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1、第五节 平面及其方程,一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 四、小结与教学基本要求,法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,一、平面的点法式方程,（简称为法向量）:,如果一非零向量垂直于一平 面，这向量就叫做该平面的 法线向量记作,问题：,-点法式方程,可以看出:,必有,解：,又因为平面上的点的坐标都满足方程(1)，不在平面上的点的坐标都不满足方程(1)，方程(1)称为平面的方程，平面称为方程(1)的图形,解.,得所求平面方程为:,化简得:,例2,化简得:,所求平面方程为:,解,例3,解.,练习,由平面的点法式方程,二、平面的一般方程,即，平面方程是三元一次方
2、程。,反之，设三元一次方程为,-平面的一般方程,法向量,反之，设三元一次方程为,与（1）比较，,（2）是过点,的平面方程。,平面过坐标原点；, x 轴；, y 轴；, z 轴；, xoy 面；, yoz 面；, xoz 面。,取平面的法线向量为：,所求平面方程为：,解(1),例4,设平面方程为：,由平面过原点知:,解(2),例4,所求平面方程为：,设平面方程为：,将三点坐标代入得:,解,例5,设平面方程为：,将三点坐标代入得:,解,平面方程为,-平面的截距式方程.,设平面方程为：,解,例6,两平面法线向量之间的夹角称为两平面 的夹角,称为两平面的夹角.,定义,（通常取锐角）,三、两平面的夹角,
3、按照两向量夹角余弦公式有:,按照两向量夹角余弦公式有:,-两平面夹角余弦公式.,例7,解,解(一),例8,?,(1),?,?,(1),例8,?,解(二),解,所求平面的点法式方程为:,练习,所求平面的点法式方程为:,解,所求平面的截距式方程为:,练习,求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,练习,习 题,1.解:,解:,解,平面的方程,两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,四、小结与教学基本要求:,掌握：,三种方程的互化,作业,习题 8-5 ( P 42-43): 2,3, 6, 8(3), 9,
