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1、高中数学资料共享群284110736，每天都有更新，海量资料随意下载。 第四十七讲 坐标系与参数方程 A组一、选择题1. 已知圆C的参数方程为(为参数)，当圆心C到直线的距离最大时，k的值为()A. B. C D解析O的直角坐标方程为，圆心，又直线过定点，故当CA与直线垂直时，圆心C到直线距离最大，2.极坐标方程和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是()A直线、直线 B直线、圆C圆、圆 D圆、直线解析由得，此方程所表示的图形是圆消去方程中的参数t可得，此方程所表示的图形是直线3.下列参数方程(t为参数)中，与方程表示同一曲线的是()A B.C. D.解析将代入得，故A错，将代入中得，故B正确
2、，C、D容易判断都是错的4.直线(t为参数)被圆(为参数)截得的弦长为()A B. C D2解析将直线化为普通方程得将圆化为普通方程得圆心O到直线的距离所以弦长二、填空题5.极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为解析 同理：6.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是1 .解析： 圆可化为，直线化为，圆心到直线的距离，最短距离为三、解答题7.O1和O2的极坐标方程分别为，(I)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程解： (I)，由得所以即为O1的直角坐标方程同理为O2的直角坐标方程(II)解:由,两式相减得,即过交点的直线的直角坐标方程为8
3、.以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.（）求线段的中点的轨迹方程； () 求曲线上的点到直线的距离的最小值.解析（）设中点的坐标为，依据中点公式有（为参数），这是点轨迹的参数方程，消参得点的直角坐标方程为. （）直线的普通方程为，曲线的普通方程为，表示以为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心到直线 的距离减去半径，设所求最小距离为d，则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为. 9. 在极坐标系下，已知圆和直线。(1) 求圆和直线的直角坐标方程；(2) 当时，求直线于圆公共点的极坐标。解：（1）
4、圆，即圆的直角坐标方程为：，即直线，即则直线的直角坐标方程为：，即。（2） 由得 故直线与圆公共点的一个极坐标为。10.在直角坐标系中。直线:，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I） 求，的极坐标方程；（II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积解：（）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为（）将代入，得，解得，故，即由于的半径为1，所以的面积为11.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t 0），其中0 ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交
5、于点B，求的最大值。解：（）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.联立 解得 或所以与交点的直角坐标为和（）曲线的极坐标方程为，其中因此的极坐标为，的极坐标为所以当时，取得最大值，最大值为412在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为.（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.【解析】（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或. B组一、选择题1.在极坐标系中，圆
6、的圆心的极坐标是()A B C D解析由得：，即，圆心直角坐标为，极坐标为，选B.2.极坐标方程和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是()A圆、直线 B直线、圆 C 圆、圆 D直线、直线解析将题中两个方程分别化为直角坐标方程为,它们分别表示圆和直线3.极坐标方程为表示的图形是()A两个圆 B两条直线 C一个圆和一条射线 D一条直线和一条射线解析由得或者，又，故该方程表示的图形是一个圆和一条射线4.曲线与曲线(关于直线l对称，则l的方程为()A B C D解析圆的圆心圆，的圆心O与C关于直线l对称，l为线段OC的中垂线，kOC1，kl1，l方程为：，即.二、填空题5.曲线与直线有两个公共点，则
7、实数的取值范围是解析：由参数方程得标准方程为6.已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 .三、解答题7.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.解析（1）由曲线： 得两式两边平方相加得：即曲线的普通方程为： 由曲线：得：所以即曲线的直角坐标方程为: (2) 由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为 所以当时，的最小值为，此时点的坐标为8.、已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数） （）将曲
8、线的极坐标方程转化为直角坐标方程； （）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.解：（1）曲线的极坐标方程可化为： 又 .所以，曲线的直角坐标方程为：. （2）将直线的参数方程化为直角坐标方程得： 令 得 即点的坐标为 又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，则 9. 在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆上在第一象限的点，是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值解：设，由题知 四边形OAMB面积所以当时，四边形OAMB的面积的最大值为 10.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为（）写出直线的普通方程与圆的直角坐标方
9、程；（）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.【解析】: （） ,曲线C: （）因为圆极坐标方程，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C 引切线长是所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 11.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)，为直线与曲线的公共点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求点的极坐标；（II）将曲线上所有点的纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变)后得到曲线，过点作直线，若直线被曲线截得的线段长为，求直线的极坐标方程.解：（I）的普通方程为。将代入上式整理得，解得故点
10、的坐标为，其极坐标为. （II）坐标变换式为故的方程为，即当直线的斜率存在时,设其方程为，即，由圆心到直线距离得，直线为，当直线的斜率不存在时，其方程为，显然成立.故直线的极坐标方程为或. C组一、选择题1.方程表示的曲线是（ ）A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到 ，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B2.下列在曲线上的点是（ ）A B C D解析： 转化为普通方程：，当时，3.极坐标方程表示的曲线是（ ） A. 圆B.
11、 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.4.直线被圆截得的弦长为（ ）A B C D 解析： ，把直线代入得，弦长为二、填空题5.若直线(t为参数)被曲线(为参数)所截，则截得的弦的长度是_解析直线化为；圆化为圆心C(1,1)到直线距离半径r3，弦长为6.在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为_答案解析解法一：圆的圆心极坐标(3,0)，直线l方程为解法二：由得，圆心C(3,0)，过圆心垂直于极轴(即x轴)的直线方程为，其极坐标方程为三、解答题7.已知直线的
12、参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）求曲线的参数方程；（）当时，求直线与曲线交点的极坐标.解析 （）由，可得所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为，曲线的极坐标方程化为参数方程为（）当时，直线的方程为，化成普通方程为，由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为，；, .8. 已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.解析（）直线的普通方程为，C直角坐标方程为.（）设点，则，所
13、以的取值范围是. 9.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）（）将的方程化为普通方程；（）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线的极坐标方程是， 求曲线与交点的极坐标.解析（）依题意，的普通方程为，（）由题意，的普通方程为，代入圆的普通方程后得，解得，点、的直角坐标为，从而，. 10. 已知曲线 (t为参数) ， (为参数)（）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;（）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.解析解（）曲线为圆心是，半径是1的圆.曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆. （）曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以. 11.在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r= （ I）求圆C的极坐标方程；（）若，直线的参数方程为（t为参数），直线交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围解：（）直角坐标，所以圆的直角坐标方程为
