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1、第八章 轴向拉伸与压缩,此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压杆。,受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与其轴线重合的外力F作用。,变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。, 8-1引言,连杆AB为拉压杆,实例：,“二力杆”,8-2 轴力及轴力图,内力由于物体受外力作用而引起的其内部各质点间相互作用的力的改变量。,内力,用截面法求内力,X=0, FN - F = 0,截开。,代替，FN 代替。,平衡，,FN = F。,以右段为研究对象：,内力 FN 沿轴线方向，所以称为轴力。,用截面法求内力,轴力的符号规定：,压缩：其轴力为负值。方向指向所在截面。,拉伸：其轴力为正值。方向背离所在截面。,轴力
2、图：, 直观反映轴力与截面位置变化关系； 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。,轴力图的意义,轴力沿轴线变化的图形,F,F,F,如果杆件受到的外力多于两个，则杆件不同部分 的横截面上有不同的轴力。,轴力图,例2 作图示构件的轴力图,Mechanic of Materials,思路：实验变形规律应力的分布规律,1、实验：,变形前,受力后,2、变形规律：,横向线-仍为平行的直线，且间距增大。,纵向线仍为平行的直线，且间距减小。,3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且仍与杆轴垂直，横截面沿杆轴线作相对平移。,应力的计算公式：,轴向拉压杆横截面上正应力的计
3、算公式,应力的分布规律内力沿横截面均匀分布,杆件受轴向拉(压)时横截面上的内力是沿横截面的垂直方向均匀分布的。,轴力在横截面上均布,=A,正应力的符号规定同内力,拉应力为正值，方向背离所在截面。,压应力为负值，方向指向所在截面。,轴向拉压杆任意斜面上应力的计算,FNa= F,变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压）变形后仍相互平行。,推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长变形相同。,即斜截面上各点处总应力相等。,2、符号规定,、a：斜截面外法线与 x 轴的夹角。,由 x 轴逆时针转到斜截面外法线“a” 为正值 由 x 轴顺时针转到斜截面外法线“a”为负值,、a：拉应力为正，压应力为负；,、
4、a：在保留段内任取一点，如果“a”对该点之矩为顺时针方向，则规定为正值，反之为负值。,a,斜截面上最大应力值的确定:,圣维南原理：力作用于杆端的分布方式的不同，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端12个杆的横向尺寸。,力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。,圣维南原理,8-4材料在拉伸与压缩时的力学性能,强度、刚度与稳定性不仅与构件所受载荷大小和构件尺寸直接有关，而且还与构件所用材料的力学性能有密切的关系。,下面主要通过以低碳钢和铸铁这两种典型材料，在常温、静载下的拉伸实验来介绍材料的上述力学性质。,一、拉伸实验,试验条件：室温(20)；
5、静载（及其缓慢地加载）；标准试件：(标距)l0 = 5 d0 或 l0 = 10 d0,试验设备：万能材料试验机,万能试验机,拉伸实验过程：,低碳钢试件的拉伸图(P- L图),低碳钢试件的应力-应变曲线( - 图),各阶段材料特性分析,1、在弹性区域内(oa段)应力-应变(-)符合：胡克定律(Hookes Law) =E,E= tgp -比例极限,2、ab段 -曲线段: e - 弹性极限,1、弹性阶段(ab),2、 屈服(流动)阶段(bc),bc -屈服阶段: s -屈服极限,滑移(流动)线：,塑性材料的失效应力: s 。,出现了永久变形即塑性变形P,、-强度极限,3、硬化阶段(cd段),4、
6、颈缩(断裂)阶段 (df ),sb-强度极限 E = tana - 弹性模量,sp-比例极限 ss-屈服极限,5、卸载与再加载规律,ep塑性应变（残余应变）,e e 弹性应变,卸载定律： 当拉伸超过屈服阶段后，如果逐渐卸载，在卸载过程中，应力应变将按直线规律变化。,冷作硬化：在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载后短期内又继续加载，材料的比例极限提高而塑性变形降低的现象。,伸长率:,断面收缩率：,6、材料的塑性,共有的特点： 断裂时具有较大的残余变形，均属塑性材料。,有些材料没有明显的屈服阶段。,其它材料的拉伸力学性能,其它工程塑性材料的拉伸时的力学性能,名义屈服极限,塑性应变等于0.2时的应力
7、值.,铸铁拉伸试验,1无明显的直线段； 2无屈服阶段； 3无颈缩现象； 4延伸率很小。,b强度极限。,O,h/d =1.53；混凝土或石料则为立方形。,四 材料在压缩时的力学性能,bc - 铸铁压缩强度极限；bc (35)bt (bt-铸铁拉伸强度极限),铸铁压缩与拉伸对比图,拉压性质比较：,拉伸,通常材料的主要力学性能可查相关材料手册。,脆性材料,脆性材料适于做抗压构件。破坏时破裂面与轴线成45 55。,8-5 应力集中概念,应力集中由于截面急剧变化所引起的应力局部增大现象。,应力集中因数,为局部最大局部应力。,为同一截面的平均应力。,应力集中因数 K,（1） 越小， 越大； 越大，则 越小
8、。,（2）在构件上开孔、开槽时采用圆形、椭圆或带圆角的，避免或禁开方形及带尖角的孔槽，在截面改变处尽量采用光滑连接等。,注意：,（3）可以利用应力集中达到构件较易断裂的目的。,（4）不同材料与受力情况对于应力集中的敏感程度不同。,（a）静载荷作用下：,塑性材料所制成的构件对应力集中的敏感程度较小；,即当 达到 时，该处首先产生破坏。,（b）动载荷作用下：,无论是塑性材料制成的构件还是脆性材料所制成的构件都必须要考虑应力集中的影响。,脆性材料所制成的构件必须要考虑应力集中的影响。,极限应力：,材料的两个强度指标s（塑性材料） 和 b （脆性材料）称作极限应力或危险应力,并用 u 表示.,8-6
9、失效、许用应力与强度条件,一、 失效与许用应力,失效的两种形式：脆性材料当应力达到b ，会发生脆性断裂；对于塑性材料当应力达到s 会发生显著的塑性变形而发生广义破坏。,工作应力：构件在外力作用下正常工作时横截面上点的正应力，按=FN/A计算 。,许用应力：工程实际中材料安全、经济工作所允许的理论上的最大值，用表示。,n 称为安全因数 1,1、作用在构件上的外力常常估计不准确；,2、构件的外形及所受外力较复杂，计算时需进行简化，因此工作应力均有一定程度的近性；,3、材料均匀连续、各向同性假设与实际构件的出入，且小试样还不能真实地反映所用材料的性质等。,二、强度条件,对于等截面杆：,强度计算有三类
10、问题：,1、校核强度,2、截面设计,3、确定承载能力,例8-4、图示空心圆截面杆，外径D20mm，内径d15mm，承受轴向荷载F20kN作用，材料的屈服应力s235MPa，安全因数n=1.5。试校核杆的强度。,解：(1)杆件横截面上的正应力为:,(2)材料的许用应力为:,工作应力小于许用应力，杆件能够安全工作。,例8-5、图8-27所示吊环，由圆截面斜杆AB、AC与横梁BC所组成。吊环的最大吊重F=500kN，斜杆用锻钢制成，其许用应力120MPa，斜杆与拉杆轴线的夹角=200，试确定斜杆的直径。,解：(1)斜杆轴力分析:,(2)截面设计:,例8-6 已知简单构架：杆1、2截面积 A1=A2=
11、100 mm2，材料的许用拉应力 t =200 MPa，许用压应力 c =150 MPa。试求许用载荷 F。,解：1. 轴力分析,2. 确定F的许用值, t =200 MPa c =150 MPa A1=A2=100mm2,2. 确定F的许用值,8-7 胡克定律与轴向拉压杆的变形,轴向拉压杆的变形,1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。,2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。,纵向（轴向）变形：,纵向的绝对变形,纵向的相对变形（轴向线变形）,一、拉压杆轴向的变形与胡克定律,E表示材料弹性性质的一个常数，称为弹性模量。 单位：Mpa、Gpa.,（胡克定律的另一种形式）,轴向拉压试验表明：,（胡克定律
12、）,刚度：构件抵抗变形的能力。,EA：拉压刚度。,二、拉压杆的横向变形与泊松比：, ： 泊松比。,在比例极限围内：,拉压杆的横向变形与与横向正应变分别为,拉伸为负，压缩为正。,几种常见材料的E和值见表8-1。,例5-7 图示螺栓，内径已知： d1 = 15.3 mm，被连接部分的总长度 l = 54 mm ，拧紧时螺栓AB段的伸长Dl 0.04 mm， 钢的弹性模量E200 GPa，泊松比m = 0.3，试计算螺栓横截面上的正应力 s及 螺栓的横向变形 Dd。,解：1) 求横截面正应力,解：1) 求横截面正应力,2) 螺栓横向变形,即螺栓直径缩小 0.0034 mm,例8-8 图示圆截面杆，已
13、知F=4kN， l1=l2=100mm，弹性模量E=200GPa。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不超过0.10mm，即许用变形Dl= 0.10mm。试确定杆径d。,解：AB、BC段的 轴力分别为：,相应的变形分别为：,F=4kN， l1=l2=100mm，E=200GPa。 Dl= 0.10mm。试确定杆径d。,杆AC总伸长为：,桁架的节点位移,求节点B的位移。,1杆伸长，2杆缩短。,沿杆件方向绘出变形,注意：变形必须与内力一致,拉力伸长；压力缩短,以垂线代替圆弧，交点即为节点新位置。,4、根据几何关系求出 水平位移（ ）和 垂直位移（ ）。,A,B,C,300,A1,A2,P,A,A,=l
14、2,=AE+EA3,例8-7 图示桁架在节点A承受铅垂载荷F=10kN的作用，试求该节点的位移。已知钢杆1的弹性模量E1=200GPa，横截面面积A1=100mm2，杆长l1=1m；硬铝杆2弹性模量E2=70GPa，横截面面积A2=250mm2，杆长l2=707mm。,解: 轴力:,F=10kN E1=200GPa，A1=100mm2，l1=1m E2=70GPa，A2=250mm2，l2=707mm。,A点的水平位移：,A点的铅垂位移：, 8-8 简单拉压静不定问题,静定问题：约束力与内力（例如轴力）均可由静 力平衡方程确定的问题。,静不定定问题：由静力平衡方程尚不能确定全部未知力的问题。,
15、X=0； Y=0。,静定,静不定,静不定度(次数)=未知力个数m静力平衡方程数n,二、静不定问题解法（分析）,解： （1）列平衡方程,这是一次静不定问题,（2）变形几何关系 变形协调条件（方程）,变形协调条件是：变形后A点仍将三杆绞结在一起,变形协调方程为,（3）补充方程,物理方程为,（4）联立平衡方程与补充方程求解,静不定的求解步骤：,2、根据变形情况（关系）列出变形协调条件 方程；,3、根据物理关系写出补充方程；,4、联立静力平衡方程与补充方程求出所有的 未知力。,1、列出静力平衡方程；,例8-10 图示AB杆，两端固定，在横截面C处承受轴向载荷F作用。设拉压刚度EA为常量，试求杆端的支反力。,解：1）画受力图、列 平衡方程；,2）变形协调方程(几何方程):,3）物理方程(胡克定律):,2）变形协调方程 (几何方程):,3）物理方程(胡克定律):,1）列平衡方程；,4）解方程（a）和（e）即得：,铆钉连接,销轴连接,8-9 连接件的强度计算,平键连接,打滑,键联接结构,转动,*受力特征：,杆件受到两个大小相等，方 向相反、作用线垂直于杆的 轴线并且相互平行且相距很 近的力的作用。,*变形特征：,杆件沿两力之间的截面发生错动，直至破坏。,剪切
