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1、2008年第4期 中学数学教学 9数学史选讲中“千古谜题的教学尝试浙江省湖州市第二中学 俞 昕 (邮编：313000)高中数学选修系列三数学史选讲是高中课程改革后推出的一个崭新的内容，它通过生动、丰富的事例，使学生了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神新的教学内容需要新的教法，需要我们教师进行大胆的尝试与探索，下面笔者就其中“千古谜题”一讲就自己对教材内容的理解做一些全新的教学尝试与探究，希望与大家分享、探讨教材分析本讲内容主要以“伽罗瓦的群论
2、”为主线，由古及今谈及三次、四次、高次方程的可解性问题，伽罗瓦群论的诞生，古希腊三大几何问题的解决我们可以用承前启后的眼光来看待本讲内容，数学家们对高次方程可解性的探索开辟了一门新的学科群论，而群论的产生正是为解决三大几何问题提供了一个强有力的工具教学目标知识与技能1了解三次、四次方程求根公式的发展历史2了解拉格朗日、阿贝尔为解决高次方程的可解性问题所做出的努力与贡献，以及他们的探对自己的观察判断进行反思”因为情感是一种心理活动体验，在目标的陈述上一般都比较笼统，不像前述两个目标那样具体，此时行为动词切忌大而不当，空而不确，形同虚设如“树立辩证唯物主义世界观”、“弘扬爱国主义思想”等，教学目标
3、“高大全”，使得一堂数学课所承载的目标不堪重负总之，目标中行为动词的丰富与改变，非常明求过程中遇到的主要困难3通过学习传奇数学家伽罗瓦创立群论的艰难历程，感受数学家的智慧与数学内在的魅力4了解古希腊三大几何问题的基本内容，以及历代数学家们为解决三大几何问题而付出的巨大努力过程与方法1尝试通过查阅课外资料了解三次方程的求根公式，解决一些简单的三次方程2初步了解群的抽象定义，能判断一些特殊的数学结构是否是群3探索并了解解决三大几何问题与高次方程公式可解性之间的联系情感态度与价值观通过本讲内容的学习，使学生充分的感受到数学问题是怎样产生的，又是怎样历尽千辛万苦才得到最终的解决，以及它的解决过程留给后
4、人的启示同时要引导学生用联系、发展的眼光来学习本讲内容，从中学会发现数学中的连贯性和统一性，不论是代数还是几何，看似独立，但它们之间却有着千丝万缕的联系，追溯它们的本质是相通的，而正是这种相通性不断的使数学散发出迷人的魅力，吸引着无数数学家们为之耗尽毕生的精力，不懈的追求与奋斗显的体现出课程理念的更新，在教学中，我们应该适应教改形势，更新观念，合理准确地使用教学目标中的行为动词，并将它落实到课堂教学中参考文献1 教育部普通高中数学课程标准(实验)北京：人民教育出版社，2003(收稿日期：20080528)lO 中学数学教学 2008年第4期教学尝试与探索(1)山穷水复疑无路群论产生的前奏二次方
5、程、三次方程、四次方程的公式求解问题经历了数学家们700多年的艰苦努力最终得到了圆满的解决二次方程的求根学生在初中里已经学过，因此，笔者觉得在此也可以适当的结合历史复习有关二次方程的问题在介绍历史上关于三次方程求解问题时，笔者觉得可以根据学生的已有认知结构、认知能力向学生讲授隐含于简单三次方程求解过程中的一些数学思想方法 一比如可以提出这样的问题：请你将三次方程z3+凹2+bxf中的z用y一等替换，然后思考方程会发生怎样的变化?学生通过计算会发现利用换元的思想可以将形如z3+眦2+如一c的三次方程标准形式化为形如一4-pxq(P、q为正数)的特殊形式而当时的数学家们正是先突破三次方程X3+舡=
6、q(户、q为正数) (1)的求解过程令z=沥一拓，则一：m一3m号矗+3m。行号一nm一咒一3(蒯)寺z (2)由(1)(2)得771一行一3(mn)寺z一一舡+q，7n一咒=口，3(蒯)=P，即枷=而pJrm一，l 2 q于是我们可以解方程组p3，解得 【榭2万m一譬+务+号，n=譬+芝27一号于是z一冻一蒋一、l去+芝27牟里2一|牟芝一生4。27 2以方程z3+6x一20为例，让学生尝试用上面的方法得到方程的解是何+10一Z万面瓦同时对于方程z3=px 4-q(P、q为正数)，通过令z一流4-拓，同样可以得到解是丢q+q2一荔+丢q-矿一万p3设计意图：让学生在学习数学历史的同时重复当时
7、数学家的一些思索历程，使得学生在思索的过程中感受到这样的体验：一个看似简单的问题，它的探索过程却充满了艰辛，但过程又是充满了奇趣，正是数学自身散发的独特魅力吸引着一代又一代的数学家们为之倾倒(2)柳暗花明又一村高次方程可解性孕育了伽罗瓦群介绍数学家阿贝尔的坎坷一生，他最终证明了一般的五次或五次以上的方程不能公式求解，并发现一些能用公式求解的特殊方程阿贝尔方程而法国传奇数学家伽罗瓦提出的群论彻底解决了代数方程可解性的问题，五次或五次以上的方程可解性的判别准则终于宣告彻底解决在以上内容的介绍过程中最主要的是“群”的概念的提出，因此笔者觉得有必要让学生初步了解“群”的概念试图让学生理解“群”是一种数
8、学结构，在集合内元素之间定义的一种二元运算，它满足封闭性、结合性、存在单位元、存在逆元“群”的定义比较抽象，在高中阶段类似的抽象定义有诸如“函数”、“映射”等，让学生在理解的基础上掌握形式化抽象的数学概念还是必要的，毕竟数学是一门讲究形式严谨的学科，但又不可否认的是，我们的教学一定要建立在形式化与非形式化有机结合的基础之上所以我们要给学生充分举例，让学生通过具体的实例来感觉“群”的特征比如可以让学生进行下列的思考判断下列数学结构是否是群：(1)整数集关于数的加法；(2)有理数集关于数的加法；(3)实数集关于数的加法；(4)复数集关于数的加法；(5)整数集关于数的乘法；(6)非零有理数集关于数的
9、乘法；(7)非零实数集关于数的乘法；(8)非零复数集关于数的乘法；(9)在R中规定代数运算“*”：口*b=口4-b4-ab，口、bR；(10)在R一一1)中规定代数运算“*”n*b=口+b+ab，口、bR以上都是学生熟悉的代数运算，通过这样的途径，学生就能直观的感受“群”这个在数学王国中起着举足轻重作用的概念究竟是一个具有怎样特点的数学结构当然还需要向学生指明的2008年第4期 中学数学教学 11是，集合里的元素不一定是数字，定义的运算也未必是加减乘除 、设计意图：本讲内容的中心就是伽罗瓦群，它既解决了高次方程问题，又解决了三大几何问题，它的重要性是可想而知了，所以笔者觉得学生在学习了本讲内容
10、后应该对“群”的知识有一个初步的了解，这不仅是学生本身认知的需要，而且对于将来进一步学习数学也是必要的(3)它山之石可以攻玉三大几何问题的解决三大几何问题的解决是一个很好的数学题材，它充分的展示出数学内部几何与代数之间的连贯性与统一性，几何与代数本为一体伽罗瓦的理论不仅完全解答了哪些方程可以用代数运算求解，而且给出了一个一般的判别法来判定几何图形是否可以用直尺和圆规来作图我们应该充分利用很好的数学题材为学生创设数学探究与展开数学联想的空间在讲解“化圆为方”问题时，我们知道在历史上曾经有很多人声称自己解决了“化圆为方”问题，但很多解答都没有严格遵守尺规作图的限制至于不限于尺规作图，那问题就容易多
11、了，让学生思考如果不限于尺规作图，你能“化圆为方”吗?充分激发起学生的学习兴奋点与积极性教师可以在学生思考讨论的基础上介绍天才大师达芬奇曾提出的一个方法：取一圆柱，使底和已知圆相同，高为半径的一半，将这圆柱在平面上滚动一周，产生一个矩形，其面积为2ur百r=7【r2，正好是圆的厶面积，再将矩形等积的化为正方形，问题就解决了虽然此解答和原问题差异太大，但其中却巧妙的渗透了“空间问题平面化”的数学思想在讲解“倍立方”问题时可以向学生讲明几何问题转化为代数问题的途径：“倍立方”问题可化为一个代数方程求解问题设已知立方体的边长为1，所求的倍立方体边长为z，于是应有z320，只要证明这个z不能由尺规作出
12、就可以了可以用反证法，假设z是可作图量，由群论知识可知，z将属于由有理数域出发的有限个扩域中的一个(具体证明略)“三等分角”更是与高中数学知识有内在联系比如这样一道三角求值问题：已知cos20。=优，求五禹护一赤的值此题学生可以使用不同途径解得两个形式上看起来完全不同的答案：，一32m和三兰竺(解答过程略)我们可以 1一所让学生仔细思考一32m和-18m_丁+4是否一致，其 1一n实一32m一-18m了-t-4是一个恒等式，即方程8m3 1一m一6m一1=0，由三倍角公式可知，m=cos20。是这个方程的一个根历史上为了举反例说明一般的用尺规作图不可能三等分任意角，取口一60。来讨论，这时co
13、sO=，但一般的有cos84cos3詈厶 。一3cos要，记COS导=cos20。为z，则只须求解方o o程一4x33x，即8x36x一1=0这样三等厶分任意角问题就转化为这个方程的根是否为可作图量的问题，根据群论的知识，如能证明此方程没有有理根，那么三等分60。就是不可能的(证明略)设计意图：这样的教学使得我们的数学课堂不仅仅被束缚在课本现有的知识上，而是挖掘课本内容，使学生的数学知识、数学能力、数学潜力得到最大程度的提升与释放，让学生切身体会到这些曾经困扰数学家们多时的数学名题其实也并不是遥不可及，高高在上，只要我们善于发现，善于思考，将会距离真理越来越近这也是人类靠自己的智慧认识自然、征服自然的规律本讲内容的中心“群论”涉及的是高等数学的内容，但既然教材将它作为数学史的教学题材向学生进行介绍，笔者觉得教师应该把握好这样的机遇，不能只将课本上的文字内容照本宣读，而是应该根据学生的认知特点，将中学数学与高等数学进行融合，使学生消除“望”高等数学就“生畏”的心态，同时在让学生学习这些数学历史故事的同时也增长些数学知识、数学思想方法、数学能力，达到一举数得的效果(收稿日期：20080426)
