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1、欢迎同学们,登高必自,高 等 数 学,主讲教师：苏本堂,联系地点 文理大楼 719 电子邮件 办公室电话 8242504 手机号码 13515481622,数学课开课漫谈,走好成才之路 数学的重要性 如何学好高等数学 几点要求,多思多学，做好自己的人生规划,走好成才之路,团结宽容，自尊自爱自律,走好成才之路,学会学习 积极进取 远离网吧 努力成才,走好成才之路,数学的重要性,（高等）数学是科学的大门和钥匙。,高科技本质上就是数学技术,数学是物理、化学、天文学、生物学等学科的基础,电子计算机是数学与工程技术相结合的产物,数学在经济、财政和金融等社会活动中，有重要意义,著名数学家华罗庚指出：“宇宙
2、之大，粒子之微， 火箭之速，地球之变，生物之迷，日用之繁”无一 能离开数学。,著名数学家高斯的说“数学是科学的女王”,数学的重要性,（高等）数学是思维的体操,培根说“数学使人严密”,数学给予人们的更重要的是能力：观察实验、收集信息、归纳类比、直觉判断、逻辑推理、建立模型和精确计算。这些能力和培养，将使人终身受益。,数学能力就是管理力、领导力、致富力、成功力、竞争力。,想要在竞争激烈的社会中生存，必须具备数学的逻 辑力、联想力、实践力等基本“工作能力”，这是职 场必然的法则。,数学的重要性,（高等）数学是考研的必考科目，分量极重,考研一般考试4门课程：英语100分，政治100分， 数学150分，
3、专业150分 数学课试卷内容结构 高等教学 56 线性代数 22% 概率论与数理统计 22,如何学好高等数学,理解概念 数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质, 弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真 正地理解一个概念。,掌握定理 定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。 对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清 它的适用范围，做到有的放矢。,如何学好高等数学,在弄懂例题的基础上作适量的习题、 课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念 和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法在理 解例题的基础上作适量的习题。作题时要善于总 结- 不仅总结方法，也要总结错误。这样，作 完之后才会有
4、所收获，才能举一反三。,理清脉络 要对所学的知识有个整体的把握，及时总结知识 体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进 一步的学习有所帮助。,如何学好高等数学,做好预习,适当做好课堂笔记,选择合适的课外指导书,几点要求,遵守课堂纪律 按时上课，有事请假，杜绝旷课 上课请关闭手机 认真听讲，不许交头接耳,按时交作业，独立完成。 交作业时间：每周第一次上数学课的时间 作业纸购买时间：本周二、四晚上7:009:00 地点：教学楼大厅,学习出现的问题和老师及时交流,初等数学 研究对象：常量 初等方法：有限的方法 初等数学是用有限的方法研究常量的数学 高等数学 研究对象：变量（函数） 研究方法：极限
5、的方法 高等数学是用极限的方法研究变量的数学,绪,一元微分学,一元积分学,多元微分学,空间解析几何,多元积分学,级数,常微分方程,高等 数学,第一章 函数与极限,第一节 映射与函数,第二节 数列的极限,第三节 函数的极限,第四节 无穷小与无穷大,第五节 极限运算法则,第六节 极限存在准则 两个重要极限,第七节 无穷小的比较,第八节 函数的连续性与间断点,第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性,第十节 闭区间上连续函数的性质,第一节 映射与函数,一、 集合,二、 映射,三、 函数,一、集合,集合与元素之间的关系aM：若x是集合的元素；,1.集合概念,(1)集合：具有某种特定性质的事物的总体，
6、集合的元素通常用A，B，S，T 等表示.,元素: 组成这个集合的事物 集合的元素通常用a，b，x，y等表示.,集合分为有限集和无限集.,a M: 若x不是集合的元素.,(2)集合的表示法,列举法:将集合的元素一一列举出来,描述法:,如:,N=全体自然数，Z=全体整数， Q=全体有理数，R=全体实数.,(3)常用的集合记号,如果 ，必有 , 则称A是B的子集，记为,不含任何元素的集合，则称为空集记为. 是任何集合的子集.,(4) 集合的关系,若 ，且 ,则称A是B的真子集,记为 .,若 ，且 ,则称A与B相等,记为 .,2. 集合的运算,设A、B是二个集合，定义,(A与B的并集),(A与B的交集
7、),(A与B的差集),设I表示我们研究某个问题的全体, 则其他集合A都是I的子集,称I为全集或基本集.,A的余集或补集记为:,例如: 在实数集R中,则有,设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：,（1）交换律,（2）结合律,（3）分配律,（4）对偶律,以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.,集合的运算法则,3. 区间和邻域,设a,bR,且ab,开区间,闭区间,半开区间,称a,b为区间的端点，称ba为这些区间的长度.,以上这些区间都称为有限区间.,无限区间,用数轴可以表示区间, 区间常用I表示.,(2) 点a的去心邻域：,注 若不强调的大小，点a的去心邻域记为,邻域,点a的左邻域:开区
8、间(a-,a),点a的右邻域:开区间(a,a+),(1) 设是任一正数，称开区间(a-,a+)为点a的邻域，记为U(a,)，即,点a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.,二、映射,1、映射的概念,定义 设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法 则f , 使得对X中每个元素x, 按法则f , 在Y中有唯一 确定的元素 y与之对应, 则称f 为从X到Y的映射,记为,其中y称为元素x(在映射 f 下)的像,记作f(x), 即y=f(x) ,元素x称为元素y(在映射f 下)的一个原像;,集合X称为映射f 的定义域, 记作D f , 即D f =X;,X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域, 记
9、作 Rf 或 f(X), 即,注意:,(1) 一个映射必须具备以下三个要素:,集合X, 即定义域D f =X,集合Y, 即值域的范围:,与之对应.,(2) 对每个 ,元素x的像y是唯一的;,对每个 ,元素y的原像不一定是唯一的;,映射f 的值域 是Y的一个子集,即 ,不一定 .,例1 设 , 对每个 , .,显然, f是一个映射, f 的定义域 ,值域,它是R的一个真子集.对于Rf 中的元素y, 除y=0外,它的原,像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.,例2 设,对每个 ,有唯一确定的,与之对应.,显然, f 是一个映射, f 的定义域 ,值域,这个映射表示将平面上一个圆心
10、在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间-1,1上.,这里f 是一个映射,其定义域 ,值域,f 称为X到Y上的满射：若Rf=Y.即Y中任一元素y,f为X到Y上的单射: 若对X中任意两个不同元素,满射 单射 一一映射,都是X中某元素的像.,f为一一映射(或双射): 若映射f 既是单射又是满射.,如:例1 既非单射, 又非满射;,例2 不是单射,是满射;,例3 既是单射,又是满射,因此是一一映射.,它们的像,映射又称为算子.,根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.,如: 从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.,从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换.,从实
11、数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义 在X上的函数.,2. 逆映射与复合映射,设 f 是X到Y上的单射,定义一个从Rf到X的新映射g,即,这个映射g称为f 的逆映射,记作 其定义域,值域,注意:只有单射才存在逆映射.,例1,2,3中,只有例3有逆映射:,设有两个映射,注意:,(1)映射g 和f 构成复合映射的条件:,两者也不同时有意义.,例4 设有映射,对每个,对每个,三、函数,1.函数概念,对每个 ,按对应法则 f ,总有唯一确定的值y与之对应, 这个值称为函数f 在x处的函数值,记作f (x),即y=,函数值f (x)的全体所构成的集合称为函数f 的值域,定义 设数 集 , 则称映射
12、 为定义D上的,函数，通常简记为,f (x). D称为定义域, 记作 , 即,记作 或 f (D) , 即,函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.,函数的两要素:,定义域 与对应法则f .,如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有(实际) 意义的一切实数值.,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数， 否则叫与多值函数,例如:,对于多值函数, 往往只要附加一些条件,就可以 将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函 数的单值分支.,表示函数的主要方法有三
13、种:表格法、图形法、解析法（公式法）.,定义:点集,称为函数,的图形.,常见的几种函数,例5 函数y=2,例6 函数,例7 函数,称为符号函数,定义域 D=(,+),值域 =1,0,1.,注:对任意的x,有,阶梯曲线,x表示不超过x的最大整数,例8 取整函数 y=x,如-3.4=-4,1=1,定义域 D=(,+), 值域 =Z.,例9 函数,是一个分段函数.它的定义域 D=0,+).,如:,2. 函数的几种特性,(1) 函数的有界性:,(2)有界与否是和X有关的.,(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.,注意:,使,(3)证明无界的方法: 对于任意正数 M ,总存在,(2) 函数的单调性:
14、,设函数f (x)的定义域为D, 区间,如果对于区间I上任意两点x1和x2,当x1x2时,恒有,则称函数f (x)在区间I上是单调增加的(单调减少的);,(3) 函数的奇偶性:,设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于,有f (-x)= f (x)恒成立,则称f (x)为偶函数;,偶函数的图形关于y轴对称.,函数 y=cosx是偶函数.,设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于,有f (-x)= -f (x)恒成立,则称f (x)为奇函数.,奇函数的图形关于原点对称.,函数 y=sinx是偶函数.,函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.,(4) 函数的周期性:,函数s
15、inx, cosx的周期是,函数tanx的周期是,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,则称f (x)为周期函数, l 称为f (x)的周期.,设函数f (x)的定义域为D,如果存在一个正数l ,使得,例10 狄利克雷函数,它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期.,3. 反函数与复合函数,反函数的定义:,设函数,是单射,则它存在,若函数f (x)在D上是单调函数,则f-1也是f (D)上的单 调函数.,直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.,复合函数,定义:设函数 y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有,称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)
16、构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.,函数g与函数f 构成的复合函数通常记为,注:1. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合 函数的;,2. 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,如:,如:,4. 函数的运算,设函数f (x), g (x)的定义域依次为,则可以定义这两个函数的下列运算：,和(差),积,商,例11 设函数f (x)的定义域为(-l ,l ),证明必存在(-l ,l ) 上的偶函数g (x)和奇函数h (x), 使得,证 先分析如下:假若这样的g (x)、 h (x)存在,使得,(1),且,利用(1)、(2)式,就可作出g (x), h (x).,作,则,证毕.,5. 初等函数,基本初等函数,(2)
