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1、3 幂级数,Power Series 1,如习题4.1.N.12(2)(6),不能用、或不能,先用比值,根值法！却能用比较判别法！,请见第(2)题的作法：,故用比较 判别法,习题问题,其实即一般项不趋于零!,有同学用Cauchy审敛法这样做：,.P.271-N.10 试用Cauchy收敛原理证明：,证 由条件,或者,得,若用Cauchy收敛原理，必须交代清楚,P.273- (B)-N.1. 设,也不能保证：,(2)同时即使有了,也不一定,大错！为什么？,正确 应该建立不等关系，任给 n,因,故,P.273.N.2 设,证(1),类似可证(2),取指数,一、幂级数及其收敛半径,形如,或更一般地,
2、均是实常数，称为,幂级数的系数 ，,首先研究幂级数(1)敛散性的特点.,的函数项级数，称为幂级数，其中,其通项为：,定理1 (Abel 定理) 对级数(1),若在点 处收敛,则它在区间 上绝对收敛;,若在点 处发散,则它在区间 上发散。,因级数 在点 收敛，,于是，当 时，有,所以,当 时，绝对收敛。,由于等比级数,级数(1),则由 (1) 的证明， 便也成了级数,证完,以下记:,的收敛点(绝对收敛)，矛盾.,因此原结论正确。,请注意: 集合 D 具有这样的特点：,D 非空，因为 ;,若D无上界，,若 D有上界，设,则当 时, 级数发散,根据 Abel 定理 ,级数(1)在 x 处绝对收敛.,
3、而当,幂级数(1)的敛散仅有三种可能:,当 时发散；,存在一个正数 R，,收敛域仅含一个点 ;,定理 2,它都收敛, 且绝对收敛;,当 时绝对收敛.,称为级数(1)的收敛区间。,对 定理 2 没有给出任何结论;,正数 称为级数(1)的收敛半径，,幂级数的收敛区间是 ,却可能是,例1,(1) 级数 收敛., 因对任意,收敛域,故 时 绝对收敛；,收敛域为：, 对任意 因,显然也绝对收敛, 因此收敛半径,(2) 幂级数 只在 处收敛.,(3) 幂级数,而在 发散.,因此收敛半径：,当 时收敛,(1) 如何求收敛半径？ (2) 如何确定收敛区间、收敛域？,问题,因此收敛半径：,收敛区间,收敛域：,定
4、理3 设幂级数,的系数满足条件：,证明略.,则其收敛半径 ,且 存在或为,当 时,例2,解,求幂级数 的收敛域.,收敛区间：,级数为：,由于 发散,故此级数发散。,*例3,当 时,级数为交错级数,故幂级数 的收敛域为,求幂级数 的收敛域.,这是Leibniz 型级数，是收敛级数.,解 对于只出现奇次项或偶次项的幂级数,不能用定理3求收敛半径！,应如下做：,记,用比值审敛法,又因当 时, 级数为：,当 时，,级数绝对收敛;,当,级数发散，,因此可知收敛半径为：,这是收敛的数项级数, 因此原级数的,例4,解,求级数 的收敛区间.,收敛区间可由：,解出.,因此, 原级数在 收敛 .,收敛区间,收敛半
5、径,当 时, 级数为,由于 收敛,也收敛,当 时, 级数为,由于 发散, 收敛,因此, 原级数在 发散 .,故原级数的收敛域为：,3月8日作业 书上.P.303习题4.3 (A) N.4 思考:书上.P.303(A) N.1-3, 5 P.305(B) N.1-2,定理4 (代数性质) 设幂级数,二、幂级数的代数性质和分析性质,的收敛半径分别,则 ,且右侧级数的收敛半径,幂级数的除法也可象多项式一样用长 除法做，不过所得商级数的收敛域较 复杂，需用复变函数的理论，略。,其中,乘积 收敛半径:,定理 5,级数在 内闭一致收敛.,幂级数在 不一定一致收敛 !,设幂级数 的收敛半径为,闭区间 上一致
6、收敛；,则任取 级数在,此时也称幂,设幂级数 的收敛半径为,在 内不,致收敛。因为其通项,例如， 在其收敛区间 上非一,一致收敛于零。,定理6 (分析性质),和函数为 ,且以下三等式成立 :,而且逐项积分，逐项微商后所得幂级,散性可能有变化。),数的收敛半径仍为 .,幂级数(1)可以在其收敛区间,内任意次逐项积分, 逐项微商, 且所得,幂级数的收敛半径不变.,推论,( 不过端点的敛,以上是定理 6,例1,级数 的收敛半径,收敛域为 ,点发散, 逐项求导后级数的收敛域:,在,可是级数,但,此例说明逐项求导可能破坏端点的收,敛性, 而逐项积分却可能使其在端点的,收敛状态变好。,逐项积分后的级数的收敛域为：,从此级数得到的一个特别的结果是：,这便是前面一个数项级数的和的由来。,
