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1、第十章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,三、二重积分的性质,第一节,一、问题的提出,二、二重积分的概念,二重积分的概念与性质,第十章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法: 类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xOy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,4)“取极限”,令,2. 平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .,度为,设D 的面积为 ,则
2、,若,非常数 ,仍可用,其面密,“大化小, 常代变,近似和, 求极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小块 .,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“大化小, 常代变, 近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,二、二重积分的概念,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄
3、板的质量:,如果 在D上可积,元素d也常记作,二重积分记作,这时,分区域 D ,因此面积,可用平行坐标轴的直线来划,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，是柱体的体积的负值,一般地，是有向体积,思考:教材P136 第2题,三、二重积分的性质,( k 为常数), 为D 的面积, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（与定积分有类似的性质）,特别, 由于,则,5. 若在D上,6. 设,D 的面积为 ,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（二重积分估值不等式）,7.(二重积分的中值定理),证: 由性质6 可知,由连续函数介
4、值定理, 至少有一点,在闭区域D上, 为D 的面积 ,则至少存在一点,使,使,连续,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注：在求有二重积分参与的极限时常用到此定理。,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线,从而,而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 估计下列积分之值,解: D 的面积为,由于,积分性质5,即: 1.96 I 2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,补充性质8 （对称性）,（以下假设f(x,y)在积分区域D上连续，并记I ）,1、若D关于x轴对称，f(x,
5、y)关于y是奇函数, 则I0；,若D关于x轴对称，f(x,y)关于y是偶函数(f(x,-y)=f(x,y), 则I 。,2、若D关于y轴对称，f(x,y)关于x是奇函数,则I0,若D关于y轴对称，f(x,y)关于x是偶函数,则 I 。,注：在运用对称性时要兼顾被积函数和积分区域两个方面，不可误用,在第一象限部分, 则有,性质9 （积分变量的轮换不变性）,若积分区域D关于直线y=x对称，则,说明：性质8、9可化简重积分计算。,轮换不变性是多元函数积分所独有的性质,例3. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,内容小结,1. 二重积分的定义,2. 二重积分的性质,(与定积分性质
6、相似),机动 目录 上页 下页 返回 结束,被积函数相同, 且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1. 比较下列积分值的大小关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 证明:,其中D 为,解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有,又 D 的面积为 1 ,故结论成立 .,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1. 估计,的值, 其中 D 为,解: 被积函数,D 的面积,的最大值,的最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 判断,的正负.,解：当,时，,故,又当,时，,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
