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1、例5 计算,解,对面积的曲面积分的应用,面积,质量,重心,转动惯量,例6 求均匀曲面,的重心坐标,解,由对称性,故 重心坐标为,例9 计算,解,由奇偶对称性,上半球面,下半球面,10.5 对坐标的曲面积分,一、基本概念,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,有向曲面的投影问题:,类似地可定义,二、概念的引入,实例: 流向曲面一侧的流量.,2. 求和,3.取极限,3.取极限,三、概念及性质,积分曲面,被积函数,有向面积元,类似可定义,存在条件:,组合形式:,物理意义:,性质:,由定义可知对坐标的曲
2、面积分具有与 对坐标的曲线积分相类似的性质,1。 可加性,2 。 反向性,四、对坐标的曲面积分的计算法,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,对坐标的曲面积分化成二重积分的计算步骤,1）将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数,2）将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy） 中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）,3） 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号,注,积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加,确定正负号的原则： 曲面取上侧、前侧、右侧时为正 曲面取下侧、后侧、左侧时为负,解,原式=,解,例2,五、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系,例3,解,练习 计算,平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所围成的 空间区域的整个边界曲面的外侧,o,x,y,z,解,分成四个部分,同理,同理,小结,1、物理意义,2、计算时应注意曲面的侧,练习 计算 ， 其中 ： 被平面x+z=2 及 z=0截解得的 部分的外侧.,2,z,x,O,y,练习,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角, 计算,解:,
