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1、第 八 章,梁的应力及强度设计,DESIGN OF BEAMS FOR BENDING STRESSES,一。 对称弯曲正应力,梁横截面上只有弯矩,而剪力为零,此种弯曲为纯弯曲,梁的横截面上同时有剪力与弯矩,这种弯曲称为横力弯曲,1.纯弯梁横截面上的正应力,1)纯弯曲的实验现象及相关假设,a.梁表面的纵向直线均弯曲成弧线,而且,靠顶面的纵线缩短, 靠底面的纵线拉长,而位于中间位置的纵线长度不变。 b.横向直线仍为直线,只是横截面间作相对转动,但仍与纵线 正交。 c.在纵向拉长区,梁的宽度略减小,在纵向缩短区,梁的宽度 略增大。,根据上述表面变形现象,我们对梁内部的变形及受力作如下假设: a.梁
2、的横截面在梁变形后仍保持为平面,且仍与梁轴线正交。此为平面假设。 b.梁的所有与轴线平行的纵向纤维都是轴向拉长或缩短(即纵向纤维之间无相互挤压)。此为单向受力假设。,将与底层平行、纵向长度不变的那层纵向纤维称为中性层。中性层即为梁内纵向纤维伸长区与 纵向纤维缩短区的分界层。中性层与横截面的交线被称为中性轴。,纯弯梁变形时,所有横截面均保持为平面,只是绕各自的中性轴转过一角度,各纵向纤维承 受纵向力,横截面上各点只有拉应力或压应力。,2)纯弯梁变形的几何规律,距中性层为y处的纵线ab的变形量:,故ab纵线的正应变则为:,上式表明:每层纵向纤维的正应变与其到中性层的距离成线形关系。,3).物理方程
3、与应力分布,由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩,于是在正应力不超过比例极限时,由虎克 定律知,表明横截面上正应力沿截面高度呈线形分布,而中性轴上各点的正应力为零。,(a),4).静力学关系,因:,将(a)式代入(b),于是有:,即:,由此可见,中性轴过截面形心。,(b),(c),将(a)式代入(c)并令,得:,由此可知,中性层的曲率为:,Iz为截面对Z轴的惯性矩,中性层的曲率1/与弯矩M成正比,与EIz成反比。可见,EIz的大小直接决定了梁抵抗 变形的能力,因此称EIz为梁的截面抗弯刚度,简称为抗弯刚度。,将上式代入(a)式,得:,2.常见截面的惯性矩、抗弯截面系数及组合截面的惯性矩, 矩形截
4、面的惯性矩Iz,根据惯性矩定义有:, 圆形截面的惯性矩Iz,同理,空心圆截面对中性轴的惯性矩为,式中D为空心圆截面的外径,为内、外径的比值。,a) 惯性矩,Iz / ymax只与截面的形状及尺寸相关,称其为抗弯截面模量,用Wz表示,因此,最大弯曲正应力即为:, 矩形截面抗弯截面系数, 圆形截面抗弯截面系数,同理,空心圆截面的抗弯截面系数,b)抗弯截面模量,c) 组合截面的惯性矩,将组合截面A划分为n个简单图形,设每个简单图形面积分别为A1、A2、An。 根据惯性矩定义及积分的概念,组合截面A对某一轴的惯性矩等于每个简单图形对同 一轴的惯性矩之和,即:,惯性矩的组合公式,平行移轴定理:,截面对任
5、一轴(不通过形心)的惯性矩,等于截面对平行 于该轴的形心轴的惯性矩与一附加项之和,该附加项等于 截面面积与两轴距离平方之积。因该附加项恒为正,所以 ,截面对形心轴的惯性矩最小。,例81图810所示为T字形截面,求截面对形心轴zC的惯性矩Iz。,解:(1)确定界面形心C的位置 建立坐标系Oyz,将截面分为两个矩形、,其面积及各自的形心纵坐标分别为: A160201200mm2 yC120/210mm A2=4020800 mm2 yC240/22040mm 由形心计算公式,组合截面形心C的纵坐标为,(2)求截面对形心轴zC的惯性矩Iz根据组合公式有:,由平移轴公式有:,故有:,3.横力弯曲时梁的
6、正应力计算,例82图811a所示矩形截面悬臂梁,承受均布载荷q作用。已知q=10N/mm, l=300mm。b=20mm,h=30mm。试求B截面上c、d两点的正应力。,解:(1)求B截面上的弯矩 由截面法,求得:,(2)求B截面上c、d处的正应力,例83求图812a所示铸铁悬臂梁内最大拉应力及最大压应力。P=20KN, Iz=10200cm4。,解:(1) 画弯矩图,确定危险面,(2) 确定危险点,计算最大拉应力与最大压应力,显然,A截面上的最大拉应力要大于B截面上的最大拉应力,故梁内最大拉应力发生在A截面下边缘各点,对A、B两截面,需经计算,才能得知哪个截面上的最大压应力更大:,由此可见,
7、梁内最大压应力发生在B截面的下边缘各点,二. 对称弯曲切应力简介,根据剪应力互等定理可知,在截面的两侧边缘,剪应力的方向一定 平行于截面侧边。若截面是窄而高的,则可以认为剪应力沿横截面的 宽度方向均匀分布。,根据局部梁的平衡条件,可推出梁横截面上y处的剪应力为:,式中,Q为横截面上的剪力;b为横截面上所求应力点处的宽度;Iz为整个横截面对中性轴 的惯性矩;Sz()为y处横线一侧的部分横截面对中性轴的静矩。,矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度按抛物线规律变化 ,中性轴处剪应力最大,为:,工字钢截面由上、下翼缘及垂直腹板组成。计算结果表明,横截面上的剪应力 主要分布于腹板上,由于腹板为狭长矩形,所以
8、可以应用公式分析并计算其上的剪应力。 腹板上的剪应力仍按抛物线规律变化,最大剪应力在中性轴上。当腹板宽度远小于翼缘 宽度时,腹板上最大剪应力与最小剪应力相差不大,可近似认为剪应力在腹板上呈均匀 分布。,例84. 试计算图815a所示工字形截面梁内的最大剪应力。,解:(1)画梁的剪力图,最大剪力为15KN,b=6mm,Iz/Sz()=13.8cm,(3)计算应力,(2)查表得No16工字钢的截面几何数据,三. 梁的强度条件及其应用,1 弯曲强度条件: 在一般载荷作用下的细长、非薄壁截面梁,弯矩对强度的影响,要远大于剪力的影响。 因此,对细长非薄壁梁进行强度计算时,主要是限制弯矩所引起的梁内最大弯
9、曲正应力 不得超过材料的许用正应力,即:,2 强度条件的应用,我们常常应用强度条件来解决三类强度问题:强度校核、设计截面、确定许可载荷。 在进行这类强度计算时,一般应遵循下列步骤: 分析梁的受力,依据平衡条件确定约束力;分析梁的内力(画出弯矩图) 依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况,确定可能的危险面:对等截面梁,弯矩最大截面即为危险 面。对变截面梁,则需依据弯矩及截面变化情况,才能确定危险面。 确定危险点:对于拉、压力学性能相同的材料(如钢材),其最大拉应力点和最大压应力点具有 同样的危险程度,因此,危险点显然位于危险面上离中性轴最远处。而对于拉、压力学性能不等的 材料(如铸铁),则需分别计算
10、梁内绝对值最大的拉应力与压应力(如例83),因为最大拉应力 点与最大压应力点均可能是危险点。 依据强度条件,进行强度计算。,例85一原起重量为50KN的单梁吊车,其跨度l=10.5m(其计算简图如图813a), 由45a号工字钢制成。而现拟将其重量提高到Q=70KN,试校核梁的强度。若强度不够, 再计算其可能承受的起重量。梁的材料为A3钢,许用应力=140MPa;电葫芦自重 G=15KN,暂不考虑梁的自重。,解:(1)做弯矩图,确定危险面,(2)计算最大弯曲正应力,(3)依据强度条件,进行强度计算,梁的最大起重量为61.3KN,例86图814a所示简支梁,受均布载荷q作用,梁跨度l=2m,=1
11、40MPa, q=2KN/m,试按以下两个方案设计轴的截面尺寸,并比较重量。,1.实心圆截面梁 2.空心圆截面梁,其内、外径之比 = 0.9。,解:画梁的弯矩图,由弯矩图可知,梁中点截面为危险截面, 其上弯矩值为:,(1)据强度条件设计实心截面梁的直径d:,取 d=42mm,(2).确定空心截面梁的内、外径d1及D,取 D=60mm,则 d1=0.9D=54mm,(3).比较两种不同截面梁的重量 因材料及长度相同,故两种截面梁的重量之比等于其截面积之比。 重量比为:,四. 提高梁强度的主要措施,降低梁内最大正应力,通常可以从以下几方面采取措施,选择合理的截面形状,合理的截面形状,就是用最少的材
12、料获得最大的抗弯截面模量的截面。一般情况下,抗弯截面模量与截面高度的平方成正比,因此,在横截面积不变的前提下,将较多材料配置在远离中性轴的位,便可获取较大的抗弯截面模量,从而降低梁内的最大弯曲正应力。而另一方面,由于弯曲正应力沿截面高度呈直线分布,当离中性轴最远处的正应力达到许用应力时,中性轴附近各点处的正应力仍很小,而且离中性轴较近的区域所承担的弯矩很小。所以,将较多材料配置于远离中性轴的部位,也会提高材料的利用率。,2.采用变截面梁或等强度梁,从强度角度考虑,理想的变截面梁应使所有截面上的最大弯曲正应力均相等,且趋近材 料的许用应力,此种梁称为等强度梁。,阶梯轴为近似的等强度梁,等高等强度
13、梁。,3.改善梁的受力状况,合理安排梁的约束及加载方式,可以降低梁内的最大弯矩,从而减小梁内最大弯曲正应力, 这是提高梁强度的另一措施。,五.斜弯曲,图示梁,载荷P位于梁右端面内,通过形心,但不与该面的对称轴重合, 此类弯曲,称为斜弯曲。,力P沿y、z方向分解:,、,Py使梁在xy平面(水平面)内产生对称弯曲,Pz使梁在xz平面(铅垂面)内产生对称弯曲,由内力图知,固定端截面处弯矩最大,此处为危险面。梁在水平面内及铅垂面内发生对称弯曲时,危险面上正应力分布 :,危险面上最大拉应力及最大压应力分别发生于D1、D2两点处,D1、D2两危险点处,只有正应力,其强度条件与对称弯曲的强度条件相同,即,即
14、,例88. 图示悬臂梁,承受载荷F1与F2作用,已知F1=800N, F2=1.6KN,l=1m,许用应力 =180Mpa,试分别在下列两种情况下,校核梁的强度。,1)截面为矩形,h=2b=80mm; 2)截面为圆形,d=60mm。,此梁受到两个集中力作用,两个力分别作用于 梁的不同方位的纵向对称面内,此类弯曲也属 斜弯曲。,解: 内力分析 梁在F1、F2作用下,分别在水平方位及铅垂方位产生对称弯曲,其各自的弯矩图:,(2)求危险面上的最大正应力,校核强度 A梁横截面为矩形,危险面上的最大正应力发生在E、F两点处,其值为,B梁横截面为圆形,梁在水平方位弯曲时,最大弯曲正应力发生在危险面的A、B
15、两点处;铅垂方位弯曲时, 最大弯曲正应力则发生在C、D两点处,可见,两个方位弯曲所产生的最大弯曲正应力并 不发生于同一点处,不能将两个最大弯曲正应力叠加。但是,因圆截面梁有无数个纵向 对称面,所以,只要载荷过截面圆心且垂直于梁轴线,梁就会产生对称弯曲。所以,可 以将危险面上两个相互垂直的弯矩合成,进而求在合弯矩作用下的最大弯曲正应力,此 即为该面上的最大正应力。,六. 拉(压)弯组合变形的强度计算,图示梁上除作用有横向力外,同时还作用有 轴向力,在这样的外力作用下,杆将产生弯 曲与拉伸(或压缩)的组合变形。,由内力分析可知,C截面为危险截面,其上内力分布如图:,最大正应力产生于距中性轴最远各点
16、处,拉(压)弯组合变形的强度条件为:,例89. 图828a所示一简易起重架由No.18工字钢和拉杆组成;滑车自重及载重共为 P=25kN,梁AB的许用应力 =120 MPa;当滑车移动到梁中点时,校核梁AB的强度。,解: AB梁产生压弯组合变形。 1)由平衡方程求约束力:,2) 内力分析,轴力图与弯矩图 :,3)计算最大正应力,校核强度,强度符合要求,例810 承受偏心载荷的矩形截面杆,用实验方法测得杆二侧的纵向应变分别是 a=110-3 和b=0.410-3 ,材料的弹性模量E=210GPa ;求拉力P和偏心矩e的值。,将偏心载荷平移至杆轴线,得到轴向载荷与 力偶。可见,偏心拉(压)属拉(压)弯组合 变形。,解: 1)将外力向轴线简化,2)求a、b点的应力 杆件产生拉弯组合变形时,a、b两点处只有正应力,其值分别为:,3)由胡克定律,得:,由上面两式联立解得: P=18.4KN,e=1.78mm,