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1、第五章 地下水向边界井及不完整井的运动,肖 长 来 吉林大学环境与资源学院,2006-3,在自然界中，任何含水层的分布都是有限的。当边界距抽水井较远，且抽水时间较短，在抽水过程中边界对抽水井不发生明显影响时，就可当作无限含水层来处理。 但当井打在边界附近，或在长期抽水情况下，边界对水流有明显影响时，就必须考虑边界的存在。边界基本上分为补给边界（供水边界）和隔水边界（不透水边界）二类。属于哪一类边界，要据具体水文地质条件来确定。实际的边界常常是弯曲的、不规则的。为便于计算，常把它简化成直线，并把含水层的分布范围简化成规则的几何形状。 此外，前边讲的是含水层中的完整井流。实际上，由于天然含水层埋藏
2、条件和技术经济条件的不同，有很多情况下不需要建完整井，例如含水层厚度巨大时、取水量较小即能满足需求时等等。这种情况下就需要研究地下水向不完整井的运动。,5.1 镜像原理及直线边界附近的井流,1 镜像法原理 如在平面镜前放一物体，镜中就有一虚像存在。物体和虚 像的位置对镜子是对称的，形状是相同的。为此，把直线边界 想象成一面镜子，若边界附近存在工作的真实的井(称为实井) ，相应地在边界的另一侧会映出一口虚构的井（称为虚井）。 为了将有界井流问题化为无界井流问题，且变化后保持原问题 的边界性质不变，虚井应有下列特征： （1）虚井和实井的位置对边界是对称的； （2）虚井的流量和实井相等； （3）虚井
3、性质取决于边界性质，对于定水头补给边界，虚井性质和实井相反；如实井为抽水井，则虚井为注水井；对于隔水边界，虚井和实井性质相同，都是抽水井； （4）虚井的工作时间和实井相同；,边界的影响可用虚井的影响代替，把实际上有界的渗流区化 为虚构的无限渗流区，把求解边界附近的单井抽水问题，化为 求解无限含水层中实井和虚井同时抽(注)水问题。但要求仍保 持原有的其他边界条件和水流状态。利用叠加原理，可求得原 问题的解。数学上可以证明这是合理的。 这样，利用虚井把有界含水层的解和无界含水层的解联系起来，后者有现成的解析解，因此有界含水层的求解就比较容易了。这种方法称为镜像法或映射法。 2 直线边界附近的井流
4、1.稳定流 （1）直线补给边界附近的稳定井流：先考虑承压水井。设抽水井的流量为Q，井中心至边界的垂直距离为a，则在边界的另一侧-a的位置上映出一口流量为-Q的注水井(图5-1)。,图5-1 直线补给边界附近的稳定井流（据J.Bear）,因为承压水的降深s为线性函数，故可进行叠加。 ln 式中：s 边界附近任一点p（x，y）的降深值； s1 由实井引起的降深; s2- 由虚井引起的降深； 研究点至实井的距离； 研究点至虚井的距离。 相应的流网表示在图5-1（d）中。,（5-1）,对于潜水含水层，s不是线性函数，不能进行叠加。但是线性函数，故有: 为了便于计算，把研究点移至抽水井井壁， 即 ， 则
5、得承压水： 潜水： 式中，rw为水井半径，H0为承压含水层的初始水头或潜水含水层的初始厚度。,（5-2）,（5-3）,（5-4）,上述推导的前提是2aR，式中R为影响半径。否则，边界在抽水过程中不发生影响，如果仍用（5-3）式和（5-4）式计算，将会产生不合理的结果。 （2）直线隔水边界附近的稳定井流（图5-2）,图5-2 直线隔水边界附近的稳定井流（据J.Bear）,根据镜像法原理，在边界的另一侧映出一个流量也是Q的 虚井。对于承压含水层，该情况下降深等于实井和虚井降深的 叠加。 对于潜水含水层，有： 为了便于计算，把研究点p（x，y）移至抽水井井壁， 则 ，得承压水：,（5-5）,（5-6
6、）,（5-7）,潜水： 式中符号同前。同理，以上各式也只适用于aR0/2的情况。 2. 非稳定流 （1）直线补给边界附近的非稳定井流：和稳定流的情况相似，虚井是流量为-Q的注水井，利用叠加原理，对承压水井可得： 式中,（5-8）,（5-9）,当抽水时间t延长到一定程度，使 和 均小于0.01时，则 可利用Jacob近似公式，于是（5-9）式变为： 对于潜水，当降深不大时，忽略三维流的影响，类似地可得： 式中 ,（i=1，2）； 为给水度； ,导水系数；为平均厚度。当 时有： 式(5-10)和式(5-12)式都没有包含时间因素t，和稳定流公 式（5-1）式和(5-2)式完全相同，表示存在补给边界
7、时，抽水 一定时间以后降深能达到稳定。,（5-10）,（5-11）,（5-12）,(2)直线隔水边界附近的非稳定井流 该情况下虚井是抽水井, 对承压水井利用叠加原理得： 随着抽水时间的延长，u1和u2都变得小于0.01以后，(5-13)式变为: 对于潜水则有 由(5-14)式或(5-15)式可看出，随着t的增大，降深s也增大。因此，隔水边界附近的井流如果没有其他的补给源，不可能达到稳定。,（5-13）,（5-14）,（5-15）,(3) 根据非稳定流抽水试验资料求参数 求参数的方法，一般仍用直线图解法和配线法。应用配线法时，要根据抽水井和观测孔的位置制定特定的标准曲线。 下面举一个特定标准曲线
8、的例子，即当观测孔位于抽水井到边界的垂直线上。若抽水井至边界的距离为a，至观测孔的距离为r，则 (取负号表未观测孔位于抽水井和边界之间，取正号表示观测孔和边界分别位于抽水井两侧)，则： 故有： 这样，只要已知u1和r/a值，即可算出u2 。查井函数表4-1得W(u2) 值，因而可求得 W(u1) W(u2) 值。,（5-16）,如果引进二个新的井函数： 则计算隔水边界附近井流的(5-13)式变为： 计算补给边界附近井流的（5-9）式变为： 我们可以作 和 及 的关系曲线(图5-3)。 曲线位于Theis曲线的上部。 曲线位于Theis曲线的下部，曲线的右部出现水平段，表示抽水已达稳定状态。有了
9、标准曲线，即可应用配线法求参数。,（5-17）,（5-18）,必须注意，图5-3的标准曲线是特定的，当抽水井和观测孔的 连线不垂直于边界时不能应用。,图5-3 边界附近水井非稳定流抽水的标准曲线,不管观测孔的位置如何，只要抽水的时间足够长，都可用直线图解法求参数。 由上一章可知，当边界尚未发生影响时，其情况和无限含水层相同，有公式： 单对数纸上的s-t曲线为直线，斜率为 。而在隔水边界影响的情况下，由（5-14）式可知，s-t直线的斜率为 ,增加了一倍，单对数纸上的s-t曲线出现二个斜率相 差一倍的直线段。早期直线在横轴上的截距为t0，早期直线和 晚期直线交点的横坐标为ti图（5-4的曲线b）
10、。,如利用早期直线段求导水系数，则公式为： 如利用晚期直线段求导水系数，则有： 式中，i为直线段斜率。 求贮水系数利用下式： 在有补给边界影响的情况下，抽水一定时间以后达到稳定，在 单对数纸上出现水平线段。它和边界影响前的倾斜直线有个交 点，交点的横坐标也以ti表示，倾斜直线在横坐标上的截距为to （图5-4中的曲线a）。此时仍用（5-19）式和（5-21）式 计算参数。,（5-19）,（5-20）,（5-21）,图5-4 直线边界附近的s-lgt曲线,a-补给边界附近的曲线,b-隔水边界附近的曲线,思考题： 1.用镜像法求得的流网中，补给边界是流线还是等势线？隔水边界呢？ 2.设补给边界附近
11、有二口抽水井和一口注水井同时工作，试用镜像法映出它们的像，并写出相应的计算公式。,5.2 扇形含水层中的井流,两个会聚边界可组成扇形含水层。对扇形含水层使用镜像法时，除了要满足上面提到的一般规则以外，还要满足下列条件： (1)扇形含水层有两条边界，对于某一条边界而言，不仅映出井的像，而且也映出另一条边界的像。这样就要连续映像，直到虚井和虚边界布满整个平面为止。 (2)井必须是整数，所以在扇形含水层应用镜像法时，对其夹 角有一定的要求，即必须能被扇形的夹角q所整除。当含水层 中有一口实井时，平面上的总井数为： 虚井数为：,（5-22）,（5-23）,(3)实井和虚井在平面上位置的轨迹为一个圆，圆
12、心在扇形的 顶点，半径等于从水井至扇形顶点的距离。 根据J.G.Ferris等人的研究，对扇形含水层应用镜像法 时，其夹角和边界性质的组合还必须满足一定的条件。如两边 界都是补给边界或都是隔水边界时，角必须能整除180 如两边界一个是补给边界，一个是隔水边界，则 角必 须能整除90。如不满足这个条件，应用镜像法的结果将出现 矛盾。角为120时是一个特殊情况，只有当两条边界都是 隔水边界，而且抽水井位于角的平分线上时，才能应用镜像 法。 当然，自然界中的扇形含水层不可能正好具有上述夹角。 只要夹角相近，应用镜像法不至于引起很大的误差，可以用来 进行近似的计算。,下面列举几种常见的扇形含水层。 1
13、.象限含水层 (角为90) 象限含水层的几种情况如图5-12所示。下面分别讨论其稳定流和非稳定流计算。,图5-5象限含水层中的镜像法 (a)两条隔水边界的情况, (b)两条补给边界的情况，(c)一条补给边界一条隔水边界的情况 1一隔水边界, 2一补给边界，3一实抽水井, 4一虚抽水井，5一注水井,1).稳定流计算 当两边界都是隔水边界时,三口虚井都是抽水井图5-5(a)， 边界的影响相当于含水层中有四口井同时抽水。假设影响半径 R相当大，利用叠加原理，可得承压含水层中任一点的降深为: 式中， 分别为任意点至各井的距离。如果考虑抽水井的 降深，则有：,（5-24）,或,（5-25）,类似地，对于
14、潜水井有： 当两边界都是补给边界时图5-5（b），井2、3为注水井， 1、4为抽水井。根据叠加原理有： 同理，对于潜水井有：,（5-26）,（5-27）,（5-28）,当一个边界为补给边界，另一个边界为隔水边界时，井1、3为抽水井，井2、4为注水井图5-5（c）。大家可自行推导有关公式。 2).非稳定流计算 先考虑二条隔水边界的情况，对于承压含水层中任一点有 式中， （i=1，2，3，4）； 为关于的Theis井函数（表4-1）。 当时间t足够长，使i 0.01时，可利用Jacob 近似公式得：,（5-29）,在单对数纸上，s-lgt直线的斜率为： 表明在象限含水层的情况下，在抽水时间足够长，
15、两隔水边界 充分影响以后，单对数纸上s-lgt直线的斜率为无限含水层的4倍。 二边都是补给边界或一边为补给边界，一边为隔水边界时，处理类似，请读者自行推导(作业)。 2.其他角度的扇形含水层 下面仅以夹角为60。的扇形含水层为例，加以说明,当抽水 井位于分角线上时，虚、实井的分布如图5-6所示。,（5-30）,图5-6夹角60的扇形含水层中的镜像法 (a)两条隔水边界的情况, (b)两条补给边界的情况， 1实抽水井；2虚抽水井；3虚注水井,1). 稳定流计算 当两边界都是补给边界时，应有3口抽水井、3口注水井图5-6（b）。对于承压含水层中任一点有： 对抽水井有： 对于潜水井有：,（5-31）
16、,（5-32）,（5-33）,2).非稳定流计算 当两边界都是补给边界时，有： 当抽水相当长时间以后，代入Jacob近似公式得： 就是（5-34）式。表明该情况下抽水已经达到稳定。推论到一般情况，当存在补给边界时，在抽水相当长时间以后是能够达到稳定的。,（5-34）,思考题: 1.扇形含水层的夹角为60，一边为隔水边界，另一边为补给边界时，能否用镜像法?试画图说明。 2.扇形含水层的夹角为120，抽水井不位于分角线上，为什么无论何种边界，都不能应用镜像法?,5.3 条形含水层中的井流,两条平行的边界中间的含水层为条形含水层，应用镜像法时，因为同时要映出另一边界的像，如此重复，一共要映射无穷多次。这样，条形含水层中的一口井就变成了无限含水层中的一个无穷井排(图5-7)。,图5-7 条形含水层的镜像法 1-隔水边界；2补给边界；3实抽水
