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1、第七章 数字特征及极限理论,数学期望 方差和标准差 协方差和相关系数 大数定律和中心极限定理,一、数学期望的概念,三、数学期望的性质,二、随机变量函数的数学期望,四、小结,第一节 数学期望,一、数学期望的概念,因此, A 能“期望”得到的数目应为,而B 能“期望”得到的数目, 则为,故有, 在赌技相同的情况下,A, B 最终获胜的,可能性大小之比为,即A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的,因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值,等于,X 的可能值与其概率之积的累加.,即为,若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.,则X 所取可能值为:,
2、其概率分别为:,设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下,引例2 射击问题,试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?,解,平均射中环数,设射手命中的环数为随机变量 Y .,平均射中环数,“平均射中环数”的稳定值,“平均射中环数”等于,射中环数的可能值与其概率之积的累加,1. 离散型随机变量的数学期望,分赌本问题,A 期望所得的赌金即为 X 的数学期望,射击问题,“平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期望,关于定义的几点说明,(3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.,(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平
3、均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值.,(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,随机变量 X 的算术平均值为,假设,它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值.,当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等.,试问哪个射手技术较好?,实例1 谁的技术比较好?,解,故甲射手的技术比较好.,实例2 发行彩票的创收利润,某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖
4、1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.,解,设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则,每张彩票平均可赚,每张彩票平均能得到奖金,因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为,实例3 如何确定投资决策方向?,某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?,解,设 X 为投资利润，则,存入银行
5、的利息:,故应选择投资.,2.连续型随机变量数学期望的定义,解,因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.,实例4 顾客平均等待多长时间?,1. 离散型随机变量函数的数学期望,解,二、随机变量函数的数学期望,设随机变量 X 的分布律为,则有,因此离散型随机变量函数的数学期望为,若 Y=g(X), 且,则有,2. 连续型随机变量函数的数学期望,若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) , 则,3. 二维随机变量函数的数学期望,解,实例5 设 ( X , Y ) 的分布律为,实例6,解,实例7,解,因此期望所得为,1. 设 C 是常数, 则有,证明,2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有,证明,例如,三、数学期望的性质,4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有,3. 设 X, Y 是两个随机变量, 则有,证明,说明 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.,解,实例8,四、小结,数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.,2. 数学期望的性质,思考问题1商店的销售策略,思考问题2 分组验血,思考问题3,
