第47讲 坐标系与参数方程

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1、高中数学资料共享群284110736,每天都有更新,海量资料随意下载。 第四十七讲 坐标系与参数方程 A组一、选择题1. 已知圆C的参数方程为(为参数),当圆心C到直线的距离最大时,k的值为()A. B. C D解析O的直角坐标方程为,圆心,又直线过定点,故当CA与直线垂直时,圆心C到直线距离最大,2.极坐标方程和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是()A直线、直线 B直线、圆C圆、圆 D圆、直线解析由得,此方程所表示的图形是圆消去方程中的参数t可得,此方程所表示的图形是直线3.下列参数方程(t为参数)中,与方程表示同一曲线的是()A B.C. D.解析将代入得,故A错,将代入中得,故B正确

2、,C、D容易判断都是错的4.直线(t为参数)被圆(为参数)截得的弦长为()A B. C D2解析将直线化为普通方程得将圆化为普通方程得圆心O到直线的距离所以弦长二、填空题5.极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为解析 同理:6.在极坐标系中,圆上的点到直线的距离的最小值是1 .解析: 圆可化为,直线化为,圆心到直线的距离,最短距离为三、解答题7.O1和O2的极坐标方程分别为,(I)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(II)求经过O1,O2交点的直线的直角坐标方程解: (I),由得所以即为O1的直角坐标方程同理为O2的直角坐标方程(II)解:由,两式相减得,即过交点的直线的直角坐标方程为8

3、.以直角坐标系的原点为极点,轴非负半轴为极轴,在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为,曲线的参数方程为,点是曲线上的一动点.()求线段的中点的轨迹方程; () 求曲线上的点到直线的距离的最小值.解析()设中点的坐标为,依据中点公式有(为参数),这是点轨迹的参数方程,消参得点的直角坐标方程为. ()直线的普通方程为,曲线的普通方程为,表示以为圆心,以2为半径的圆,故所求最小值为圆心到直线 的距离减去半径,设所求最小距离为d,则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为. 9. 在极坐标系下,已知圆和直线。(1) 求圆和直线的直角坐标方程;(2) 当时,求直线于圆公共点的极坐标。解:(1)

4、圆,即圆的直角坐标方程为:,即直线,即则直线的直角坐标方程为:,即。(2) 由得 故直线与圆公共点的一个极坐标为。10.在直角坐标系中。直线:,圆:,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。(I) 求,的极坐标方程;(II) 若直线的极坐标方程为,设与的交点为, ,求的面积解:()因为,所以的极坐标方程为,的极坐标方程为()将代入,得,解得,故,即由于的半径为1,所以的面积为11.在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t 0),其中0 ,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:,C3:。(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交

5、于点B,求的最大值。解:()曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为.联立 解得 或所以与交点的直角坐标为和()曲线的极坐标方程为,其中因此的极坐标为,的极坐标为所以当时,取得最大值,最大值为412在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为.(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a.【解析】(1)曲线的普通方程为.当时,直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为,.(2)直线的普通方程为,故上的点到的距离为.当时,的最大值为.由题设得,所以;当时,的最大值为.由题设得,所以.综上,或. B组一、选择题1.在极坐标系中,圆

6、的圆心的极坐标是()A B C D解析由得:,即,圆心直角坐标为,极坐标为,选B.2.极坐标方程和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是()A圆、直线 B直线、圆 C 圆、圆 D直线、直线解析将题中两个方程分别化为直角坐标方程为,它们分别表示圆和直线3.极坐标方程为表示的图形是()A两个圆 B两条直线 C一个圆和一条射线 D一条直线和一条射线解析由得或者,又,故该方程表示的图形是一个圆和一条射线4.曲线与曲线(关于直线l对称,则l的方程为()A B C D解析圆的圆心圆,的圆心O与C关于直线l对称,l为线段OC的中垂线,kOC1,kl1,l方程为:,即.二、填空题5.曲线与直线有两个公共点,则

7、实数的取值范围是解析:由参数方程得标准方程为6.已知两曲线参数方程分别为和,它们的交点坐标为 .三、解答题7.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)设为曲线上的动点,求点到上点的距离的最小值,并求此时点的坐标.解析(1)由曲线: 得两式两边平方相加得:即曲线的普通方程为: 由曲线:得:所以即曲线的直角坐标方程为: (2) 由(1)知椭圆与直线无公共点,椭圆上的点到直线的距离为 所以当时,的最小值为,此时点的坐标为8.、已知曲线的极坐标方程是,设直线的参数方程是(为参数) ()将曲

8、线的极坐标方程转化为直角坐标方程; ()设直线与轴的交点是,曲线上一动点,求的最大值.解:(1)曲线的极坐标方程可化为: 又 .所以,曲线的直角坐标方程为:. (2)将直线的参数方程化为直角坐标方程得: 令 得 即点的坐标为 又曲线为圆,圆的圆心坐标为,半径,则 9. 在平面直角坐标系xOy中,已知M是椭圆上在第一象限的点,是椭圆两个顶点,求四边形OAMB的面积的最大值解:设,由题知 四边形OAMB面积所以当时,四边形OAMB的面积的最大值为 10.在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程是(为参数);以 为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的极坐标方程为()写出直线的普通方程与圆的直角坐标方

9、程;()由直线上的点向圆引切线,求切线长的最小值.【解析】: () ,曲线C: ()因为圆极坐标方程,所以,所以圆的直角坐标方程为,圆心为,半径为1,因为直线的参数方程为(为参数),所以直线上的点向圆C 引切线长是所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 11.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数),为直线与曲线的公共点,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求点的极坐标;(II)将曲线上所有点的纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变)后得到曲线,过点作直线,若直线被曲线截得的线段长为,求直线的极坐标方程.解:(I)的普通方程为。将代入上式整理得,解得故点

10、的坐标为,其极坐标为. (II)坐标变换式为故的方程为,即当直线的斜率存在时,设其方程为,即,由圆心到直线距离得,直线为,当直线的斜率不存在时,其方程为,显然成立.故直线的极坐标方程为或. C组一、选择题1.方程表示的曲线是( )A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析:注意到t与互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含的项,即有,又注意到 ,可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上,以原点为中心的双曲线的上支,选B2.下列在曲线上的点是( )A B C D解析: 转化为普通方程:,当时,3.极坐标方程表示的曲线是( ) A. 圆B.

11、 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析:这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析:由,化为直角坐标系方程为,化简得.显然该方程表示抛物线,故选D.4.直线被圆截得的弦长为( )A B C D 解析: ,把直线代入得,弦长为二、填空题5.若直线(t为参数)被曲线(为参数)所截,则截得的弦的长度是_解析直线化为;圆化为圆心C(1,1)到直线距离半径r3,弦长为6.在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为_答案解析解法一:圆的圆心极坐标(3,0),直线l方程为解法二:由得,圆心C(3,0),过圆心垂直于极轴(即x轴)的直线方程为,其极坐标方程为三、解答题7.已知直线的

12、参数方程为:,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.()求曲线的参数方程;()当时,求直线与曲线交点的极坐标.解析 ()由,可得所以曲线的直角坐标方程为,标准方程为,曲线的极坐标方程化为参数方程为()当时,直线的方程为,化成普通方程为,由,解得或,所以直线与曲线交点的极坐标分别为,;, .8. 已知在直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为()求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;()设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的取值范围.解析()直线的普通方程为,C直角坐标方程为.()设点,则,所

13、以的取值范围是. 9.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数)()将的方程化为普通方程;()以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线的极坐标方程是, 求曲线与交点的极坐标.解析()依题意,的普通方程为,()由题意,的普通方程为,代入圆的普通方程后得,解得,点、的直角坐标为,从而,. 10. 已知曲线 (t为参数) , (为参数)()化,的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;()过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A,B两点,求.解析解()曲线为圆心是,半径是1的圆.曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长轴长是8,短轴长是6的椭圆. ()曲线的左顶点为,则直线的参数方程为(为参数)将其代入曲线整理可得:,设对应参数分别为,则所以. 11.在极坐标系中,已知圆C的圆心,半径r= ( I)求圆C的极坐标方程;()若,直线的参数方程为(t为参数),直线交圆C于A、B两点,求弦长|AB|的取值范围解:()直角坐标,所以圆的直角坐标方程为

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