《高等数学》选拔考试试卷2

《《高等数学》选拔考试试卷2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学》选拔考试试卷2（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、9、 （08 分）设实数 满足 ，12,na 121 032naa证明： 在 内至少有一个实根。1cos3cos()0xx (,)答案：证明：令 ，21()iisin1Fxx则 ，()0,0,2x在 上 连 续 ， 在 （ ） 内 可 导且 ，12cos3cos(21)naxax，()F1() 0n即 ，则至少存在 ，0,2x在 上 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件 (,)(02F使即 在 内至少有一个实根 。1cos3cos(21)naxax (,)10、 （04 分）求证： 。4babc在 01内 至 少 有 一 个 根答案：证明：设 ，32()()fxcxx则 ，且()0,10,1fx

2、在 上 连 续 ， 在 （ ） 内 可 导 (f即 ，则至少存在 ，在 上 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件 0,1)(0f使又 ，即 32()4()fxabxcabc 0即 。32xcx 在 (,1)内 至 少 有 一 个 根11、 （06 分）求证： 。2xeabc方 程 的 根 不 超 过 三 个 （ 不 计 根 的 重 数 ）答案：证明：设 ，在 连续，可导。()()f,反证，设 至少有四个不等的根 不妨设01234,x1234xx则 ，1234(),fxx分 别 在 上 用 罗 尔 定 理可得 内至少有三个不等根 ， 10eabx在 ()123而 分别在 上连续，内可导，对 分别在

3、 上应用罗()fx123,()fx2,尔定理得 从而矛盾。xe在 至 少 有 两 个 不 等 根 ，故 的根不超过三个。(0)f12、 （10 分）设 有 个不同的零点，试证明110()nnfxaxax n。()fx答案：证明： 有任意阶导数，不妨设 有如下 个零点(),fx在 ()fx1，则 ，从而01nx 1,(,ifxn分 别 在 个 区 间 上 用 罗 尔 定 理上至少有 个零点，以此类推，得到 上至少有一0(),f在 ()0!,nnfxax在个零点，则 ，而 至少有两个零点，则 ，以此类推，na(1) 1()!nnfxa1得到 ，即 。,(,i 0f13、 （08 分）设 可导，求证

4、 的两个零点间一定 的零点。)fx()x()fx答案：证明：令 ，则 也可导，设 的两个零点为 ，则(FfeF12x，即 上满足罗尔定理的条件，则至少存在 ，12()0x12),x在 (,)使 ，而 ，即 ,(0ffe即 12,()0ffx则 ，的两个零点间一定 的零点 。()fx)(x14、 （08 分）设 具有一阶连续导数，在 内二阶(1,)Fffx其 中 在 1,2 (,)可导，且 ，试证明存在 。1)20f ()0F使答案：证明：因 具有一阶连续导数，在 内二阶可导，则 具(,x在 , ()Fx1,2在有一阶连续导数，在 内二阶可导，且 ,则 上满足罗尔定)(1)2(),在理的条件，则

5、至少存在 ，使 ，又 而1(,20F (),xfxf上满足罗尔定理的条件，则至少存在 ，(1)0,()fF则 1)x在 12使 ，即存在 。(,()使15、 （07 分）设 在 上连续，在 内可导，且 ，求证：在)fx00,(0)1,(ffe内至少存在一点 ，使 。(0,1)()fe答案：证明：令 ，则 在 上连续，在 内可导，且()xFxfe()F0,1(0,1)，即 在 上满足罗尔定理的条件，则至少存在 ，使 (0)10,1 (,)，而 ，即在 内至少存在一点 ，使 。()xxfe(,)fe16、 （10 分）设 在 上连续，在 内可导，且f,abab(,)xab当 时 ， (0x，证明对

6、任意实数 存在点 ，使 。()0fab若 k)(fk答案：证明： ，则 在 上连续，在 内可导， 因()kxFxfe()F,ab,)ab()0fab则 ， 在 上满足罗尔定理的条件，则至少存在 ，使 ()()x, (,)ab，又 而()F (),()kkxkkfefFfef即0,ke且 ，则 ，其中 。()f()fk(,)ab17、 （10 分）设抛物线 与 轴有两个交点 ，2()13yxcx(,0),()ab在 上二阶可导， ，且曲线 与 在()yfx,ab()0fabyfx213xc内有一个交点，求证在 内存在一点 ，使 。, (,)()2f答案：证明：令 ，则 在 上二阶可导，因为()F

7、xfyx()F,a，且 ，则 ，又 与()0fab()0ab()0b()yfx在 内有一个交点，即存在 。213yxc(,) , 0cfcFc使 ， 即分别在 上利用罗尔定理，则至少存在()F与，又 上满足罗尔定理的条件， 1212,(,)()0acbF使 12(),)Fx在则至少存在 ，使 ,即 。12,a()fy18、 （6 分）设 上可微，且 ，试证明方程 最多有一个()fx在 -+)x()fx实根。答案：证明：设 ，则 在 上可导， 反证，设 有两(),Fxf()Fx-,+)()fx个不等的实根 ，即 ，则 在 上满足罗尔定理12,120(Fx12,的条件，则存在 ，使 ，即 ，这与(

8、,)x)0()1f矛盾 ，因此方程 不可能有两个不等的实根，即最多有(),fx-+()fx一个实根。19、 （10 分）设 在 上三阶可导，且 ，试证明在()fx0,1 (0),(1)0ff内存在一点 ，使 。(0,1)c3()fcf答案：证明： 在 上满足罗尔定理的条件，则至少存在 ，使 x, 1(,)，又 ，而 上满足罗尔定理的条件，则至少存在1()F(1)0f1()f在，使 ，令 则,03()(),0,(),FxfF即 又上满足罗尔定理的条件，则至少存在 ，即()0x在 01cc使，则 。23(),(1)cffc3()ff20、 （10 分）设 在 上连续，在 内可导，且 ，试证明在 内

9、存x0,()f(0,1)在一点 ，使 。c ()2()ffc答案：证明：设 ，则 在 上连续，在（0,1）内可导，且因21Fxfx()F0,1则 ，则 在 上满足罗尔定理的条件，则存在 ，(0)f()0(), (0,1)c使 ，又 ，即()c 2()2)(xfxfx，而 ，则得 。22(1)()(cfcf0,1 )cfc21、 （9 分）设 在 上连续，在 内可导，且 ，对任意 有x0,1()(0)(0,1x，试证明在 内存在一点 ，使 。()0fx(,)c1()ffc答案：证明：设 ，则 在 上连续，在（0,1）内可导，且(1)FxfxF0,因 则 ，则 在 上满足罗尔定理的条件，则存在(0

10、)f()0,1，使 ，又 ，即(0,1)c()0Fc ()(1)(1)xfxfx ()1ffc则 ， 。()cff0,)22、 （6 分）设 在 上连续，在 内可导，且 ，试证明在 内存在(x,1(,1)(1)0f(0,1)一点 ，使 。c2)0fcf答案：证明：设 ，则 在 上连续，在（0,1）内可导，且因2()Fx()Fx0,则 ，则 在 上满足罗尔定理的条件，则存在 ，(1)0f)11(0,1)c使 ，又 ，即 ，则存在(0c 2()()()xfxf2()cff使 。(,)c2)ff23、 （ 6 分）设 在 上连续，在 内可导，且 ，试证明在 内存(x,1(0,1)(1)0f(0,1)

11、在一点 ，使 。c)(fnfc为 正 整 数 ）答案：证明：设 ，则 在 上连续，在（0,1）内可导，且因()Fx)Fx,则 ，则 在 上满足罗尔定理的条件，则存在 ，(1)0f)10(01(0,1)c使 ，又 ，即 ，则存在c 1()()nnxfxf1()nncff使 。(,)(ff24、 （10 分）设函数 上可导，且 ，证明在),xab在 (),()()1afxbafx在 上 有内有且仅有一个 值适合 。 (,)ab()fx答案：证明：设 在 内可导，从而在 上连续，因 ，()Fx,()fxb则 则 ，则 在 上()0,()0,fabf()0Fab 0F,a至少有一实根，接着证明该实根最

12、多只有一个。反证，不妨设 在 上至少有()x,两个实根，设为 ，又 在 上连续，在 内可导，1212,()xFx()x12,12()x利用罗尔定理，则存在 ，使 ，即 ，这(,)ab0F),fab与 矛盾 ，即 在 上最多只有一个实根。故 在 上有()1fx()fx(,)ab()fx(,)ab且仅有一个实根。25、 （10 分）设 在 可导且有 个不同零点： ，求证：()f0,)n120n在 内至少有 个不同零点，其中 为任意实数。()afx,1a答案：证明：令 ，则 在 上连续，在 内可导，且因()axFfe()F,nx(,)nx，则 ，则 在 上()0,1,ifxn 0,i ()1,1)i

13、满足罗尔定理的条件，则存在 ，使得 ，而1(,1iix ()0iF，即至少存在 使()()axaxFfef 21),i nn ，而 ，则 ，即 0i ifie(),iifaf在 内至少有 个不同零点。()axf(,)1n26、 （8 分）证明方程 有且仅有三个实根。2x答案：证明：令 ，则 连续，可导，显然有()F(),)Fx在,又 ，则至少存在 ，使 ，即(0)120,(5)(2,5()0F至少有三个不等实根，再证 至多有三个实根，设 至少有四个不等实根，xxx分别为 ，即 ，则在 上对1234x(),14iF 1234(,),(,)x应用罗尔定理得 至少有三个不等实根 ，则在 上()Fx0

14、123,对 应用罗尔定理得 至少有两个不等实根 ，在 上对 应 ()x12c(,)c()Fx用罗尔定理得 至少有存在 ，而 矛盾，即(),()0F使 3ln0x不可能有四个实根，故 有且仅有三个实根。()0Fx21x27、 （6 分）设 在 上连续，在 内可导，且 ，试证明方程()fx0,1(,)(),(1)4ff在 内至少有一个实根。2(1)x答案：证明：设 ，则 在 上连续，在（0,1）内可导，且()arctnFxfx()F0,因 则 ，即 在 上满足罗尔定理的条件，则至(0),(1)4ff(0)1F()Fx0,1少存在 ，使 ，即 故方程, 2()f2()(1f在 内至少有一个实根。2(1)(1xf(0,)28、 （6 分）设 在 上连续，在 内可导，且 ，证明方程xe(1,)e(1)0,()1ffe在 内至少有一个实根。()xf(,)答案：证明：令 ，则 在 上连续，在 内可导，因()lnFxfx()F,e(,)e，(1)0f，则 ，即 在 上满足罗尔定理的条件，则至少存在e()0e()x1,e，使 ，而 ，即 ，即(1,)