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1、内容 Chap.13 应力状态理论和强度理论 1 概念 2 平面应力状态分析 本节要求 掌握概念、平面应力状态应力分析、主平面、主应力、最大剪应力,第13章 应力状态分析 强度理论,13.1 概述 一、几个问题 1. 以前研究过简单变形（拉压、扭转、平面弯曲） 横截面上的应力：,斜截面上是否也有应力？,拉压杆斜截面上的应力,几个问题,2. 研究斜截面应力的意义？,几个问题,低碳钢扭,低碳钢拉,铸铁扭,铸铁拉,3. 用什么方法研究斜截面上的应力？ 是否还要用研究横截面上应力的方法？ 4. 任一斜截面上的应力有什么规律? 5. 强度条件 max 适用于单向拉伸，危险点在 横截面上只有正应力，没有剪
2、应力； 强度条件 max 适用于纯剪切，危险点在横截面上只有剪应力，没有正应力。 如果危险点一个面上既存在正应力，又存在剪应 力，上述强度条件还适用吗?,几个问题,不同点的应力各不相同（大小、方向） -应力的点的概念,同一点在不同方向面上的应力也各不相同-应力的面的概念。,过一点不同方向面上应力的集合，称为这一点的应力状态 State of the Stresses of a Given Point,应 力,指明,三、一点应力状态的描述,微 元体Element,（又称应力单元体）,（4）平行两面对应应力数值相等。,（3）各面应力均匀分布；,（2）各边长为无穷小；dx,dy,dz0,（1）正六面
3、体；,特点：,用应力单元体表示一点应力状态,用应力单元体表示一点应力状态,2. 微元体的取法： 原则： 各面应力已知或可求。,四、主平面 主应力,1.主平面剪应力等于零的平面。 一点处一般有三个主平面，互相垂直。 2.主应力主平面上的正应力。 一点处一般有三个主应力，按代数值大小排列分别记为1, 2, 3, 且 1 2 3,Principal planes,Principal stress,五、应力状态的分类,1.单向应力状态只有一个主应力不为零。,One Dimensional State of Stresses,2. 二向（平面）应力状态有两个主应力 不为零。,特例,Plane State
4、 of Stresses,简化,3.三向（空间）应力状态三个主应力都不为零。 Three-Dimensional State of Stresses,三向应力状态,平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,13.2 平面应力状态分析,一、平面应力状态的一般情形,二、任意斜截面上的应力,新方法只要知道微元体六个面上的应力，任意斜截面上的应力便可通过局部平衡求出。,面自x 轴正向逆时针转到面外法线 n 时 角定义为正。,2. 应力的正负号规定,正应力 - 拉为正 压为负,1. 任意斜截面的表示方法,剪应力 -对研究对象内任一点呈顺时针力矩者 为正，逆时针为负,应力的正负号规定,平衡对象,3.任意斜
5、截面上的应力,平衡方程,参加平衡的量 力 (应力乘以其作用的面积),微元体局部,整理后得到,一定存在极值,有界、周期函数,求主应力的极值,即在=0的平面，记为0平面,得,两个主平面相差90,求主应力的值,求出sin2和cos，代入：,(主平面定义),主应力表达式,（大主应力）,（小主应力）,s1 s2 s3,主应力排序,( 按 的代数值从大到小 ),主方向,面内最大剪应力 Maximum Shearing Stress in Plane,极值条件：,max - 面内最大剪应力。所在平面与主平面夹角为45,互为负倒数,例题,已知：微元体如图，图中应 力单位为MPa. 求：1.指定斜截面应力； 2.主平面； 3. 主应力； 4. 面内最大剪应力； 5. 画出主应力单元体。 解: （ 1 ）建立坐标系, x =20 MPa y= 40 MPa xy= 10 MPa = 30,（2）求 ， ,=13.7 MPa,注意： ， 算好后按实际方向画在原图上,（3）求主平面,0 = 9.22, 80.78,（4）求主应力, 1= 41.6 MPa, 2 = 0 3=21.6 MPa （4）画主应力单元体,注： 大主应力 max 的方向接近 原微元体剪应力 的指向 与0角是锐角钝角无关。 主应力单元体须另画图。,（5）求面内最大剪应力,1,3,
