大一高数上_PPT课件_第三章

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1、第 三 章 微分中值定理与导数的应用,一、罗尔(Rolle)定理,定理(Rolle),若函数f ( x ) 满足,（1）在闭区间a,b上连续,（2）在开区间(a,b)内可导,（3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b),例如,3. 1 微分中值定理,几何解释:,若连续曲线弧的两个 端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线，,注, Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导 区间端点处的函数值相等；,这三个条件只是充分条件，而非必要条件,如：y=x2在-1,2上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使,但定理的条件又都是必须的，即为了保证

2、结论成立 三个条件缺一不可。,例如,又例如,在0,1上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的 一切条件,再例如,在0,1上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件,罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；,另外还要注意点并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点也不一定能指出是哪一点，,如,在-1，0上满足罗尔定理的全部条件，而,但却不易找到使,但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.,例1不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数,判断方程f (x)=0有几个实根，以及其所在范围。 解：

3、f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在1, 2，2, 3上满足罗尔定理的三个条件。 在 (1, 2) 内至少存在一点 x1，使 f (x1)=0，x1是 f (x)=0的一个实根。 在(2, 3)内至少存在一点 x2，使f (x2)=0，x2也是 f (x)=0的一个实根。 f (x) =0是二次方程，只能有两个实根，分别在区间(1, 2)及(2, 3)内。,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,推论 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。,证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1x2)，应用拉格朗日中值定理，就得 f(x2)f(x1)

4、f (x)(x2x1) (x1x x2)。 由假定，f (x)0，所以f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。,证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间0, x上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有 f(x)f(0)f (x)(x0)，0xx。,又由0xx，有,三、柯西(Cauchy)中值定理,Cauchy定理又称为广义微分中值定理,结构图,Lagrange定理,特例,Rolle定理,推广,Cauchy定理,拉格朗日中值定理又称微分中值定理.,第二节 洛必达法则,定义,例如,定理,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来

5、确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,步骤:,0.,=,例8,解,步骤:,步骤:,例9,解,1洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷。,应注意的问题：,2本节定理给出的是求未定式的一种方法。当定理条件满足时，所求的极限当然存在(或为)，但定理条件不满足时，所求极限却不一定不存在。,所以不能用洛必达法则。,但其极限是存在的：,第三节 泰勒(Taylor)公式,多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构 简单，因此无

6、论是数值计算还是理论分析都比较方便 从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，这是其它函数所不具备的优点 。用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实用价值，而且更具有理论价值。,一、问题的提出,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计.,二、泰勒(Taylor)中值定理,-拉格朗日型余项,-佩亚诺型余项,麦克劳林(Maclaurin)公式,三、简单的应用,解,代入公式,得,常用函数的麦克劳林公式,解,第四节 函数单调性与曲线凹凸性,导数符号与单调性 单调性的判定步骤 凹凸与拐点的定义 二阶导数符号与凹凸性 凹凸与拐点的判定步骤,一、单调性的判别法,函数在某区间上是否具有单调性是我们在

7、研究 函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。,从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），曲线就是上升（下降）的,这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性 ？回答是肯定的。,定理,例1,解,例2,解,单调减区间为,单调增区间为,二、单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点(驻点)和

8、不可导点，可能是单调区间的分界点,单调区间求法:,在 f 的定义域上求 f 的零点及 f 不存在的点； 2. 用 f 的零点及 f 不存在的点将 f 的定义区间划分为子区间； 3. 根据 f 在各子区间内的符号确定 f 的单调性。 4. 二、三两步可借助于表格方式完成。,例3,解,(, 1),(1, 2),(2, ),说明: 一般地，如果f (x)在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正(或负)时，那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的。,例4讨论函数yx3的单调性。 解：函数的定义域为 (, )。 y3x2，当x0时，y0。 因为当x0时，y0。所以函数yx3在区间(,

9、0及0, )内都是单调增加的。 因此函数在整个定义域(, )内是单调增加的。,注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。,因为当x1时，f (x)0，所以f(x)在1, )上f(x)单调增加。因此当x1时，f(x)f(1)=0，即,三、曲线的凹凸性与拐点,定义: 若曲线段向上（下）弯曲，则称之为凹（凸）的。,图形上任意弧段（ ） 位于所张弦的上方。,图形上任意弧段（ ）位于所张弦的下方。,问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?,的中点,的中点,定义,四、曲线凹凸的判定,定理1,例6,解,注意到,五、曲线的拐点及其求法,1.定义,2.拐点的求法,例8,解,凹凸与拐点的判定步骤,

10、例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,第五节 函数的极值与 最大值最小值,由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。,一、函数极值的定义,设函数f(x)在区间(a, b)内有定义，x0(a, b),f(a)和 f(b)是否为极值？,个极小值；函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数 取得极值的点称为极值点,极值的定义：,二、函数的极值,取得极值的必要条件：,观察极值与切线的关系：,在极值点处，如果函数

11、曲线有切线，则切线是水平的,定理1 （必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得 极值，那么f (x0)0,驻点： 使导数为零的点(即方程f (x) 0的实根)叫函数f(x)的驻点,应注意的问题： 可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点但反过来，函数f(x)的驻点却不一定是极值点,观察函数f(x)x在x0处的导数与极值情况,在 x=0处， f (0)0.,但函数在x=0无极值,定理2（第一充分条件）设函数f(x)在点x0的一个邻域内连 续，在x0的左右邻域内可导 (1) 如果在x0的某一左邻域内f (x)0，在x0的某一右邻域内 f (x)0，那么函数f(x)在x0处取得极小值；

12、 (3)如果在x0的左右邻域内f (x)不改变符号，那么函数f(x)在 x0处没有极值,取得极值的第一充分条件：,取得极值的第一充分条件的几何意义：,f (x)0,f (x)0,f (x)0,f (x)0,在极小值点附近,在极大值点附近,例1 求函数f(x)1(x2)2/3的极值,解 (1)当x 2时，,(2)函数无驻点， x2是不可导点； (3)列表判断：,f (x),f (x),(-，2),2,(2，+ ),+,-,不存在,1,极大值,函数f(x)在x2取得极大值，极大值为f(2)1,确定极值点和极值的步骤：,(1)求出导数f (x)； (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点； (3)列表

13、判断（考察f (x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况，以便确定该点是否是极值点，如果是极值点，还要按定理 2 确定对应的函数值是极大值还是极小值）； (4)确定出函数的所有极值点和极值,函数f(x)的极大值为f(1)10，极小值为f(3) 22,例2 求函数f(x)x 33x 29x 5的极值,解 (1)f (x)3x 26x 93(x1)(x3) (2)令3(x1)(x3)0， 得驻点x 11，x 23 (3)列表判断：,(3, ),22,(,1),1,(1, 3),3,f (x),0,0,f(x),10,极大,极小,x,应注意的问题： 如果函数f(x)在驻点x 0处的二阶导数f

14、(x 0) 0，那么点x 0一定是极值点，并且可以按二阶导数f (x 0)的符来判定f(x 0)是极大值还是极小值但如果f (x 0)0，定理3就不能应用,定理2 (第二充分条件) 设函数f(x)在点x 0处具有二阶导数 且f (x 0)0，f (x 0)0，那么 (1)当f (x 0)0时，函数f(x)在x 0处取得极小值,讨论：函数 f 1(x)x 4，f 2(x)x 3在点x0是否有极值？,f 1(x)4x 3， f 1(0)0，,f 1(x)12x 2， f 1(0)0,当x0时， f 1(x)0 f 1(0)为极小值,f 2(x)3x 2， f 2(0)0，,f 2(x)6x ， f

15、 2(0)0,f 2(x)0， f 2(0)不是极值,(2)令f (x)0， 求得驻点x 11，x 20，x 31 (3)f (x)6(x 21)(5x 21) (4)因f (0)60，所以x0为 极小值点，极小值为 f(0)0 (5)因f (1)f (1)0，用定 理 3 无法判别,例3 求函数f(x)(x 21)31的极值,解法一,(1)f (x)6x(x 21)2,同理，f(x)在1处也没有极值,因为在1的左右邻域内f (x)0，,所以f(x)在1处没有极值；,f (x),f(x),(1)f (x)6x(x 21)2,(2)令f (x)0，求得驻点x 11，x 20，x 31,(3)列表

16、判断：,(-，-1),-1,(-1，0),0,(0，1),1,(1，+ ),-,0,-,0,+,+,0,0,无极值,无极值,极小值,f (x)在x0处取得极小值，极小值为 f(0)0,解法二,极值与最值的关系：,最大值：f (b)， 最小值：f (x3),观察：,三、函数的最大值、最小值,最大值：f (x4)， 最小值：f (x3),观察：,设函数f(x)在闭区间a，b上连续，则函数的最大值和最小 值一定存在函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得， 如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间(a，b)内取得， 在这种情况下，最大值一定是函数的极大值因此，函数在闭区 间a，b上的最大值一定是函