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1、几种不同类型的函数模型 一 函数模型及数学建模 函数模型是解决实际问题的重要数学模型，将实际问题中的变量关 系用函数表现出来，然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解 决实际问题 那么如何建立数学模型呢？可按以下步骤完成 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择 模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语 言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题 建模过程示意图： 二 几种常见的函数模型 1一次函数模型：f(x)kxb(k、b为常数，k0)； 2反比例函数模型：f(x
2、)b(k、b为常数，k0)； 3二次函数模型：f(x)ax2bxc(a、b、c为常数，a0)； 4指数函数模型：f(x)abxc(a、b、c为常数，a0，b0， b1)； 5对数函数模型：f(x)mlogaxn(m、n、a为常数，a0， a1)； 6幂函数模型：f(x)axnb(a、b、n为常数，a0，n1)； 7分段函数模型：这个函数模型实则是以上两种或多种模型的综 合，因此应用也十分广泛 三 指、对、幂三种函数模型增长速度的比较 正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数的 增长差异 直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长 速度均匀(恒为常数)；在区间(
3、0，)上，尽管函数yax(a1)，y logax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一 个“档次”上. 随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超 过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则 会越来越慢，因此总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxxn1),y=logax(a1)和 y=xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档 次”上；（2）随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过 并远远大于y=xn(n0)的增长速度，表现为指数爆炸；（3）随着x的增 大，y=logax(a1)的增长速度
4、会越来越慢；（4）随着x的增大， y=ax(a1)的图象逐渐表现为与y轴平行一样，而y=logax(a1)的图象逐 渐表现为与x轴平行一样；（5）当a1,n0时，总会存在一个x0,当xx0 时，有axxnlogax；（6）当0a1，nx0 时，有logaxxnax 一次函数模型 例1 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收 费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图(1)、图 (2)所示 图(1)图(2) (1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算
5、，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜 思路点拨：由题目可知函数模型为直线型，可先用待定系数法求出解 析式，然后再进行函数值大小的比较 解：(1)由图象可设y1k1x29，y2k2x，把点B(30,35)，C(30,15) 分别代入y1，y2得k1，k2.y1x29(x0)，y2x(x0)(2) 令y1y2，即x29x，则x96.当x96时，y1y2，两种卡收费一 致；当xy2，即便民卡便宜；当x96时，y1y2，即如意卡便 宜 函数的图象是表示函数的三种方法之一，正确识图、用图、译图 是解决函数应用题的基本技能和要求本题由于过原点的直线是正比 例函数图象，因此运用了待定系数法求得一次函数解析式
6、，然后利用 函数解析式解决了实际问题借助函数图象表达题目中的信息，读懂 图象是关键 例2 一个报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价 格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社在 一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖 出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多 少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润 解：设每天从报社买进x(250 x400，xN)份报纸，可列表： 数量(份)价格(元)金额(元) 买进30 x0.206x 20 x 卖出102500.306x750 退回10(x
7、250)0.08 0.8x 200 设每月所获利润为y元，则y(6x750)(0.8x200)6x 0.8x550(250 x400，xN) y0.8x550在250,400上是增函数，当x400时，y取得 最大值870. 即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润 为870元 二次函数模型 例3 以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出 售羊毛衫的销售有淡季与旺季之分标价越高，购买人数越少我 们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格某商场经销某 品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100元/件针对 该品牌羊毛衫的市场调查显示：购买该品牌羊毛
8、衫的人数是标价的 一次函数；该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的 倍；在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润 (1)分别求出该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季的最高价格； (2)在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？ 思路点拨：首先用标价x表示出购买人数和旺季价格，进而可表示出利 润函数，再利用函数关系解决相关问题 解：(1)设在旺季销售时羊毛衫的标价为x元/件，购买人数为kx b(k0)，则旺季的最高价格为元/件，利润函数L(x)(x100)(kx b)kx2(100kb)x100b，x100，当x50时， L(x)最大由题意知50140，解得
9、180.即旺季的最高价格是 180(元/件)，则淡季的最高价格是180120(元/件) (2)设在淡季销售时羊毛衫的标价为t元/件，购买人数为mtn(m0)， 则淡季的最高价格为120(元/件)，即n120m，利润函数L(t) (t100)(mt120m)m(t110)2100m，t100,120当t110 时，L(t)最大 所以，在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110 元/件 二次函数模型是初等数学阶段研究的最为广泛的多项式函数，由 于具有二次函数、二次方程、二次不等式、二次曲线等四个“二 次”互为关联的重要特征，因此在应用型问题中是最为重要的模型 此外作为一个考点，由于
10、二次函数涉及函数单调性、区间最值等诸多 方面，因此有理由相信，今后这类试题仍将是重点本题最为重要的 特点是逆向运用二次函数最值问题，通过旺季最值的取得来获得参变 量之间的关系进而对淡季羊毛衫的价格作出判断与预测这种方法值 得去关注 指数函数模型 例4 按复利计算利率的一种储蓄，本金为a，每期利率为r，设本利和 为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式如果存入本金 1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？ 思路点拨：复利是计算利息的一种方法，即把前一期的利息和本金加 在一起作本金，再计算下一期的利息 解：已知本金为a元1期后的本利和为y1aar(1r)a；2期后 的
11、本利和为y2a(1r)a(1r)ra(1r)2；3期后的本利和为y3 a(1r)3； x期后的本利和为ya(1r)x.将a1000(元)，r2.25%，x5 代入上式得y1000(12.25%)5 1000(1.0225)51117.68(元)故复利函数式为ya(1r)x,5期后 的本利和为1117.68元 在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值 的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值y，可以用公式y N(1P)x来表示，解决平均增长率的问题时要用到这个函数式 例5 光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起 来，设光线原来的强度为a，通过x块玻
12、璃后强度为y. (1)写出y关于x的函数关系式； (2)至少通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的以下？(lg 30.4771) 解：(1)ya(110%)x(xN*)(2)ya，a(110%)xa， 0.9x，xlog0.910.4，x11. 对数函数模型 例6 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发 现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中 Q表示燕子的耗氧量 (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 思路点拨：该问题已经给出了函数模型，故赋值后可求出Q的值，进而 求出v的值 解：
13、(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v0，代入题给公式可得： 05log2，解得Q10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位(2)将耗氧 量Q80代入题给公式得：v5log25log2815(m/s) 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. 直接以对数函数为模型的应用题不是很多，此类问题一般是先给出对 数函数模型，利用对数运算性质求解 例7 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某 码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行 两周后，把汽艇停靠岸边，上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返 回设t为出发后的某一时刻，S为汽艇与码头在时刻t的距
14、离，下列图 象中能大致表示Sf(t)的函数关系的为(C) 解析：当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，Svt，图象为一条线段； 当环岛两周时，S两次增至最大，并减少到与环岛前的距离S0；上岛考 察时，SS0； 返回时，SS0vt，图象为一条线段所以选C. 例8 用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过 1%，则至少要洗的次数是(B) A 3B 4C 5D 6 解析：设至少要洗x次，则(1)x，所以x3.32，因此至少要洗4 次 例9 函数yf(x)与yg(x)的图象如图：则函数yf(x)g(x)的图象 可能是(A) 解析：明确函数图象在x轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相 乘“同号
15、为正、异号为负”函数yf(x)g(x)的定义域是函数y f(x)与yg(x)的定义域的交集(，0)(0，)，图象不经过 坐标原点，故可以排除C、D.由于当x为很小的正数时f(x)0且g(x) 0，故f(x)g(x)0.故选A. 例 10 下列函数中，随x值的增大，增长速度最快的是(D) (A)y50 x(xZ) (B)y1000 x (C)y0.42x1 (D)yex 解析：指数“爆炸式”增长，y0.42x1和yex虽然都是指数型 函数，但yex的底数e较大些，增长速度更快 例11 把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，求这 两个正三角形面积之和的最小值 解析：设一个正三角形的
16、边长为x(cm)，则另一个正三角形的边长 为4x(cm)，两个正三角形的面积和为Sx2(4x)2(x2)2 4(0 x4)当x2(cm)时，Smin2(cm2) 例12 当2xx2log2x (B)x22xlog2x (C)2xlog2xx2 (D)x2log2x2x 解析：法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数ylog2x，y x2，y2x，在区间(2,4)上从上往下依次是yx2，y2x，ylog2x的 图象，所以x22xlog2x. 法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代 入法可取x3，经检验易知选B. 例13 已知函数的图象如图所示，试写出它的一个可能的解析式 _ 解：可由图象的两点特征去确定第一点：过两定点(0,1)，(10,3) 第二点：增长情况答案：ylg(x21)1(x0)(答案不唯一) 例14 奇瑞曾在2009年初公告：2009年生产目标定为39.3万辆；而奇瑞 董事长极力表示有信心达成这个生产目标，并在09年实现更为平衡的 增长我们不妨来看看近三年奇瑞的政绩吧：2006年，奇瑞汽
