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1、第八章 向量代数与空间解析几何（数学一）第一节 向量代数中的若干运算一、向量的概念1定义：既有大小又有方向的量称为向量。2坐标形式： 3模与方向余弦：记与轴、轴、轴正向的夹角分别为，则 ， 且方向余弦间满足关系。 描述了向量的方向，常称它们为向量的方向角（在与之间）。的模可以表示为。向量同方向上的单位向量常记为。二、向量的运算 设三个向量，常数。1和差：加法 减法 2数乘：3数量积（i）定义：数，称为为数量积也称点积，记为。其中为向量间夹角（在与之间）。（ii）性质：；表示向量在向量上的投影，；。（iii）计算：；。例题 设和为非零向量，且，求。解 练习 设为两两垂直的单位向量，求。 4向量积
2、（i）定义：满足条件；的方向按右手法则垂直于所在平面的向量称为的向量积也称叉乘，记为。（ii）性质：；等于以为邻边的平行四边形的面积；为向量，且同时垂直于。例题 设，其中， 试问：（1）为何值时，（2）为何值时，以向量、为邻边的平行四边形面积为12。解（1）由， 。（2） 或。 （iii）计算：。例题 设，（1）求出所有满足的向量的坐标表达式；（2）求出模为最小的向量。解（1）设，由，即，得，其中可取任意实数。（2），故当即时，最小，此时。练习 已知的顶点为、和，求上的高。5混合积（i）定义：数称为向量的混合积，记为。（ii）性质：等于以为棱边的平行六面体的体积。（iii）计算：。例题 求证：
3、。解 练习 设三个，共面，求。三、向量间的关系1夹角：或。2垂直：或。3平行（共线）：或或。4共面：。例题（1）已知，则解 由得，即，得，即，于是，则，故。（2）设，问为何值时，最小。解 ，令，由，可得，故。（3）设，向量满足,，求。解 由向量满足,，可令，又，求得，故。（4）已知三个非零向量，其中任意两个向量都不平行，但与平行，与平行，求证：。证 由与平行，与平行，存在两个数使得，两式相减得，又三个非零向量中任意两个向量都不平行，故，从而。练习 （1）设，若，则；若，则； 。（2）设且，则 第二节 平面与直线一、平面及其方程1三种形式（i）点法线：已知平面过点，其法向量，则平面的方程为。（i
4、i）一般式：，其中不全为零。前的系数表示的法线方向数，是的法向量。 （iii）截距式：，其中全不为零。表示平面分别在轴上的截距。例题 平行于平面，且与三个坐标面所构成的四面体体积为个单位的平面方程为解 设所求方程为，则，由，得，故平面方程为。2平面间的位置关系 设两平面为，（i）夹角（）：。（ii）垂直：。（iii）平行：（iv）重合：例题 设平面过点且与平面成角，求的方程。解 设平面方程为，则由题意得，求解得，所求平面方程为或。3点到平面的距离：设平面的方程为，而点为平面外的一点，则到平面的距离。真题 点到平面的距离为解 直接利用公式，例题 已知平面方程：，：，求平分与夹角的平面方程。解 设
5、为所求平面上的任一点，依题意它到的距离应等于它到的距离，即，整理所求平面方程为或。二、直线及其方程1三种形式（i）点向式（标准式、对称式） ，其中为直线上的点，为直线的方向数。（ii）参数式：，为参变量。（iii）一般式：（两平面的交线） ，方向向量。例题（1）过点，垂直于直线且平行于平面的直线方程为解 取故所求直线为。（2）求点在平面上的投影。解 平面的法向量，于是过点的垂线方程为，将它化为参数式，得，代入平面方程，得，所以 ，故所求投影为。2直线间的位置关系 设两直线为 。（i）夹角（）：。（ii）垂直：。（iii）平行：。真题 设有直线：与：，则与的夹角为 解 ，利用公式，即与的夹角为。
6、3直线、平面间的位置关系设平面的方程为：，直线的方程为：。（i）夹角（）：。（ii）垂直：（iii）平行：（iv）重合：且上有一点在上。真题（1）设有直线：及平面：，则直线（ C ）（A）平行于 （B）在上 （C）垂直于 （D）与斜交解 ，故，选（C）（2）已知直线在平面上，则，解 ，由题意，且点在平面上， 于是；。4点到直线的距离：设是直线外一点，是直线上任意一点，且直线的方向向量为，则点到直线的距离。例题 点到直线的距离为解 直接利用公式。三、平面束及其应用1定义：设直线的一般式方程为，则通过的所有平面方程为，其中不全为零；或。2应用：当问题中出现平面经过一直线的条件时，可用上述假设处理。
7、真题 求直线在平面上的投影直线方程。解 设直线的平面束的方程为，即，这平面与平面垂直的条件是，由此得，得投影平面的方程为，所以投影直线方程为。例题（1）求过直线，且与平面组成角的平面。解 设平面方程为，即，由题设有，故所求平面为。（2）求异面直线：与直线：之间的距离。解 利用点到平面的距离。过作平行于的平面，则上的点到平面的距离即为二异面直线间的距离。设平面的法矢为，因为过，故，又，故，取，点在上，于是平面的方程为，点到平面的距离为。（3）求过点且通过直线的平面方程。解 记所求平面为 ，设是上任意一点，由三向量共面，得，即，整理得 ，此即为所求平面的方程。第三节 空间曲面与曲线一、曲面及其方程
8、1一般式：（常见形式）2参数式： （平面区域） 曲面的记号有两个：或。二、曲线及其方程1参数式：2一般式： （常见形式） 曲线的记号有三个：，。三、常见曲面1旋转曲面：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。（i）设是平面上一条曲线，其方程是绕轴旋转得到旋转曲面为 或 由参数方程，得旋转面的参数方程 ，（ii）求空间曲线绕轴一周得旋转曲面的方程 第一步：从上面联立方程解出， 第二步：旋转曲面方程为 真题 求直线在平面上的投影直线的方程，并求绕轴旋转一周的曲面方程。解 利用平面束求得投影直线的方程，：或，曲面：。例题 求顶点在
9、，母线和轴夹角保持的锥面方程。解 在锥面上任取一点，记，则由题意 与的夹角为，于是，因此所求曲面为：。2柱面：平行于定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹叫做柱面，定曲线叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。 一般来说，只含而缺的方程在空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面，其准线是面上的曲线。例如圆柱面：。3二次曲面曲面名称方程曲面名称方程椭球面旋转抛物面椭圆抛物面双曲抛物面单叶双曲面双叶双曲面二次锥面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面例题 已知直线，求由这直线绕轴旋转而成得旋转曲面的方程，并就的可能值，讨论各方程分别表示什么曲面？ 解 由直线，得，于是曲面方程为，当时，则为柱面；当时，则为锥面。四、空间在坐标面上的投影1曲线的方程，曲线在平面上的投影 先从曲线的方程中消去得到，它表示曲线为准线，母线平行于轴的柱面方程，那么就是在平面上的投影曲线方程。 曲线在平面上投影或在平面上投影类似地处理。2曲线的方程 ，则曲线在平面上的投影曲线方程为；曲线在平面上投影曲线方程为；曲线在平面上投影曲线方程为 。例题（1）求曲线的参数方程。解 由消去得，则，。（2）设一个立体由上半球面和锥面所围成，求它在面上的投影。解 在两曲面中消去，得上半球面和锥面的交线为（在处），因此此交线在面上的投影曲线为：，。于是所求立体在面上的投影，即为该园在在面上所围的部分：。
