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1、第三单元 弹性力学有限元法基本原理（二）,第一节 有限元解的性质和收敛准则 1、有限元解的收敛准则 有限单元法作为连续问题的数值解法可以看作里兹法的一种特殊形式，即采用分片试探函数（假定位移场）的里兹法。前面通过受轴向力杆的里兹法求解，已经指出里兹解收敛必须满足的条件：除了满足连续性和边界约束之外，试探函数还必须是完备的，即包含完全的低阶多项式。 对于有限元法，解的收敛除了里兹法意义上的收敛外，显然，当单元尺寸趋于零（h 0)趋于问题的精确解。这就是通常意义上有限元解收敛的涵义（h-收敛）。,事实上，有限元位移法中，在一个单元内用完全多项式逼近实际位移场，当单元尺寸趋于零时，如果整体位移试探函
2、数还满足连续性要求，那么在满足最小势能原理的情况下，整个系统的势能泛函将趋于它的精确值最小值。在每一单元内位移及其导数将趋于它的精确值（常数），有限元解就趋于精确解，即解是收敛的。,根据以上分析，对弹性力学有限元法，为了使有限元解收敛，单元（一维杆，二、三维实体元）的构造必须满足下列要求： 每个单元的位移模式必须包含完全一次多项式。 位移模式在单元边界之间连续（C0连续）。 单元网格在边界上受到均匀载荷，单元上的有限元解应该具有一致的均匀值。,上述要求可以概括为两个收敛准则： 准则1 ：完备性要求 对弹性力学问题，单元位移模式必须包含一次完全多项式。 满足上述要求的单元称为完备单元。,除了完备
3、性，位移模式还有连续性的要求。采用多项式作为位移函数，单元内部的连续性自然得到满足，因此，要求位移在相邻单元边界上满足连续性，这导致另一个收敛准则。,准则2 ：协调性要求 对弹性力学问题，位移试探函数在单元交界面上必须具有C0连续性（函数值连续）。 满足上述要求的单元称为协调元。 理论上可以证明，同时满足完备性和协调性的单元一定收敛。但协调性不是收敛的必要条件，某些具有非协调位移模式的单元只要满足一定条件也是收敛的。,2、对收敛性和收敛准则的理解 根据前面分析，对于有限元位移法，有两个途径得到不断逼近精确解的有限元解序列：第一，网格不变，不断增加位移模式多项式的阶数；第二，单元位移模式不变，不
4、断增加单元数，即单元尺寸趋于零。通常所指有限元解的收敛性是第二种情况。 关于有限元解的收敛性和收敛准则，数学家已经给出严格的证明。下面以弹性力学问题为例从物理概念上进行理解。,准则1中的完备性要求，就是要求单元位移模式具有描述单元刚体位移和常应变的能力。 如果位移模式没有包含完全一次多项式，单元就不可能出现刚体位移和常应变位移状态。对于正常的有限元解，一个单元内部位移场是在相邻的其它单元位移刚体位移基础上，迭加本单元弹性变形产生的位移场组成。同时一个单元内的应变场是由当地的某个“基本常应变”值迭加本单元内部应变的变化组成。 当单元尺寸趋于零时，单元中的位移和应变应该就是结构中该点上的刚体位移和
5、基本常应变。因此，只有满足准则1才能使有限元解具有上述特性，收敛到真正解。,准则2的协调性要求是连续体力学问题的必然要求。它是最小势能原理和里兹法的前提条件。有限元法作为里兹法的特殊形式必然要满足这个要求。有限元的协调性要求在整个弹性体区域上的体现就是试探位移场必须满足的连续性条件。事实上，如果单元尺寸趋于零时，单元交界面上位移不连续，则有限元模型模拟的就不可能是原来的连续结构，获得的有限元解就不可能收敛到问题的真正解。 在有限元法中，一般在粗网格下单元要满足协调性要求。如果某单元在粗网格下不满足协调性，但随着单元尺寸减小，不协调性趋于消失，同时满足完备性，则该单元也能收敛。 不难证明，3节点
6、三角形单元满足完备性准则和协调性准则。,3、收敛速度、精度及其意义 如果单元位移模式满足完备性和协调性，则当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于精确解。 根据里兹法的原理，如果单元的位移插值多项式能够精确拟合真正解，则很粗糙的单元划分就能得到精确的解答。比如，假设位移精确解是二次函数，而单元位移模式包含了完全二次多项式，则有限元解一定是精确的。,对于一般的实际位移场，一点附近的位移可以展开为Taylor级数。根据前面结论，在一个单元范围内，有限元解可以拟合实际位移的低阶成分，而忽略的高阶成分就是误差。设单元直径是h，单元位移模式包含p阶完全多项式，则它可以在单元上拟合实际位移Taylor展开中的前p
7、阶。因此有限元位移解的误差是 ，这只是一种量级的估计，不反映误差的绝对数值，但可以反映收敛速度。,例如，3节点三角形单元，位移模式是线性的，所以位移的误差估计是 ，也可以说该单元的收敛速度是 量级。即，如果把有限元网格细化，单元尺寸减半，则有限元位移解的误差大约是前一种网格的(1/2)2 = 1/4。显然，该单元应变、应力解的收敛速度是 量级。,实际工作中，往往需要对误差作出具体估计，对于一般的实际问题，可采取下列办法： （1）用相近的有已知解析解的问题做有限元误差估计，单元类型相同，网格划分相似。则某种网格下其有限元解与解析解的具体误差可以作为实际问题的误差。 （2）根据收敛的含义，可以对网
8、格进行连续多次细化，当两次网格的解相差不大时，可以认为得到的解答足够精确。,（3）利用收敛速度的量级估计精确解。有限元解是单调收敛的，对3节点三角形单元，设第一次网格的位移解是u1，单元尺寸减半后的网格的位移解是u2，收敛速度是 ，则可由下式预测精确解： 由此式得：,4、有限元位移法解的下限性质 由有限元模型的离散总势能表达式和最小势能原理可以推出：有限元近似解的应变能小于真正解的应变能，因此有限元位移解总体上不大于真正位移，即有限元位移解具有下限性质。 可以在物理上作出如下分析：连续弹性体具有无限多个自由度，应用有限元位移法后，在单元上假定了具有有限自由度的位移模式，这种假定位移场对单元实际
9、的变形进行了约束，使单元刚化，弹性体的整体刚度随之增加，因此求得的位移总体上小于精确解。,第二节 矩形单元和高精度三角形单元,三节点三角形单元有那些缺点？ 三节点三角形单元精度低，在单元内不能反映应力应变的变化，收敛速度慢。这一切都是因为该单元只有3个节点，单元自由度少，单元位移模式只能是线性的，描述单元内位移变化的能力差。 如何解决三节点三角形单元精度低的问题？ 解决这个问题的办法是采用具有更多节点数的高精度单元。对平面问题，先考虑采用矩形单元和高精度三角形单元。,图3-1 矩形单元,1、 四节点矩形单元,（1）单元描述,图3-1所示一个四节点矩形单元。,平面问题每节点2个位移分量，单元共8
10、个节点位移分量。单元节点位移列阵为：,局部节点编号1，2，3，4。,在单元中心（x0，y0）建立一个局部坐标系-。坐标轴平行于矩形的两边。则，与x，y之间有简单变换关系：,由于,在单元4个节点上的值分别为1，因此称为自然坐标。,单元共有8个自由度，因此单元位移试探函数设为如下形式：,为广义坐标。这是包含完全一次式的非完全二次多项式函数，由于在各坐标轴方向呈线性变化，因此称为双线性位移模式。,（2）单元位移模式,如何建立以节点位移作为广义坐标的单元位移模式？ 对上述位移函数在单元内进行插值，建立广义坐标与单元节点位移分量之间的关系，得到节点位移插值形式的位移模式如下：,其中 为插值函数形函数。具
11、体表达式为：,显然，四节点矩形单元的形函数满足形函数性质1、2！（请验证）,每个节点的自然坐标用符号(i,i)（i=1,2,3,4）表示,则上述形函数可写成通式：,(i=1,2,3,4),矩形单元的位移模式用矩阵表示如下：,其中,其中：,（3）单元应变,把位移模式代入平面问题几何方程：,显然，矩形单元的应变矩阵元素是坐标的线性函数，因此单元内的应变随位置线性变化。但x方向正应变随y线性变化，y方向正应变随x线性变化。,（4）单元应力,应力矩阵的子块：,（5）单元刚度矩阵,矩形单元的刚度矩阵为44子块矩阵：,其中一个子块为：,如果突破这个几何上的限制，成为任意方位的任意四边形单元，便成为很实用的
12、单元。增加三角形单元节点数也是提高精度的有效途径。,（6）4节点矩形单元讨论：精度、收敛性、缺点、如何克服其缺点？,4节点矩形单元采用了双线性位移模式，应力可以沿坐标轴呈线性变化，因而在某些情况下精度比3节点三角形单元高。,由于位移模式在单元边界上线性变化，并且根据单元公共边界上两个共同节点位移插值得到，因此单元的协调性得到满足，同时也满足完备性，因此单元是收敛的。,该单元要求两个边平行于坐标轴，因而不能模拟复杂几何边界，这是矩形单元的固有缺点。可以同3节点三角形单元结合使用。,图3-2 6节点三角形单元,2、 六节点三角形单元,三角形单元天然具有很好的几何适应性，如果增加三角形单元位移模式多
13、项式的阶数，就能成为实用的单元。考虑图3-2所示6节点三角形单元，单元每个边上设一个节点，单元有12个自由度，因此位移模式恰好取完全二次多项式：,（1）单元概述,显然单元满足完备性要求。该位移模式决定了单元边界上位移呈二次抛物线分布，相邻单元公共边界上有三个公共节点，正好能够保证相邻单元在边界上位移的连续性，因而是协调元。该单元应变、应力随坐标完全呈线性变化，属于高精度单元。,进行广义坐标代换后位移模式仍可写成标准形式：,采取如前面3节点单元建立形函数的办法过于复杂，下面介绍用三角形单元的面积坐标描述单元位移模式和形函数的方法。,图3-3 三角形单元上的面积坐标,面积坐标的定义如图3-3所示。
14、,三角形中任意一点的位置用三个参数来表示，称为面积坐标。面积坐标（Li, Lj, Lm）定义为三个比值：,（2）面积坐标下三角形单元的分析,因此，单元内任一点的面积坐标满足关系： Li+ Lj+ Lm=1 即3个面积坐标只有2个面积坐标是独立的。,面积坐标与直角坐标之间有确定的变换关系，因此，对三角形单元的描述完全可以用面积坐标进行。,直角坐标表示面积坐标,不难导出下列变换关系：,矩阵形式：,显然，面积坐标与3节点三角形单元的形函数完全相同。,面积坐标表示直角坐标,不难导出下列变换关系：,矩阵形式：,利用上面变换式，三角形单元上的任何多项式函数可以方便地在两种坐标之间转换。,面积坐标的各种形式
15、幂函数在三角形上的积分有很简便的计算公式（P71)。,面积坐标表示的6节点三角形单元形函数,根据形函数性质直接构造出用面积坐标表示的形函数如下：,不难验证，上述6个形函数满足形函数的2个主要性质：,采用面积坐标后，单元刚度矩阵和等效节点力的计算都比较方便。,6节点三角形单元列式推导原理与其它单元相同。,第三节 空间轴对称问题的有限元格式,前面讨论的几类单元都是用于解决弹性力学平面问题。工程中经常涉及空间轴对称问题，可用轴对称弹性理论描述，其有限元解法中亦相应采用轴对称单元模拟。,描述轴对称问题通常采用圆柱坐标（r,z）,以z轴为对称轴，圆周向为，轴对称问题的所有力学量均与坐标无关，只是r,z的
16、函数。且位移只有r,z方向的分量。因此，轴对称问题是二维问题。,离散轴对称体时，采用的单元实际上是一些圆环，称为轴对称实体元。对轴对称实体模型和轴对称单元的描述只要在r,z坐标平面内进行，但单元上所有载荷都沿圆周方向分布，计算应变能和等效节点力时积分的区域是圆环体或圆环形线、面。 用3节点三角形模拟轴对称问题的原理如图3-4所示。,图3-4 轴对称问题的有限元,采用3节点三角形单元求解弹性力学轴对称问题的要点如下：,（1）位移模式及形函数同平面问题的三角形单元。,（2）应变有4个分量，3个面内应变为常量，环向应变不是常应变， 而是与单元中各点的位置有关。,其中,弹性矩阵D见P28 表1.2。,（3）单元应力用应变代入弹性力学轴对称物理方程得到：,轴对称应力分量如图。,轴对称问题有4个应力分量。对3节点三角形单元，剪应力为常量，其它3个正应力分量均随位置变化。,每个应力矩阵分块为：,（4） 单元刚度矩阵计算公式：,（5）单元等效节点力计算须在整个环形线、面、体上积分；轴对称
