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1、第五章 地下水向边界井及不完整井的运动,肖 长 来 吉林大学环境与资源学院,2006-3,在自然界中,任何含水层的分布都是有限的。当边界距抽水井较远,且抽水时间较短,在抽水过程中边界对抽水井不发生明显影响时,就可当作无限含水层来处理。 但当井打在边界附近,或在长期抽水情况下,边界对水流有明显影响时,就必须考虑边界的存在。边界基本上分为补给边界(供水边界)和隔水边界(不透水边界)二类。属于哪一类边界,要据具体水文地质条件来确定。实际的边界常常是弯曲的、不规则的。为便于计算,常把它简化成直线,并把含水层的分布范围简化成规则的几何形状。 此外,前边讲的是含水层中的完整井流。实际上,由于天然含水层埋藏
2、条件和技术经济条件的不同,有很多情况下不需要建完整井,例如含水层厚度巨大时、取水量较小即能满足需求时等等。这种情况下就需要研究地下水向不完整井的运动。,5.1 镜像原理及直线边界附近的井流,1 镜像法原理 如在平面镜前放一物体,镜中就有一虚像存在。物体和虚 像的位置对镜子是对称的,形状是相同的。为此,把直线边界 想象成一面镜子,若边界附近存在工作的真实的井(称为实井) ,相应地在边界的另一侧会映出一口虚构的井(称为虚井)。 为了将有界井流问题化为无界井流问题,且变化后保持原问题 的边界性质不变,虚井应有下列特征: (1)虚井和实井的位置对边界是对称的; (2)虚井的流量和实井相等; (3)虚井
3、性质取决于边界性质,对于定水头补给边界,虚井性质和实井相反;如实井为抽水井,则虚井为注水井;对于隔水边界,虚井和实井性质相同,都是抽水井; (4)虚井的工作时间和实井相同;,边界的影响可用虚井的影响代替,把实际上有界的渗流区化 为虚构的无限渗流区,把求解边界附近的单井抽水问题,化为 求解无限含水层中实井和虚井同时抽(注)水问题。但要求仍保 持原有的其他边界条件和水流状态。利用叠加原理,可求得原 问题的解。数学上可以证明这是合理的。 这样,利用虚井把有界含水层的解和无界含水层的解联系起来,后者有现成的解析解,因此有界含水层的求解就比较容易了。这种方法称为镜像法或映射法。 2 直线边界附近的井流
4、1.稳定流 (1)直线补给边界附近的稳定井流:先考虑承压水井。设抽水井的流量为Q,井中心至边界的垂直距离为a,则在边界的另一侧-a的位置上映出一口流量为-Q的注水井(图5-1)。,图5-1 直线补给边界附近的稳定井流(据J.Bear),因为承压水的降深s为线性函数,故可进行叠加。 ln 式中:s 边界附近任一点p(x,y)的降深值; s1 由实井引起的降深; s2- 由虚井引起的降深; 研究点至实井的距离; 研究点至虚井的距离。 相应的流网表示在图5-1(d)中。,(5-1),对于潜水含水层,s不是线性函数,不能进行叠加。但是线性函数,故有: 为了便于计算,把研究点移至抽水井井壁, 即 , 则
5、得承压水: 潜水: 式中,rw为水井半径,H0为承压含水层的初始水头或潜水含水层的初始厚度。,(5-2),(5-3),(5-4),上述推导的前提是2aR,式中R为影响半径。否则,边界在抽水过程中不发生影响,如果仍用(5-3)式和(5-4)式计算,将会产生不合理的结果。 (2)直线隔水边界附近的稳定井流(图5-2),图5-2 直线隔水边界附近的稳定井流(据J.Bear),根据镜像法原理,在边界的另一侧映出一个流量也是Q的 虚井。对于承压含水层,该情况下降深等于实井和虚井降深的 叠加。 对于潜水含水层,有: 为了便于计算,把研究点p(x,y)移至抽水井井壁, 则 ,得承压水:,(5-5),(5-6
6、),(5-7),潜水: 式中符号同前。同理,以上各式也只适用于aR0/2的情况。 2. 非稳定流 (1)直线补给边界附近的非稳定井流:和稳定流的情况相似,虚井是流量为-Q的注水井,利用叠加原理,对承压水井可得: 式中,(5-8),(5-9),当抽水时间t延长到一定程度,使 和 均小于0.01时,则 可利用Jacob近似公式,于是(5-9)式变为: 对于潜水,当降深不大时,忽略三维流的影响,类似地可得: 式中 ,(i=1,2); 为给水度; ,导水系数;为平均厚度。当 时有: 式(5-10)和式(5-12)式都没有包含时间因素t,和稳定流公 式(5-1)式和(5-2)式完全相同,表示存在补给边界
7、时,抽水 一定时间以后降深能达到稳定。,(5-10),(5-11),(5-12),(2)直线隔水边界附近的非稳定井流 该情况下虚井是抽水井, 对承压水井利用叠加原理得: 随着抽水时间的延长,u1和u2都变得小于0.01以后,(5-13)式变为: 对于潜水则有 由(5-14)式或(5-15)式可看出,随着t的增大,降深s也增大。因此,隔水边界附近的井流如果没有其他的补给源,不可能达到稳定。,(5-13),(5-14),(5-15),(3) 根据非稳定流抽水试验资料求参数 求参数的方法,一般仍用直线图解法和配线法。应用配线法时,要根据抽水井和观测孔的位置制定特定的标准曲线。 下面举一个特定标准曲线
8、的例子,即当观测孔位于抽水井到边界的垂直线上。若抽水井至边界的距离为a,至观测孔的距离为r,则 (取负号表未观测孔位于抽水井和边界之间,取正号表示观测孔和边界分别位于抽水井两侧),则: 故有: 这样,只要已知u1和r/a值,即可算出u2 。查井函数表4-1得W(u2) 值,因而可求得 W(u1) W(u2) 值。,(5-16),如果引进二个新的井函数: 则计算隔水边界附近井流的(5-13)式变为: 计算补给边界附近井流的(5-9)式变为: 我们可以作 和 及 的关系曲线(图5-3)。 曲线位于Theis曲线的上部。 曲线位于Theis曲线的下部,曲线的右部出现水平段,表示抽水已达稳定状态。有了
9、标准曲线,即可应用配线法求参数。,(5-17),(5-18),必须注意,图5-3的标准曲线是特定的,当抽水井和观测孔的 连线不垂直于边界时不能应用。,图5-3 边界附近水井非稳定流抽水的标准曲线,不管观测孔的位置如何,只要抽水的时间足够长,都可用直线图解法求参数。 由上一章可知,当边界尚未发生影响时,其情况和无限含水层相同,有公式: 单对数纸上的s-t曲线为直线,斜率为 。而在隔水边界影响的情况下,由(5-14)式可知,s-t直线的斜率为 ,增加了一倍,单对数纸上的s-t曲线出现二个斜率相 差一倍的直线段。早期直线在横轴上的截距为t0,早期直线和 晚期直线交点的横坐标为ti图(5-4的曲线b)
10、。,如利用早期直线段求导水系数,则公式为: 如利用晚期直线段求导水系数,则有: 式中,i为直线段斜率。 求贮水系数利用下式: 在有补给边界影响的情况下,抽水一定时间以后达到稳定,在 单对数纸上出现水平线段。它和边界影响前的倾斜直线有个交 点,交点的横坐标也以ti表示,倾斜直线在横坐标上的截距为to (图5-4中的曲线a)。此时仍用(5-19)式和(5-21)式 计算参数。,(5-19),(5-20),(5-21),图5-4 直线边界附近的s-lgt曲线,a-补给边界附近的曲线,b-隔水边界附近的曲线,思考题: 1.用镜像法求得的流网中,补给边界是流线还是等势线?隔水边界呢? 2.设补给边界附近
11、有二口抽水井和一口注水井同时工作,试用镜像法映出它们的像,并写出相应的计算公式。,5.2 扇形含水层中的井流,两个会聚边界可组成扇形含水层。对扇形含水层使用镜像法时,除了要满足上面提到的一般规则以外,还要满足下列条件: (1)扇形含水层有两条边界,对于某一条边界而言,不仅映出井的像,而且也映出另一条边界的像。这样就要连续映像,直到虚井和虚边界布满整个平面为止。 (2)井必须是整数,所以在扇形含水层应用镜像法时,对其夹 角有一定的要求,即必须能被扇形的夹角q所整除。当含水层 中有一口实井时,平面上的总井数为: 虚井数为:,(5-22),(5-23),(3)实井和虚井在平面上位置的轨迹为一个圆,圆
12、心在扇形的 顶点,半径等于从水井至扇形顶点的距离。 根据J.G.Ferris等人的研究,对扇形含水层应用镜像法 时,其夹角和边界性质的组合还必须满足一定的条件。如两边 界都是补给边界或都是隔水边界时,角必须能整除180 如两边界一个是补给边界,一个是隔水边界,则 角必 须能整除90。如不满足这个条件,应用镜像法的结果将出现 矛盾。角为120时是一个特殊情况,只有当两条边界都是 隔水边界,而且抽水井位于角的平分线上时,才能应用镜像 法。 当然,自然界中的扇形含水层不可能正好具有上述夹角。 只要夹角相近,应用镜像法不至于引起很大的误差,可以用来 进行近似的计算。,下面列举几种常见的扇形含水层。 1
13、.象限含水层 (角为90) 象限含水层的几种情况如图5-12所示。下面分别讨论其稳定流和非稳定流计算。,图5-5象限含水层中的镜像法 (a)两条隔水边界的情况, (b)两条补给边界的情况,(c)一条补给边界一条隔水边界的情况 1一隔水边界, 2一补给边界,3一实抽水井, 4一虚抽水井,5一注水井,1).稳定流计算 当两边界都是隔水边界时,三口虚井都是抽水井图5-5(a), 边界的影响相当于含水层中有四口井同时抽水。假设影响半径 R相当大,利用叠加原理,可得承压含水层中任一点的降深为: 式中, 分别为任意点至各井的距离。如果考虑抽水井的 降深,则有:,(5-24),或,(5-25),类似地,对于
14、潜水井有: 当两边界都是补给边界时图5-5(b),井2、3为注水井, 1、4为抽水井。根据叠加原理有: 同理,对于潜水井有:,(5-26),(5-27),(5-28),当一个边界为补给边界,另一个边界为隔水边界时,井1、3为抽水井,井2、4为注水井图5-5(c)。大家可自行推导有关公式。 2).非稳定流计算 先考虑二条隔水边界的情况,对于承压含水层中任一点有 式中, (i=1,2,3,4); 为关于的Theis井函数(表4-1)。 当时间t足够长,使i 0.01时,可利用Jacob 近似公式得:,(5-29),在单对数纸上,s-lgt直线的斜率为: 表明在象限含水层的情况下,在抽水时间足够长,
15、两隔水边界 充分影响以后,单对数纸上s-lgt直线的斜率为无限含水层的4倍。 二边都是补给边界或一边为补给边界,一边为隔水边界时,处理类似,请读者自行推导(作业)。 2.其他角度的扇形含水层 下面仅以夹角为60。的扇形含水层为例,加以说明,当抽水 井位于分角线上时,虚、实井的分布如图5-6所示。,(5-30),图5-6夹角60的扇形含水层中的镜像法 (a)两条隔水边界的情况, (b)两条补给边界的情况, 1实抽水井;2虚抽水井;3虚注水井,1). 稳定流计算 当两边界都是补给边界时,应有3口抽水井、3口注水井图5-6(b)。对于承压含水层中任一点有: 对抽水井有: 对于潜水井有:,(5-31)
16、,(5-32),(5-33),2).非稳定流计算 当两边界都是补给边界时,有: 当抽水相当长时间以后,代入Jacob近似公式得: 就是(5-34)式。表明该情况下抽水已经达到稳定。推论到一般情况,当存在补给边界时,在抽水相当长时间以后是能够达到稳定的。,(5-34),思考题: 1.扇形含水层的夹角为60,一边为隔水边界,另一边为补给边界时,能否用镜像法?试画图说明。 2.扇形含水层的夹角为120,抽水井不位于分角线上,为什么无论何种边界,都不能应用镜像法?,5.3 条形含水层中的井流,两条平行的边界中间的含水层为条形含水层,应用镜像法时,因为同时要映出另一边界的像,如此重复,一共要映射无穷多次。这样,条形含水层中的一口井就变成了无限含水层中的一个无穷井排(图5-7)。,图5-7 条形含水层的镜像法 1-隔水边界;2补给边界;3实抽水