中函数,这时我们可以设所特解可展开为,是,和,的多项式：,的幂级数,(1),(2),其中,是待定的系数,把（2）代入（1）中，便得一恒等式，比较这恒等式两端 的 同次幂的系数，就可定出常数 , 以这些常数为系数的级数（2）在其收敛区间内就是方程（1）满足初始条件 的特解。,微分方程的数值解法,有限元方
4、法 边界元方法 加权残值方法 有限差分法 无网格法,在微分方程的求解中，除了采用级数和逐步逼近等方法得到解的近似表达式外，通常还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值，这类方法通常包括：,有限差分法思想,有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比
5、较成熟的数值方法。,有限元法思想,其基本思想：把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。,边界元法思想,边界元法(Boudary element method)是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法 ,通常又称边界积分方程。该方法应用格林函数公式，通过选择适当的权函数把空间求解域上的偏微分方程转换成为其边界上的积分方程，它把求解区中任一点的求解变量与边界条件联系了起来。通过离散化处理，由积分方程导出边界节点上未知值的代数方程。解出边界上的未知值
6、后就可以利用边界积分方程来获得内部任一点的被求函数之值。边界元法的最大优点是，可以使求解问题的空间维数降低一阶，从而使计算工作量及所需计算机容量大大减小。边界元法推广应用的一个最大限制是，需要已知所求解偏微分方程的格林函数基本解。,加权残值法思想,加权残值法是一种应用广泛的求解微分方程的方法，其基本思想是先假定一族带有待定参数的定义在全域上的近似函数,该近似解不能精确满足微分方程和边界条件,即存在残差.在加权平均的意义下消除残差,就得到加权残值法的方程.由于试函数定义在全域上,所得方程的系数矩阵一般为满阵.选取不同的权函数,可得到不同的加权参量法。 如有某一应用科学问题中的控制微分方程式及边界
7、条件分别为：,域内,边界面,为了解这个控制微分方程式，我们假设待定函数的一个近似解，为试函数,（1）,（2）,加权残值法思想（续）,（3）,将（3）式代入（1）和（2）式之后，一般不会满足，于是分别出现了内部和边界残差：,为了消除残差，通常引进内部权函数 和边界权函数 ，将它们分别与 和 相乘，列出消除内部残值方程式及消除边界方程式分别如下：,无网格方法思想,无网格方法（Mesh-less method）是在数值计算中不需要生成网格，而是按照一些任意分布的坐标点构造插值函数离散控制方程，问题域由一系列任意分布的节点来代替,不需要用单元或网格来进行场变量插值,也无须描述节点之间的关系。节点的生成
8、可完全由计算机自动完成,这大大节省了分析人员的时间,也相对较容易在分析过程中对节点进行重新划分。,有限元方法（优点）,有限元可以运用于任何场问题： 没有几何形状的限制 边界条件和载荷没有限制 材料性质并不限于各向同性 具有不同行为和不同数学描述的分量可以结合。 有限元结构和被分析的物体或区域很类似 通过网格细分可以很容易地改善解的逼近度。,有限元方法,定义 应用领域 发展历史 一般步骤 计算机程序 预期目标,有限元方法（定义）,有限单元法（或有限元分析）是以剖分插值和能量原理为基础、以计算机为工具的结构分析数值方法。 其基本思想：把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假
9、定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。,有限元方法（应用领域）,机械/航空航天/土木工程/自动化工程 结构分析（静力/动力分析，线形/非线性分析） 热分析/流体力学分析 电磁场分析 地质力学分析 生物医学分析,有限元方法（发展史）,“有限单元”的名字是Clough在1960年提出的，其后不久，许多用来作应力分析的新型单元都开发出来，在1963年，有限元被认为是经典近似技术瑞雷-里兹法的一种形式。1965年，出现了利用有限元方法分析热传导和渗流的论文。20世纪60年代末、70年代初，出现了用途广泛的有限分析计算机程序。自20
10、世纪70年代末以来，不断增强功能的计算机图形学被用于有限元程序中，使有限元分析在实际设计和工程分析中更具吸引力。,有限元方法（分析步骤）,第一步：问题及求解域定义 第二步：求解域离散化 第三步：确定状态变量及控制方法 第四步：单元推导 第五步：总装求解。 第六步：联立方程组求解和结果解释 简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分;后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果,有限元方法（计算机程序）,专业化小程序有 Truss Frame Plane Stress Heat Transfer 大型通用商业化程序 ANSYS ADINA ABAQUS PANTRAN SAP,有限元方法（学习目标）,理解有限元方法的基本思想 认识不同类型单元的行为和应用范围 根据实际问题，能够给出合适的有限元模型 能够解释并正确评估结果的合理性,Thank You!,
