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1、 第一章：实数第一章：实数 一、实数的分类：一、实数的分类： 1、有理数 ： 任何一个有理数 总可以写成的形式，其 q p 中 p、 q 是互质的整数，这是 有理数的重要特征。 2、无理数 ： 初中遇到的无理 数 有 三 种 ： 开 不 尽 的 方 根 ， 如、； 特 定 结 构 的 不 限 环 无 限 小 数 ， 如2 3 4 1.101001000100001；特定意义的数，如 、等。45sin 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数 a 的相反数是
2、a； （2）a 和 b 互为相反数a+b=0 2、倒数：（1）实数 a（a0）的倒数是；（2）a 和 b 互为倒数；（3）注意 0 没有 a 1 1ab 倒数 3、绝对值：（1）一个数 a 的绝对值有以下三种情况： 0, 0, 0 0, aa a aa a （2） 实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值,就是数轴上表示这个数的点到原 点的距离 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认,再去掉 绝对值符号 4、n 次方根 （1）平方根，算术平方根：设 a0，称叫 a 的平方根，叫 a 的算术平方根。aa （2）正数的平方根有两个，它们互为相反
3、数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。 （3）立方根：叫实数 a 的立方根。 3 a （4）一个正数有一个正的立方根；0 的立方根是 0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴三、实数与数轴 1、数轴 ： 规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三 要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系 ： 数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数 轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。 四、实数大小的比较四、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。 2、正数大于 0；负数小于 0；正数大于一切负数；两个负数绝对值
4、大的反而小。 五、实数的运算五、实数的运算 1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加； （2） 异号两数相加,取绝对值大的加数的符号,用较大的绝对值减去较小的绝对值.可用加法交换律、 结合律 2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 （2）n 个实数相乘，有一个因数为 0，积就为 0；若 n 个非 0 的实数相乘，积的符号由 负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正 ； 当负因数为奇数个时，积为负。 （3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 4、除法：（1）两数相除，同号得正，异号得负，
5、并把绝对值相除。 （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。 （3）0 除以任何数都等于 0，0 不能做被除数。 5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。 6、实数的运算顺序 ： 乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有 括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算， 有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 六、有效数字和科学记数法六、有效数字和科学记数法 1、科学记数法：设 N0，则 N= a（其中 1a10，n 为整数） 。 n 10 正整数 整数 零 负整数有理数有限小数或无限循环小数 实数正分数 分数
6、负分数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 第 1 页 共 15 页 2、有效数字 ： 一个近似数，从左边第一个不是 0 的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做 这个数的有效数字。精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字。 第二章：代数式第二章：代数式 一、代数式一、代数式 1、代数式 ： 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一 个字母也是代数式。 2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。 3、代数式的分类： 无理式 分式 多项式 单项式 整式 有理式 代数式 二、整式的有关概念及运算二、整式的有关
7、概念及运算 1、概念 （1）单项式：像 x、7、，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项yx22 式。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。 （2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。 多项式的项 ： 多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项 式。 多项式的次数:多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的 项叫常数项。 升（降）幂排列 ： 把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序 排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。 （3）同类项：所
8、含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。 2、运算 （1）整式的加减： 合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。 去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前 面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里的各项都变号。 添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“”号，括到括号里 的各项都变号。 整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。 （2）整式的乘除： 幂的运算法则：其中 m、n 都是正整数 同底数幂相乘：；同底数幂相除：；幂的乘方：
9、nmnm aaa nmnm aaa mnnm aa)( 积的乘方：。 nnn baab)( 单项式乘以单项式单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作 为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个 因式。 单项式乘以多项式单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式乘以多项式多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相 加。 单项除单项式单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母， 则连同它的指数作为商的一个因式。 多项式
10、除以单项式多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。 乘法公式乘法公式： 平方差公式平方差公式：； 22 )(bababa 完全平方公式完全平方公式：， 222 2)(bababa 222 2)(bababa 三、因式分解三、因式分解 1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。 2、常用的因式分解方法： （1）提取公因式法：)(cbammcmbma 第 2 页 共 15 页 （2）运用公式法： 平方差公式：；)( 22 bababa 完全平方公式： 222 )(2bababa （3）十字相乘法：)()( 2 bxaxabxbax （4）分组分
11、解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。 （5）运用求根公式法：若的两个根是、，则有：)0(0 2 acbxax 1 x 2 x )( 21 2 xxxxacbxax 3、因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。 （4）最后考虑用分组分解法。 四、分式四、分式 1、分式定义：形如的式子叫分式，其中 A、B 是整式，且 B 中含有字母。 B A （1）分式无意义：B=0 时，分式无意义； B0 时，分式有意义。 （2）
12、分式的值为 0：A=0，B0 时，分式的值等于 0。 （3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、 分母因式分解，再约去公因式。 （4）最简分式 ： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果 若是分式，一定要化为最简分式。 （5）通分 ： 把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的 通分。 （6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。 （7）有理式：整式和分式统称有理式。 2、分式的基本性质： （1）；（2）)0(的整式是 M MB MA B A )0(的整式是 M MB MA B A （3）
13、分式的变号法则 ： 分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值 不变。 3、分式的运算： （1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它 们通分成同分母的分式再相加减。 （2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。 （3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。 （4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。 五、二次根式五、二次根式 1、二次根式的概念：式子叫做二次根式。)0( aa （1）最简二次根式 ： 被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因 式的二次根式叫最简二次根式。 （2）
14、同类二次根式 ： 化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。 （3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。 （4）有理化因式 ： 把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们 就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：与；与aadcba ）dcba 2、二次根式的性质： （1） ； （2）；)0()( 2 aaa )0( )0( 2 aa aa aa （3）（a0，b0） ；（4）baab )0,0(ba b a b a 3、运算： （1）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。 （2）二次根式的乘法：（a0
15、，b0） 。abba （3）二次根式的除法： )0,0(ba b a b a 二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。 第 3 页 共 15 页 第三章：方程和方程组 第三章：方程和方程组 一、方程有关概念一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解 ： 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的 解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程二、一元方程 1、一元一次方程 （1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中 x 是未知数，a、b 是已知数，a0） （2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中 x 是未知数，a、b 是已知数，a0） （3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为 1。 （4）一元一次方程有唯一的一个解。 2、一元二次方程 （1）一元二次方程的一般形式：（其中 x 是未知数，a、b、c 是已知数，0 2 cbxax a0） （2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 （3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。 （4）一元二次方程的根的判别式： acb4 2 当 0 时方程有两
