大学统计学 第4章 概率基础课件

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1、统计学导论,xxx 主讲,4-2,第四章 概率基础,第一节 随机现象与随机事件 第二节 概率的性质及其计算 第三节 随机变量及其分布 第四节 几种常用的概率分布,4-3,第一节 随机现象与随机事件,一、确定性现象与随机现象 二、随机事件,4-4,一、确定性现象与随机现象,确定性现象 在一定条件下必然出现（或不出现）某种结果的现象 。,随机现象 在给定的条件下不能确切预言其结果的现象 。,4-5,二、随机事件,对随机现象进行观测又称作随机试验。随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件，简称为事件，一般用大写字母A,B,C,（必要时加下标）来表示。有时，也可用大括号表示事件，括号中写

2、明事件的内容。,4-6,（一）事件的种类 一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作基本事件。基本事件是试验的最基本结果：每次试验必出现一个基本事件，任何两个基本事件都不会同时出现。 由两个或两个以上基本事件所组成的事件称作复合事件。 一项随机试验的所有基本事件的集合，称作该随机试验的基本事件空间。必然事件是每次试验都一定出现的事件，记作。任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件，记作。,4-7,（二）事件的关系和运算 事件的关系有：包含和相等；事件的运算有：和（并），差，交（积），逆。 （1）包含：关系式 表示“若A出现，则B也出现（反之则未必）”，称作“B包含A”，或“A导致B

3、”。,4-8,（2）相等：关系式A=B表示二事件A和B要么都出现，要么都不出现，称作“事件A等于事件B”或“事件A和B等价”。 （3）和（并）：运算式A+B或AB读作“A加B”，称作“A与B的和（并）”，表示“A和B至少出现一个”。对于多个事件 , 或 表示“诸事件中至少出现一个”。,4-9,（4）差：运算式 AB或AB读作“A减B”，称作“A与B的差”，表示“事件A出现但B不出现。” （5）交（积）：运算式AB或AB，称作“A与B的交（或积）”，表示“事件A和B同时出现”。对于多个事件 表示“诸事件 同时出现”。 （6）逆事件： =A不出现，称作A的对立事件或逆事件。显然A和 互为对立事件，

4、它们之间有下列关系：，A =。 （7）不相容：若AB=，即A与B不可能同时出现，则称A和B不相容。,4-10,第二节 概率的性质及其计算,一、概率的概念 二、随机事件的频率与概率的关系 三、概率的性质 四、概率的估计和计算,4-11,一、概率的概念,对于一个随机事件来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。既然有可能性，就有可能性大小问题。事件A在随机试验中出现可能性大小的数值度量，称作概率。事件A的概率以P（A）表示。,4-12,二、随机事件的频率与概率的关系,在相同条件下，重复进行同一随机试验，A是这个试验的一个结果（事件）。设试验的次数为n，在n次重复试验中A出现的次数为nA，则事件A

5、的频率为 通过大量观测，可以发现：随机试验的频率具有随试验次数增加而趋向稳定的性质，而频率的稳定值可以用来反映事件发生的可能性大小。因此，可以说频率的稳定值p是事件A发生的概率。即P(A)=p,4-13,三、概率的性质,设事件A的概率记作P（A），则它应该具有如下性质： 性质1：非负性，即0P(A)1 性质2：规范性，即，对于必然事件，有 P()=1 性质3：对于随机事件Ai(i=1，2，)，只要它 们两两互不相容，则有,4-14,四、概率的估计和计算,（一）概率的直接计算 1.古典型概率 如果一项随机试验的全部基本事件总数有限，并且各基本事件出现的可能性都相同，事件A由若干基本事件所组成，则

6、A的概率可用下式计算,4-15,【例4-1】 袋中盛有除颜色外其他完全相同的50个不同颜色的小球，其中有10个白球。充分混匀后随意摸出一球。求所摸为白球的概率。 解：记A = 抽到白球。该试验总共有50个等可能的基本事件，A包含其中的10个。因此,4-16,2.几何型概率 如果随机试验可模拟区域上随机投点。并且（1）这个区域有明确界限，可以作长度、面积、体积的几何度量。（2）随机点落在这个区域任何一点上的可能性都相同，也就是说，对于中的某一区域g，随机点落在g内的概率与g的几何度量成正比，同它的形状以及在中的位置无关。,4-17,对于这种随机试验，如果以A表示随机点落在区域g中这一事件，则其概

7、率可用下式计算,4-18,【例4-2】 某农场有耕地500亩，其中1号地块面积为8亩。向500亩耕地随机投点，随机点落在500亩耕地每一位置的可能性相等。求1号地块被抽中的概率。,4-19,解：随机点落在1号地块内的概率与地块的面积成正比。1号地块的几何度量为8亩，整个区域几何度量为500亩。记A=随机点落在1号地块=1号地块被抽中，则,4-20,（二）用频率估计概率 在最一般情况下，用事件在大量重复试验中出现的频率估计其概率的值。这样做的依据是概率的稳定性。就这一点前面已经有所叙述。,4-21,（三）主观概率 根据决策者综合各种信息，并依靠其经验和判断力对事件的概率做出估计，这种概率的估计值

8、被称为主观概率。主观概率不假定现象的可重复性，甚至可以根据一次性试验做出判断。例如，请资深体育评论员对即将参赛的两支足球队的胜、负可能性进行估计。在对事件出现的真实可能性缺乏有效估计时，主观概率法也可作为解决问题的一种方法。不过，目前对主观概率法的应用理论界尚存在争议。,4-22,（四）概率的计算 1.概率的加法法则 （1）任意事件的加法规则 任意两个事件和（并）的概率，等于两事件概率的和再减去两事件同时发生的概率。即,4-23,（2）不相容事件的加法规则 两个不相容事件与的和(并)的概率，等于两事件概率的和。即 对多个事件，这个规则也就是前面说过的概率的性质3。,4-24,2.条件概率和乘法

9、公式 在实际问题中，除了要知道事件发生概率外，有时还需要知道在“事件B已发生”的条件下，事件A发生的概率，这种概率称为条件概率，记作 。,4-25,条件概率的下列一般定义：设，A,B是任意两个事件，且P(B)0，则称 为“在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率”，简称“A关于B的条件概率”。 由这个定义，可得到概率的乘法公式：设A与是B任意两个事件，且P(A)0，P(B)0，则,4-26,【例4-4】 设一批产品共N件，其中有M件次品，不放回地抽取两件，求事件第一件抽到的是正品，而第二件抽到的是次品的概率。 解：记A=第一件是正品，B=第二件是次品，所求事件为AB。根据乘法公式，有,4-2

10、7,3.全概率公式 全概率公式可表述如下： 设 为个互不相容事件，且 ,则任一事件的概 率为,4-28,4-29,4-30,4.贝叶斯公式,4-31,4-32,5.事件的独立性 对于两个事件A和B，假若事件B的发生会对事件A发生的概率产生影响，即 ，称事件A与B之间统计相依。假若事件B的发生并不影响事件A发生的概率，称事件A与B之间统计独立。在A与B独立时显然有 ，这时，乘法公式式（4.9）成为,4-33,通常把这个关系式作为事件独立性的定义。即 设A与B是任意两个事件，如果满足 则称事件A与B独立，否则称A与B相依。 在实际应用中，如果两个事件相互间没有影响，则可以认为这两个事件相互独立。,

11、4-34,4-35,应该指出，两个事件相互独立与互不相容是两个不同的概念。独立性是指两个事件的发生互不影响，互不相容是指两个事件不能同时发生。两个不相容事件一定是统计相依的，两个独立事件一定是相容的（除非其中有一个事件的概率为0）。,4-36,4-37,【例4-8】 对同一目标进行3次射击，第一、二、三次射击的命中概率分别是0.3、0.4、0.6，试求在这三次射击中恰有一次命中的概率。 解：记 ， （i=1，2，3），于是可以写出：,4-38,显然，这三个事件是两两不相容的。而 是这三个事件的和。根据不相容事件的加法法则，有 由于三次射击是彼此独立的，即相互独立，故有,4-39,4-40,第三

12、节 随机变量及其分布,一、随机变量的概念 二、随机变量的概率分布 三、随机变量的数字特征,4-41,一、随机变量的概念,（一）什么是随机变量 随机变量就是其取值带有随机性的变量。在给定的条件下，这种变量取何值事先不能确定，只能由随机试验的结果来定，并且随试验的结果而变。,4-42,（二）随机变量的种类 如果随机变量的全体可能取值能够一一列举出来，这样的随机变量称作离散型随机变量（如掷一枚硬币首次出现正面向上所需要的投掷次数）； 如果随机变量的全体可能取值不能一一列举，其可能的取值在数轴上是连续的，则该变量称为连续型随机变量（如可能出现的测量误差）。,4-43,二、随机变量的概率分布,（一）概率

13、分布的概念 随机变量的一切可能值的集合（值域），及其相应的概率叫做随机变量的概率分布。随机变量的统计性质可由它的概率分布来表征。,4-44,1.离散型随机变量的分布 【例4-9】 历史上曾有不少人作过反复投掷均匀硬币的试验。现在定义这样一个随机变量：,表4-1 投掷硬币试验结果的频率分布,4-45,综上所述，离散型随机变量X的每一个可能的取值xi和随机变量取该值的概率p（xi）之间所确立的对应关系称作这个离散型随机变量的分布。P（xi）（i=1，2，3，）称作随机变量X的概率分布或概率函数，它满足下面的关系：p（xi）0和 。,4-46,【例4-10】 袋中共有50个球，其中记上0号的5个，记

14、上k号的分别有k个（ k = 1，2，9）。现从袋中任取一球。试做出所得号数的分布列。 解：记所取之球的号数为随机变量X，由古典概率的计算方法可知：P(x=0)=5 / 50，P(x = k) = k / 50 ( k = 1，2，9)。于是，可做出分布列（见表4-3）。 表4-3 离散型随机变量分布数列,4-47,2. 连续型随机变量的分布 【例4-11】检查了在相同条件下生产的246件汽车活塞，测得所切削之活塞孔对中心线的偏差数据。因偏差尺寸属于连续型变量，对这类变量观测数据的整理应当采用组距式分组。把整理结果做成频率分布表（见表4-4）和次数分布直方图（见图4-1）。,4-48,表4-4

15、汽车活塞削孔对中心线偏差的频率分布,4-49,偏差尺寸（毫米） 图4-1 活塞削孔对中心线的偏差的频率分布,4-50,综上所述，连续型随机变量X的一系列取值区间（例如，可以是由与实数轴上的任意点所构成的一系列区间）和随机变量在该区间取值的概率之间确立的对应关系，称作这个连续型随机变量的分布。 连续型随机变量的分布可以用密度函数来描述，随机变量的密度函数记作 。,4-51,次数分布直方图是用各组的频率密度作直条的高来画图的。当分组数无穷多，而组距（即直条的底边长）趋近于0时，直方图演变成平滑的曲线(如图4-1)，这时，直条的高就成 为 。 连续型随机变量在某一数值区间内取值的概率等于竖立在该区间上的，以密度曲线为上底的曲边梯形的面积。写作,4-52,密度函数满足下面两个基本性质： （1）密度函数的函数值不会是负数，从图形看，密度曲线在横轴上方，以横轴为渐近线； （2）在整个实数轴上的密度函数值的和等于1，从图形看，密度曲线下覆盖的总面积等于1。这两个性质用密度函数式写作,4-53,三、随机变量的数字特征,（一）随机变量的数学期望 随机变量X的数学期望是X的一切可能值以相应的概率为权数的加权算术平均数。今后我们把X的数学期望记作E(X)。,4-54,若X是离散型随机变量， E(X)= 若是连续型随机变量，其概率密度函数为p(x)，则X的数学期望定义为,