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1、,第一章 逻辑代数基础,1.1 概述,1.1.1数字量和模拟量,数字量：变化在时间上和数量上都是不连续的。（存在一个最小数量单位）,模拟量：变化在时间上和数量上都是连续的。,数字电路和模拟电路：工作信号，研究的对象，分析/设计方法以及所用的数学工具都有显著的不同,1. 1.2 数制和码制,一、数制：,常用到的数字：,每一位的构成的数字，,从低位向高位的进位规则，,十进制，,二进制，八进制，十六进制,（1）、特点：,式中，102 、101 是根据每一个数码所在的位置而定的，称之为“权”。,、在十进制中，各位的权都是10的幂，而每个权的系数只能是09这十个数码中的一个。,1 、 十进制数(D),、
2、任何一位数可以而且只可以用 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这十个数码表示。,、进位规律是“逢十进一”。,例如：,位权,系数,在数字电路中，计数的基本思想是要把电路的状态与数码一一对应起来。显然，采用十进制是十分不方便的。它需要十种电路状态，要想严格区分这十种状态是很困难的。,（2）、十进制数一般表达式,（1）.特点,（2）.二进制数的一般表达式为:,任何一位数可以而且只可以用0和1表示。,2、二进制数(B),位权,系数,例如：1+1=,10,= 121+ 020,进位规律是：“逢二进一” 。,各位的权都是2的幂。,例1 试将二进制数(01010110)2转换为十进制
3、数。,解：将每一位二进制数乘以位权然后相加便得相应的十进制数。,位数太多，不符合人的习惯，不能在头脑中立即反映出数值的大小，一般要将其转换成十进制后，才能反映。,、二进制的优点：,.易于电路实现-每一位数只有两个值，可以用管子的导通或截止，灯泡的亮或灭、继电器触点的闭合或断开来表示。,、二进制的缺点：,(01010110)2= 26 + 24 + 22 + 21 = （86)10,基本运算规则简单,（1）.特点：,3、十六进制(H),.进位规律是“逢十六进一”。,.各位的权都是16的幂。,.十六进制数采用0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A、B、C、D、E、F十六个
4、数码表示。,（2）、优点 ：,十六进制在数字电路中，尤其在计算机中得到广泛的应用，因为：,.与二进制之间的转换容易；,.计数容量较其它进制都大。假如同样采用四位数码，二进制最多可计至( 1111)2 = (15)15；八进制可计至 (7777)8 = (14095)10；十进制可计至 (9999)10；十六进制可计至 (FFFF)16 = (65535)10，即64K。其容量最大。,.计算机系统中，大量的寄存器、计数器等往往按四位一组排列。故使十六进制的使用独具优越性。,二、不同数制间的转换,1、二十转换,例：,整数部分,小数部分,常用方法是“按权相加,幂数递降”。,2、十二转换(整数部分),
5、例：十进制数25转换成二进制数的转换过程：,(25)10=(11001)2,十进制数转换成二进数：,整数部分, 整数部分用“除二得余”法:,将十进制数连续不断地除以2 , 直至商为零，所得余数由低位到高位排列，即为所求二进制数,小数部分, (25)10=(11001)2,序 次 取 读,2、十二转换(小数部分),小数部分用“乘2取整”法：,例：将0.625转换成二进制,读 取 次 序,小数部分: 乘2取整,降幂排列.,例 将(0.706)10转换为二进制数，要求其误差不大于2-10。,解：按式(1.3.5)所表达的方法，可得、如下：,0.7062=1.4121 b1,由于最后的小数小于0.5，
6、根据“四舍五入”的原则，应为0。所以，(0.706)10=(0.101101001)2，其误差,0.4122=0.8240 b2,0.8242=1.6481 b3,0.6482=1.2961 b4,0.2962=0.5920 b5,0.5922=1.1841 b6,0.1842=0.3680 b7,0.3682=0.7360 b8,0.7362=1.4721 b9,读 数 顺 序,3、二十六转换,4、十六二转换,例：将(8FAC6)16化为二进制,例：将,5、十六进制数与十进制数的转换,十六进制转换为十进制,十进制转换为十六进制：通过二进制转化,几种数制之间的关系对照表,1.1.3 二进制运算
7、,所以数字电路中普遍采用二进制算数运算,一、 二进制算术运算的特点,特 点：加、减、乘、除 全部可以用移位和相 加 这两种操作实现，简化了电路结构。,算术运算：1：和十进制算数运算的规则相同 2：逢二进一,1.1.3二进制数运算,二、原码、反码和补码,二进制数的正、负号也是用0/1表示的。 在定点运算中，最高位为符号位（0为正，1为负）,如 +89 = （0 1011001） -89 = （1 1011001）,5版的表1.4.1（P-11)原码、反码、补码对照表，注意：负数的反码和原码的符号位始终都是1。,原码,负数的反码：符号位不变, 数值位求反.,正数的原码、反码、补码都一样, 二进制数
8、的补码：,最高位为符号位（0为正，1为负）,正数的补码和它的原码相同,负数的补码 = 数值位逐位求反(反码) + 1,通过补码，将减一个数用加上该数的补码来实现,通过补码求原码：补码的补码是原码（即再对 补码的数值位逐位求反+ 1）。,如 +5 = （0 0101）,-5 = （1 1011）,两个补码表示的二进制数相加时的符号位讨论,例：用二进制补码运算求出 1310 、1310 、1310 、1310,解：,结论：将两个加数的符号位和来自最高位数字位的进位相加，结果就是和的符号.,10反10101， 10补10110。,-13反=10010, -13补=10011.,建立二进制代码与十进制
9、数值、字母、符号等的一一对应的关系称为编码。,若需编码的信息有N项，则需用的二进制数码的位数n应满足如下关系：,代码不表示数量的大小，只是不同事或物的代号，为了便于记忆和处理，在编制代码时总要遵循一定的规则，这些规则就称为码制。,用二进制数码对事物进行表示，称为二进制代码。,数字系统中的信息分两类：,数码,代码,(研究数值表示的方法),1.1.4、码制,1、十进制代码,表1.1.1 几种常用的BCD(二十进制）代码,也称自然权码，其排列简单，完全符合二十进制数之间的转换规律。,当用四位二进制码时，有00001111 十六种组合，分别代表015的十进制数。,当用五位二进制码时，有00000111
10、11 三十二种组合，分别代表031的十进制数。,当用n位二进制码时，有2n 个代码。,（1） 自然二进制码,1、十进制代码:, （2）BCD 码,BCD码又称二十进制码，通常用四位二进制码表示一位十进制数，只取十个状态，而且每四个二进制码之间是“逢十进一”。,有多种可能，故而便产生了多种BCD码，其中使用最多的是8421 BCD 码 (简称8421 码)。,四位二进制码可产生16个数00001111，而表示十进制数只需要十个代码，其余六个成为多余。选择哪十个，丢弃哪六个？,8421 码是按顺序取四位二进制码中的前十种状态，即00001001，代表十进制的09，而10101111弃之不用。,除此
11、之外，还可取四位二进制码的前五种和后五种状态，代表十进制的09，中间六个状态不用，这就构成了2421码，它也是一种有权码，其权依次为2、4、2、1。,（2）BCD 码,8421码是一种有权码，从高位到低位的权依次为8、4、2、1，按权相加，即可得到所代表的十进制数，,01104+2=6,如： 10018+1=9,另外还有5421码和余3码等（余3码为无权码，它是8421码加0011得来的）。,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15,0000
12、 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111,几种常见的代码,2、格 雷 码,格雷码是一种无权码，其编码如表1.4.2所示。,0000 0001,0000 0001,编码特点是：任何两个相邻代码之间仅有一位不同。,该特点是其它所有码不具备的,常用于模拟量的转换。当模拟量发生微小变化，而可能引起数字量发生变化时，格雷码仅仅改变一位，这与其它码同时改变2位或更多的情况相比，更加可靠。,例如，8421码中的0111和1000是相邻码，当7变到8时，四位均变了。若采用格雷码，0100和1100是相
13、邻码，仅最高一位变了。,0010 0011,0100 0101,0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111,0011 0010,0110 0111,0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000,1.2 逻辑代数的三种基本逻辑运算,逻辑代数 研究逻辑电路的数学工具。,由英国数学家George Boole 提出的，所以又称布尔代数。,逻辑，指的是条件和结果的关系，电路的输入信号即条件，输出信号即结果。,条件满足和结果发生用“1”表示，反之用“0”表示。此时的“1”和“0”，只表示两个对立的
14、逻辑状态，而不表示数值的大小。,在逻辑代数中，有三种最基本的逻辑运算：,“与运算”、“或运算”、“非运算”,1. 真值表-描述逻辑关系的表格,2.逻辑表达式-输入信号为自变量，输出为函数的数学 表达方式,3. 逻辑符号-在画电路时使用的符号,除此之外，还可以用硬件描述语言（HDL) 来表示逻辑运算。,三种基本的逻辑运算描述形式,与逻辑符号,开关A、B控制灯泡L，只有当A和B同时闭合时，灯泡才能点亮,1. 与运算,Y= AB,定义：某事件有若干个条件，只有当所有条件全部满 足时，这件事才发生。,逻辑表达式,功能表,真值表,只要开关A和B中有一个闭合，或两个都闭合，灯泡就会亮。,逻辑符号,2. 或
15、运算,定义：某事件有若干个条件，只要其中一个或一个以 上的条件得到满足，这件事就发生。,真值表,图1.5.3 非逻辑运算,下图表示一个简单的非逻辑电路，当继电器通电，灯泡熄灭；继电器不通电，灯泡点亮。,定义：一某事件的产生取决于条件的否定， 这种关系称为非逻辑。,3. 非运算,非逻辑门电路的符号,上述三种是最基本的逻辑运算，经过组合，可以构成各种复杂的逻辑。下表列出了几种常用的逻辑运算。,非运算的其它逻辑符号：,几种常用的逻辑运算,异或,Y= A B,同或,Y= A B,1. 3 逻辑代数的基本公式和常用公式,还原律,(A ) = A,9,18,8,A + B C = (A +B)(A +C)
16、,17,A (B +C) = A B + A C,7,A + (B +C) = (A + B) + C,16,A (B C) = (A B) C,6,A +B = B + A,15,A B = B A,5,A + = 1,14,A = 0,4,A + A = A,13,A A = A,3,0 + A = A,12,1 A = A,2,1 + A= 1,11,0 A = 0,1,= 0; = 1,10,公 式,序号,公 式,序号,证明方法：推演 真值表,互补律,反演律,重叠律,2、基本公式的证明 (真值表证明),例 证明,，按A、B取值,，,情况列出真值表，从表中可以直接得出结果。,1.3.1 逻辑代数的基本定律和恒等式,1.3.2 若干常用公式,异或和同或运算中的常用公式,1.4 逻辑代数的基本定理,代入规则 2. 反演规则 3. 对偶规则,代入规则：,
