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1、2013考研数学基础班,第一章 函数、极限、连续,一、函数,1.函数的概念(定义域、对应法则、值域）,2.函数的性态：,单调性、奇偶性、周期性、有界性,有界性 ：,3.复合函数与反合函数 (求复合函数和反函数）,4.基本的初等函数与初等函数,将幂函数 ,指数,对数,三角,反三角统称为基本,初等函数.了解它们的定义域,性质,图形.,（1）基本初等函数:,第一章 函数、极限、连续,函数,（2）初等函数：,由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.,常考题型：,1.函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定；,2.复合函数；,第一章 函数、极限、连续,函数,
2、【例2】已知,则,定义域为,【解】,第一章 函数、极限、连续,由,知,则,令,得,函数,【例3】设,则,【解】,第一章 函数、极限、连续,函数,二、极限,1.极限概念,（1）数列极限:,当,时，恒有,（2）函数极限:,当,时，恒有,当,时, 恒有,第一章 函数、极限、连续,极限概念及四大性质,右极限：,左极限：,几个值得注意的极限：,第一章 函数、极限、连续,（错）.,(1),（错）.,(2),极限概念及四大性质,（错）.,（错）.,（错）.,正确的是,正确的是,正确的是,(3),(5),(4),极限概念及四大性质,2.极限性质,（1）局部界性,若,存在, 则,在,某去心邻域有界。,（2）保号
3、性, 如果,则存在,当,时，,如果当,时,那么,设,极限概念及四大性质,有理运算性质,那么:,若,第一章 函数、极限、连续,存在 不存在 不存在；,不存在 不存在 不一定；,存在()不存在 不一定；,不存在()不存在 不一定.,(1),(3),(2),(4),极限概念及四大性质,2）,极限值与无穷小之间的关系;,其中,两个常用的结论：,存在，,1）,第一章 函数、极限、连续,极限概念及四大性质,3.极限存在准则,（1）夹逼准则：,若存在,且,则,（2）单调有界准则：,单调有界数列必有极限。,4.常用的基本极限,当,时，,第一章 函数、极限、连续,极限存在准则、常用极限及无穷小量,（2）无穷小的
4、比较,高阶：,若,； 记为,同阶：若,等价：若,；记为,5.无穷小量,（1）无穷小量的概念,若,则称,为,时的无穷小量。,设,第一章 函数、极限、连续,极限存在准则、常用极限及无穷小量,无穷小的阶:,若,，称,是,的,阶无穷小.,（4）等价无穷小代换,若,且,存在，,则,（3）常用等价无穷小：,时,当,第一章 函数、极限、连续,极限存在准则、常用极限及无穷小量,（5） 无穷小的性质:,（2）有限个无穷小的积仍是无穷小.,（1）有限个无穷小的和仍是无穷小.,（3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小.,6.无穷大量,若,则称,为,时的无穷大量,（1）无穷大量的概念,第一章 函数、极限、连续,极限存在准
5、则、常用极限及无穷小量,当,时,其中,（2）常用的一些无穷大量的比较,当,时,其中,（3）无穷大量与无界变量的关系：,无穷大量,无界变量,第一章 函数、极限、连续,极限存在准则、常用极限及无穷小量,（4）无穷大量与无穷小量的关系：,在同一极限过程中, 如果,是无穷大, 则,是无穷小；反之, 如果,是无穷小, 且,则,是无穷大；,常考题型：,1.求极限；,2.无穷小量阶的比较；,第一章 函数、极限、连续,极限存在准则、常用极限及无穷小量,1.求极限：,方法1 有理运算,【例1】,.,第一章 函数、极限、连续,【解】,求极限与无穷小阶的比较,【例2】,【解】,第一章 函数、极限、连续,求极限与无穷
6、小阶的比较,方法2 基本极限,【例1】,其中,第一章 函数、极限、连续,型极限，关于此类极限有以下常用结论,【分析】 本题是,若,且,则,，,，,A,求极限与无穷小阶的比较,【解】由于,且,则,求极限与无穷小阶的比较,【例2】极限,（ ）,（A） （B） （C） （D）,第一章 函数、极限、连续,【解法1】,求极限与无穷小阶的比较,第一章 函数、极限、连续,【解法2】,故应选（C）,求极限与无穷小阶的比较,方法3 等价无穷小代换,【例1】,第一章 函数、极限、连续,【解】,求极限与无穷小阶的比较,【例2】,第一章 函数、极限、连续,【解】,求极限与无穷小阶的比较,方法4 夹逼原理,【例1】,第
7、一章 函数、极限、连续,【解】由于,且,则,求极限与无穷小阶的比较,【例2】,第一章 函数、极限、连续,【解法2 】由于,【解法1】,又,则,求极限与无穷小阶的比较,第一章 函数、极限、连续,，则,又,【例3】,其中,【解】 令,则,【注】本题的结论是一个常用结论,求极限与无穷小阶的比较,方法5 单调有界准则,【例】设,求极限,第一章 函数、极限、连续,【解】,则数列 有下界，又,知,求极限与无穷小阶的比较,第一章 函数、极限、连续,则数列,单调减，从而,存在,令,则,，,求极限与无穷小阶的比较,2.无穷小量阶的比较,【例1】当,时，,与,是等价无穷小，则,第一章 函数、极限、连续,【解】,则
8、,求极限与无穷小阶的比较,【例2】设当,时，,是比,高阶,的无穷小，而,是比,高阶的无穷小，,则,正整数,等于,（A）1. （B）2. （C）3. （D）4.,第一章 函数、极限、连续,【解】,，,则,，即,求极限与无穷小阶的比较,三、连续,1.连续的定义:,若,称,在,处连续。,左连续:,右连续：,连续,左连续且右连续,2.间断点,1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点,可去间断点: 左极限 = 右极限,跳跃间断点: 左极限,右极限,2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在,无穷间断点,振荡间断点,第一章 函数、极限、连续,连续的定义、性质和间断点,3.连续函数性质,（1）连续
9、函数的和、差、积、商（分母不为零）及复,合仍为连续函数；,（2） 基本初等函数在其定义域内是连续；,（3）有界性：若,在,上连续,则,在,上有界。,（4）最值性: 若,在,上连续, 则,在,最大值和最小值。,上必有,初等函数在其定义区间内是连续；,（5）介值性: 若,在,上连续,且,则对,之间任一数C,与,至少存在一个,使得,第一章 函数、极限、连续,连续的定义、性质和间断点,（6）零点定理,在,上连续, 且, 则必,，使,在,上连续, 则,在,到介于它在,上最小值与最大值之间的一切值.,上可取,推论：若,若,常考题型,1.讨论函数的连续性及间断点的类型；,2.有关闭区间上连续函数性质的证明题;,第一章 函数、极限、连续,连续的定义、性质和间断点,【例1】已知,处连续，则,在,第一章 函数、极限、连续,【解】,又,则,连续性、间断点及相关证明题,【例2】讨论,的连续性并指出间断点类型.,第一章 函数、极限、连续,【解】由于,为初等函数，则除,外处处连续。,在,和,处，,连续性、间断点及相关证明题,第一章 函数、极限、连续,则 为跳跃间断点,处，,为可去间断点.,则,在,连续性、间断点及相关证明题,
