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1、1【走向高考】 （2013 春季发行）高三数学第一轮总复习 11-4 数学归纳法配套训练（含解析）新人教 B 版基础巩固强化1.用数学归纳法证明 1 1)时，第一步应验证不等式()12 13 12n 1A1 1， n 取的第一个数为 2，左端分母最大的项为 ，故选122 1 13B.2某个命题与自然数 n 有关，若 n k(kN *)时命题成立，则可推得当 n k1 时该命题也成立，现已知 n5 时，该命题不成立，那么可以推得()A n6 时该命题不成立 B n6 时该命题成立C n4 时该命题不成立 D n4 时该命题成立答案C解析“若 n k(kN *)时命题成立，则当 n k1 时，该命
2、题也成立” ，故若n4 时命题成立，则 n5 时命题也应成立，现已知 n5 时，命题不成立，故 n4 时，命题也不成立点评可用逆否法判断3(2012深圳市明德外语实验学校测试)用数学归纳法证明：122 2 n22 21 2 ，第二步证明由“ k 到 k1”时，左边应加()n 2n2 13A k2 B( k1) 2C k2( k1) 2 k2 D( k1) 2 k2答案D解析当 n k 时，左边1 22 2 k22 21 2，当 n k1 时，左边1 22 2 k2( k1) 2 k22 21 2，选 D.4已知 Sk (k1,2,3，)，则 Sk1 等于()1k 1 1k 2 1k 3 12k
3、A Sk B Sk 12 k 1 12k 2 1k 1C Sk D Sk 12k 1 12k 2 12k 1 12k 22答案C解析 Sk1 1 k 1 1 1 k 1 2 12 k 1 1k 2 1k 3 Sk .12k 2 1k 1 1k 2 12k 12k 1 12k 2 1k 1 12k 1 12k 25数列 an中，已知 a11，当 n2 时， an an1 2 n1，依次计算 a2、 a3、 a4后，猜想 an的表达式是()A an3 n2 B an n2C an3 n1 D an4 n3答案B解析 a11， a24， a39， a416，猜想 an n2.6已知 f(n) ，则(
4、)1n 1n 1 1n 2 1n2A f(n)中共有 n 项 B f(n)中共有 n1 项C f(n)中共有 n2 n 项 D f(n)中共有 n2 n1 项答案D解析 f(n)的分母从 n 开始取自然数到 n2止，共有 n2( n1) n2 n1 项7如果不等式 2nn21 对于 n n0的正整数 n 都成立，则 n0的最小值为_答案5解析当 n1 时，22 不成立，当 n2 时，45 不成立当 n3 时，810 不成立当 n4 时，1617 不成立当 n5 时，3226 成立当 n6 时，6437 成立，由此猜测 n0应取 5.8用数学归纳法证明：( n1)( n2)( n n) (nN
5、*)的第二步n 3n 12中，当 n k1 时等式左边与 n k 时等式左边的差等于_答案3 k2解析( k1)1( k1)2( k1)( k1)( k1)( k2)( k k)( k1) k( k1)( k1)( k1)3 k2.9(2012长春模拟)如图，第 n 个图形是由正 n2 边形“扩展”而来的(n1,2,3，)，则第 n2( n3， nN *)个图形共有_个顶点3答案 n(n1)解析当 n1 时，顶点共有 3412(个)，当 n2 时，顶点共有 4520(个)，当 n3 时，顶点共有 5630(个)，当 n4 时，顶点共有 6742(个)，故第 n2 图形共有顶点( n22)( n
6、23) n(n1)个10已知函数 f(x) x3 x，数列 an满足条件： a11， an1 f ( an1)试比较13 与 1 的大小，并说明理由11 a1 11 a2 11 a3 11 an解析 f ( x) x21， an1 f ( an1)， an1 ( an1) 21.函数 g(x)( x1) 21 x22 x 在区间1，)上单调递增，于是由 a11，及a2( a11) 21 得， a22 21，进而得 a3( a21) 212 412 31，由此猜想： an2 n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当 n1 时， a12 111，结论成立；假设当 n k(k1 且 kN *)时结论成
7、立，即 ak2 k1，则当 n k1 时，由 g(x)( x1) 21 在区间1，)上单调递增知， ak1 ( ak1) 212 2k12 k1 1，即 n k1 时，结论也成立由、知，对任意 nN *，都有 an2 n1.即 1 an2 n. .11 an 12n 1( )n0， an1 0， an a 0，01.1ak 1 1ak 11 ak令 k1,2,3， n1 得： 1， 1， 1，1a2 1a1 1a3 1a2 1an 1an 1 n1 n， an .1an1a1 1n5设数列 an的前 n 项和为 Sn，对一切 nN *，点 都在函数 f(x) x 的图(n，Snn) an2x象
8、上(1)求 a1、 a2、 a3的值，猜想 an的表达式，并用数学归纳法证明；(2)将数列 an依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为( a1)，( a2， a3)，( a4， a5， a6)，(a7， a8， a9， a10)；( a11)，( a12， a13)，( a14， a15， a16)，( a17， a18， a19， a20)；( a21)，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 bn，求b5 b100的值分析(1)将点 代入函数 f(x) x 中，通过整理得到 Sn与 an的关系，则(n，Snn) an2xa1， a2， a3可求；(
9、2)通过观察发现 b100是第 25 组中第 4 个括号内各数之和，各组第 4 个括号中各数之和构成首项为 68、公差为 80 的等差数列，利用等差数列求和公式可求 b100.解析(1)点 在函数 f(x) x 的图象上，(n，Snn) an2x n ， Sn n2 an.Snn an2n 12令 n1 得， a11 a1， a12；12令 n2 得， a1 a24 a2， a24；12令 n3 得， a1 a2 a39 a3， a36.12由此猜想： an2 n.用数学归纳法证明如下：10当 n1 时，由上面的求解知，猜想成立假设 n k(k1)时猜想成立，即 ak2 k 成立，则当 n k
10、1 时，注意到 Sn n2 an(nN *)，12故 Sk1 ( k1) 2 ak1 ， Sk k2 ak.12 12两式相减得， ak1 2 k1 ak1 ak，所以 ak1 4 k2 ak.12 12由归纳假设得， ak2 k，故 ak1 4 k2 ak4 k22 k2( k1)这说明 n k1 时，猜想也成立由知，对一切 nN *， an2 n 成立(2)因为 an2 n(nN *)，所以数列 an依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；
11、(42)，.每一次循环记为一组由于每一个循环含有 4 个括号，故 b100是第 25 组中第 4 个括号内各数之和由分组规律知，各组第 4 个括号中所有第 1 个数组成的数列是等差数列，且公差为 20.同理，由各组第 4 个括号中所有第 2 个数、所有第 3 个数、所有第 4 个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为 20.故各组第 4 个括号中各数之和构成等差数列，且公差为 80.注意到第一组中第 4 个括号内各数之和是 68，所以 b1006824801988，又 b522，所以 b5 b1002010.点评由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法证明的关键是根据已知条件和假设寻找 ak与 ak1 或 Sk与 Sk1 间的关系，使命题得证
