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1、第四节 有理函数的积分,利用各种代换可将无理函数或超越函数的积分化为 有理式函数的积分.有理式函数的积分可以用初等函数 的形式处理. 1.有理函数: 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数.有理函 数的形式是：,(其中m,n为非负整数,a0,a1,an及b0,b1,bm为实数, 且a00,b0 0),注意: (1)我们假设分子p(x)和分母Q(x)这两个多项式之间 没有公因式; (2)分子是n次多项式,分母为m次多项式, 当nm时,此有理函数为假分式.,2.真分式及其性质 通过多项式的除法,总可以把一个假分式化为一 个多项式和一个真分式之和的形式。,例如,由此可见,对于有理函数的积分,只要计
2、算真分式 即可,因为多项式的积分在前面已经得到了研究,其中p2-4q0,r2-4q0 则部分分式之和的形式如下:,其中A1,.B1,.M1,.N1,.R1,.S1,都是常数,注意: 分母Q(x)中, 如有因式(x-a)k, 则分解后有k个部分分式 之和, 即,(其中A1,A2.AK都是常数,为待定系数)特别是若k=1, 则分 解后的部分分式就是,(2)分母Q(x)中,如有因式(x2+px+q)k,则分解后有下列 k个部分分式之和,即,(其中p2-4q0,M1,N1,.都是常数, 为待定系数)特别是 若k=1,则分解后的部分分式为,例1 把真分式 分解为部分分式之和,解:,此题分母Q(x)分解为
3、二个一次因式, 有,其中A, B为待定系数,2.待定系数的求法 第一种方法：等式右端通分,等式两端去分母,比较等式 两端的系数与常数,使之相等,解方程组,求出待定系数.,第二种方法：在通分和去分母后,得到一恒等式, 在恒 等式中,代入特殊的x值,求出待定系数 例如例1得到 x+3=A(x-3)+B(x-2) 令x=2 A=-5 x=3 B=6 则有部分分式之和为,例2 把真分式 分解为部分分式之和,解:,3.有理真分式的积分 积分步骤: (1)把真分式分解为部分分式之和. (2)对各部分分式积分.,例3 求,例4 计算,例5 计算,下面讨论积分,把分母中的二次质因式配方得到,以此作递推公式,并
4、由,例6,有些可化为有理函数的积分,如,还有些可把代数恒等变形或换元等方法：,从上面的不定积分看出,求一个函数的不定积分比求函 数的导数灵活得多,一个积分可以用多种方法计算,并且 积分结果在形式上也可能不一样,在具体计算时,应尽可 能选择简单的积分法.,例9 求,二、三角函数有理式的积分 1. 三角函数有理式的表达式为R(sinx,cosx) 三角函数有理式是指三角函数和常数经过有限次四则 运算所构成的函数,而各类三角函数都可用sinx及cosx 的有理式表示. 故三角函数有理式也就是sinx, cosx的有理式.,2.简单三角函数有理式积分的求法 万能代换,简单无理函数的积分 1. 简单的无理函数的形式 我们只讨论R(x, t)形式的简单无理函数. 其中：,2.简单无理函数积分举例,一般直接令根号为t ,目的是换元后去掉根号.,例10 求,例11 求,解,注意：不是所有初等函数的不定积分或原函数（即 使存在）都是初等函数, 例如,等都不能用初等函数表示,或者说“积不出来”. “积出来”的只是很小的一部分,而且形式变化多样, 有的技巧性很强.,
