《高等数学求极限的常用方法(附例题和详解) (2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学求极限的常用方法(附例题和详解) (2)（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 高高等等数数学学求极限的求极限的 14 种方法种方法 一、一、极限的极限的定义定义 1.极限的保号性很重要：设Axf xx )( lim 0 ， （i）若 A0，则有0，使得当|0 0 xx时，0)(xf； （ii）若有, 0使得当|0 0 xx时，0A, 0)(则xf。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x时函数的极限和 0 xx 的极限。要特别注意判定极 限是否存在在： （i）数列 的充要条件收敛于a n x是它的所有子数列均收敛于 a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于 a 的 充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于 a” （ii）A x xf x Axf x limli
2、mlim )()( (iii) A xxxx Axf xx limlimlim 00 0 )( (iv)单调有界准则 （v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （ vi ） 柯 西 收 敛 准 则 （ 不 需 要 掌 握 ） 。 极 限 )( lim 0 xf xx 存 在 的 充 分 必 要 条 件 是 ： | )()(|)(, 0, 0 21021 xfxfxUxx o 时，恒有、使得当 二二解决极限的方法如下：解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除 时候使用。例题略。 2.洛必达（Lhospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首
3、先必须是 X 趋近，而不是 N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求 x 趋 近情况下的极限，数列极限的 n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假 如告诉 f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0 比 0”或“无穷大比无穷大”, 并且注意导数分母不能为 0。洛必达法则分为 3 种情况： （i）“ 0 0 ”“ ”时候直接用 (ii)“0”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )( 1 )( )()( )( 1 )( )()( xf xg xgxf
4、 xg xf xgxf或 ； )()( 1 )( 1 )( 1 )()( xgxf xfxg xgxf (iii)“ 0 0”“ 1”“ 0 ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e xfxg xg xf )(ln)( )( )( ， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0”型未定式。 2 3.泰勒公式(含有 x e的时候，含有正余弦的加减的时候） 1 2 )!1(! 2 1 n xn x x n e n xx xe ； 321 1253 )!32( cos ) 1( )!12( ) 1( ! 5! 3 sin mm m m x m x m xxx xx cos= 221 242
5、 )!22( cos ) 1( )!2( ) 1( ! 4! 2 1 mm m m x m x m xxx ln（1+x）=x- 1 1 1 32 )1)(1( ) 1() 1( 32 n n n n n xn x n xxx (1+x) u = 1112 )1 ( ! 2 ) 1( 1 nnun u nn u xxCxCx uu ux 以上公式对题目简化有很好帮助 4.两多项式相除:设均不为零 mn ba ,， P（x）= 01 1 1 axaxaxa n n n n , 01 1 1 )(bxbxbxbxQ m m m m (i) )( , )( , 0 )( , )( )( lim mn
6、 mn nm b a xQ xP x n n （ii）若0)( 0 xQ，则 )( )( )( )( 0 0 lim 0 xQ xP xQ xP xx 5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。 面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的 函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。 6.夹逼定理： 主要是应用于数列极限， 常应用放缩和扩大不等式的技巧。 以下面几个题目为例： （1） 设0cba， nnnn n cbax，求 n n x lim 解：由于aaaaaxa n nn n n )3(, 3 limlim 以及，由夹逼定理可知axn n
7、lim （2）求 222 )2( 1 ) 1( 11 lim nnn n 解：由 nnnnnnn 1111 )2( 1 ) 1( 11 0 222222 ，以及0 1 0 limlim n nn 可知，原式=0 (3)求 nnnnn 222 1 2 1 1 1 lim 解：由 nn n nnnnnnnn n n nnn 222222 1111 2 1 1 1 1 111 ,以及 3 1 1 1 1 1 limlimlim 2 n nn n nnn 得，原式=1 7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比 q 绝对值要小于 1）。例如： 求 12 321 lim n n nxxx ) 1
8、|(|x。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。 8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如： ) 1( 1 32 1 21 1 lim nn n = 1 ) 1( 1 1 ) 1( 11 3 1 2 1 2 1 1 limlim nnn nn 9.利用 1nx xx 与极限相同求极限。例如： （1）已知 n n a aa 1 2, 2 11 ，且已知 n n a lim 存在，求该极限值。 解:设 n n a lim =A，（显然 A0）则 A A 1 2 ，即012 2 AA，解得结果并舍去负值得 A=1+2 （2）利用 单调有界的性质 。 利用这种方法
9、时一定要先证明单调性和有界性。 例如 设 n n nn xxxxx lim ,2,22,2 121 求 解：（i）显然2 21 xx（ii）假设, 2 1 kk xx则2222 1 kk xx，即2 1 kk xx。所以， n x是单调递增数列，且有上界，收敛。设A n lim ，（显然)0A则AA2，即02 2 AA。 解方程并舍去负值得 A=2.即2 lim n n x 10.两个重要极限的应用。 （i） 1 sin lim 0 x x x 常用语含三角函数的“ 0 0” 型未定式 (ii)exx x 1 0 1 lim ，在“ 1”型未定式中常用 11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无
10、穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的， n n快于 n！,n！快 于指数型函数 n b(b 为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当 x 趋近无穷的时候，它们比值的 极限就可一眼看出。 12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限 x x x 2sin 2 arccos lim 0 。解：设ttxtxxtsin) 2 cos(, 00, 2 arccos 且时，则。 原式= 2 1 sin22 2 arccos 2 2 arccos 2sin 2 limlimlim 000 t t x x x x x x txx 13利用定
11、积分求数列极限。例如：求极限 nnnn n 1 2 1 1 1 lim 。由于 n i n in 1 1 1 ，所以 4 2ln 11 1 1 1 1 11 2 1 1 1 2 1 limlim xn n n n nnnn nn 14.利用导数的定义求“ 0 0”型未定式极限。一般都是 x0 时候，分子上是“ )()(afxaf”的形式，看见了这 种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你m ）（af告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上 就是暗示一定要用导数定义） 例:设 )(, 0)( afaf 存在，求 n n af n af 1 lim 解：原式= n af af n af af n af af n n n af af n af af af n af )( )() 1 ( )() 1 ( )( )( )() 1 ( 1 )( 1 1 limlim = )( )( )( 1 1 )() 1 ( lim af af af n af n af n ee 5
