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1、高等数学（1） 考试（核）说明及模拟试卷东海电大 陈晓文高等数学（1）课程是江苏电大开放专科工科各专业的一门必修课，课程的内容有一元函数微积分、级数和微分方程，全部教学内容为 8 章。下面逐章提出具体的复习要求，并指出教材的重点内容。希望同学们在复习过程中动手多做些习题，必要时结合例题来理解课程的内容。第一章 函数本章教学要求：一、理解函数的概念，了解确定函数的要素是定义域和对应关系，能根据这两要素判别两个函数是否相等。能熟练地求出函数的定义域。二、了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性、有界性)，会判断函数的奇偶性及奇偶函数的图形特点。三、掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性
2、质及其图形。四、了解复合函数与初等函数的概念，会分析复合函数的复合过程。能把一个复合函数分解成简单函数。五、对一些较简单的实际问题，会列出函数关系式。本章重点： 函数的概念，基本初等函数。综合举例：例 1:下列函数对中，哪些表示同一个函数？ ;ln)(,l2)(. 2xgxfA);3l()1(31xB;)(,)(.2fC1xgxDfE)(,)(. 故 不 是 同 一 个 函 数定 义 域 分 别 不 同解 ,:A.对 应 关 系 也 分 别 相的 定 义 域 分 别 相 同而 CB.,故 是 同 一 个 函 数同 .13arcsin:2的 定 义 域求 函 数例 xy解:定义域为 41,03x
3、)(,)(: 2xfxf求已 知 函 数例 代 入 得令解 1,1tttf)(22x,sin)1ln(:432的 奇 偶 性讨 论 函 数例 xy.并 指 出 其 图 形 特 点 ),(:xff解 .其 图 形 关 于 原 点 对 称该 函 数 为 奇 函 数第二章 极限与连续本章教学要求：一、了解极限的概念，知道左右极限的概念，知道在 x0点极限存在的充要条件是 f(x)在 x0 的左、右极限存在且相等。二、理解无穷小的概念，了解无穷小量的运算性质，知道无穷小量之间的比较（高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小）。三、熟练掌握极限的四则运算法则，注意法则的条件是各部分极限都存在，且分
4、母的极限不为零。四、知道极限存在的两个准则：夹逼定理及单调数列极限存在定理。熟练掌握两个重要极限： )1(lim)1(li,sinlm00 exexx 五、能熟练地运用初等方法（极限的四则运算、无穷小的运算性质、两个重要极限、函数的连续性）及洛必塔法则计算函数的极限。六、理解函数在一点连续的定义，它包括三部分内容：1）f(x)在 x0的一个邻域内有定义；2）在 x0存在极限；3）极限值等于 x0点的函数值，这三点缺一不可。了解函数在区间上连续的概念，在闭区间上端点是单侧连续。由函数在一点 x0处连续的定义，会讨论分段函数的连续性。七、会求函数的间断点，x 0不是函数的连续点，就称 x0为函数的
5、间断点。会判断函数间断点的类型。八、知道连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍是连续函数。两个连续函数的复合函数仍为连续函数，初等函数在其定义域内是连续的。知道闭区间上连续函数的性质(最大最小值存在定理、零点定理、介值定理)。本章重点： 求函数的极限,函数在一点 x0的连续性。综合举例： 21lim:121xx求 极 限例 )1()(li: 221 xx原 式解 li21x6xx)23(lim:2求 极 限例xx1li:原 式解 23)(lixx23e)ln1(lim: xx求 极 限例 xl原 式解 x)n(i1)12sin3(lim:40xx求 极 限例 )()(i)li:10 xx原
6、式解 2sin3(li)3(10xx4e为 多 少 时求设 函 数例 kxkxy,0sinco1:5.0处 连 续在函 数 )(lim:fx由解 ksinco102k第三章 导数与微分本章教学要求：一、理解导数与微分的定义。导数 )(xf与微分 dy 这两个概念是等价的。了解导数的几何意义及物理意义，会求曲线的切线方程和法线方程。了解函数在 x0点连续是可导的必要条件，但不是充分条件，即 f(x)在 x0处可导，则 f(x)在 x0处必连续，反之不然。二、牢记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。三、熟练掌握复合函数求导法则。并会推广到多个中间变量的情形。四、掌握隐函数的微分
7、法，正确地求出隐函数的一阶导数。五、了解一阶微分形式的不变性。六、在掌握基本导数公式、求导法则的基础上，熟练地求出初等函数的一阶导数和微分，并会求导数值。七、了解高阶导数的概念，会求初等函数的二阶导数。八、对于幂指函数、多个函数相乘除或较复杂的无理函数，会用取对数求导法求出导数或微分。九、会求用参数方程表示的函数的一阶导数。本章重点： 导数与微分的概念及计算。综合举例： .2cos1in: 处 的 切 线 方 程在曲 线例 tytx),2(:切 点 为解 1cos1in22ttdxk斜 率 为 )(xy切 线 方 程 为 x即 dyxey求设例 ,31)2ln(:2226xex 解dxxeed
8、yx )312)ln(2yysin(:3由 方 程设 隐 函 数例 dx求确 定 ,求 导 得两 边 对解 : yy1)2()(coscso1xdxyy求已 知 函 数例 ,inl:4xsi解 y2ncos yx求设例 ),l(arcsi:52 22ln1)ln()lrsin(: xy 解 xxarcsil)1(22dyy求设例 ,sin:6xinll两 边 取 对 数 得解xxyx cosin1sil1求 导 得两 边 对 ddyx)icoinl()si,(1:72xyye确 定 函 数若 方 程例 )0(求 求 导 得两 边 对解 x: 02)yxyeyx20,时当1)(ydyxxarct
9、g求设例 ,2:81212 1)(2ln)(: xyxarctg解 dxxdarctg1l)(122第四章 导数的应用本章教学要求：一、了解拉格朗日中值定理的条件和结论，会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。知道罗尔定理、柯西定理的条件和结论。二、掌握洛必塔法则，能用该法则求,0型不定式的极限以及较简单的0,型不定式的极限。三、知道函数在一点处的泰勒公式和麦克劳林公式。记住 ex、ln(1+x)、sinx、cosx的麦克劳林公式。四、掌握用一阶导数判别函数增减性的方法，会求函数的增减区间。五、理解函数极值点及极值的概念和极值点的必要条件，熟练掌握求函数极值的方法(极值的充分条件)。知道驻点和极
10、值点的区别和联系。六、了解曲线凹凸的概念，掌握用二阶导数判断曲线凹凸的方法，会求曲线的拐点。七、会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线，能用微分法描绘简单的函数图形。八、了解最大值、最小值的概念，会求闭区间上连续函数的最大值和最小值。九、熟练掌握求解一些较简单的实际问题中的最大值和最小值的方法。这些实际问题以几何问题为主。十、了解曲率的概念。本章重点： 用导数判断函数的增减性及曲线的凹凸性；求函数的极值点及极值；求几何问题中的最大值和最小值。综合举例： ),(,),(:10baxbaxf内 连 续在设 函 数例 .0)(0 处在则 函 数且 ff取 得 极 大 值取 得 极 小 值 .BA也 可 能
11、 有 拐 点可 能 取 得 极 值一 定 有 拐 点 ,DC:解 ).(2理 的 有下 列 函 数 中 满 足 罗 尔 定例 1,.1,. xyBxyA0)ln(0sinDC:解 .3的 单 调 递 增 区 间求 函 数例xeyx1:解 .)0,(为 单 调 递 增 区 间由 求 使 其 面 积 为 最 大设 矩 形 内 接 于 椭 圆例 ,164:42yx.的 矩 形 边 长 则限 的 交 点 为设 矩 形 与 椭 圆 在 第 一 象解 ),(: yxxyS矩 形 面 积 为 164,2yx满 足而 )(2)61(42)61(422yyS由 ,30x令因 此 矩 形 边 长 为 轴 内 的
12、最 大 矩 形 的与求 内 接 于 抛 物 线例 Xy21:5.面 积 ),(: yx第 一 象 限 的 交 点 为设 内 接 矩 形 与 抛 物 线 在解则 所 求 面 积 为xyS221,满 足而 )()(2xx由32,0yxS令 94最 大 矩 形 面 积例 6:做一个容积为 V 的无盖圆柱形容器,底的单位面积造价为 a 元,侧面的单位面积造价为b 元,试问如何设计底半径和高,才能使总造价最小.解:设圆柱形容器底半径为 r,则由题意高为,2rhbrVaC22则 总 造 价 为 br2由 323,0ha令 .,323 时 总 造 价 最 小高 为因 此 当 底 半 径 bVVbr)1ln(
13、,0:7xx试 证设例 .利 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理证 法 一 上 满 足 拉 格 朗 日 中 值则 在设 ,0),l()(f使存 在 一 点定 理 条 件 , x)(fxf )0(,1)1ln( x即)1ln(,0)1ln(,01, xxx 即即由 利 用 函 数 的 单 调 性证 法 二 :. )(,1)( 时当xxf0)0,f时 有当单 升 )1ln(,()( xff 即所 以而第五章 不定积分本章教学要求：一、理解原函数与不定积分的概念及关系，了解不定积分的性质。了解不定积分的几何意义。二、熟记基本积分公式。三、熟练掌握第一换元积分法和分部积分法，掌握第二换元积分法。会利用
14、不定积分性质、基本积分公式、第一换元积分法、第二换元积分法和分部积分法计算各种不定积分。四、会求简单的有理分式函数积分，方法是用待定系数法化成部分分式后再积分。本章重点： 原函数与不定积分的概念，不定积分的计算。综合举例： dxe13:1计 算 不 定 积 分例 xx11:原 式解 dex1cx1dx1:2计 算 不 定 积 分例 tttx2:12令原 式解 c3xx12)(3dln:计 算 不 定 积 分例 xl21原 式解 )l2()(1dcxln2)si1(o:4计 算 不 定 积 分例 xdni:2原 式解 )sin1()si()si1(i 2xdxcxin)lnxed计 算 不 定
15、积 分例 :52)(1:xed原 式解 2xceartn第六章 定积分及其应用本章教学要求：一、理解定积分的概念(包括定义、几何意义等)。了解定积分的主要性质。二、了解变上限定积分，了解原函数存在定理。三、熟练掌握牛顿莱布尼兹公式： )()()( aFbaxFdfba即四、熟练掌握定积分的换元积分法： dttfftxba )()()(即注意作变量替换时，积分上、下限要作相应的改变。 五、熟练掌握定积分的分部积分法： baba xuvxudvx)()()(即注意每一部分都带有积分上、下限。六、了解广义积分（无穷积分和瑕积分）的概念，会判别一些无穷积分的敛散性，会计算较简单的无穷积分。七、熟练掌握用定积分计算平面曲线围成的平面区域的面积。八、熟练掌握用定积分计算平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积。本章重点： 定积分的概念，牛顿
