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1、1课后作业(二十七)平面向量的数量积一、选择题1已知平面上三点 A、B、C 满足| |3，| |4，| |5，则 AB BC CA AB BC BC CA 的值等于()CA AB A25 B24 C25 D242(2013广州模拟)若向量 a, b， c满足 a b且 a c，则 c(a2 b)()A4 B3 C2 D03(2012重庆高考)设 xR，向量 a(x，1)， b(1，2)，且 a b，则|a b|()A. B. C2 D105 10 54已知三个向量 a、 b、 c两两所夹的角都为 120，且| a|1，| b|2，| c|3，则向量 a b与向量 c的夹角 的值为()A30 B
2、60 C120 D1505(2013广州综合测试)已知两个非零向量 a与 b，定义| ab| a|b|sin ，其中 为 a与 b的夹角若 a(3，4)， b(0，2)，则| ab|的值为()A8 B6 C6 D8二、填空题6(2012湖北高考)已知向量 a(1，0)， b(1，1)，则(1)与 2a b同向的单位向量的坐标表示为_；(2)向量 b3 a与向量 a夹角的余弦值为_7已知| a|1，| b|2， a与 b的夹角为 60，则 a b在 a方向上的投影为_8(2013湛江模拟)设 i、 j是平面直角坐标系(坐标原点为 O)内分别与 x轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且 2 i j
3、， 4 i3 j，则OAB 的面积等于_OA OB 三、解答题9已知 a(1，2)， b(1，1)，且 a与 a b的夹角为锐角，求实数 的取值范围10在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t满足( t ) 0，求 t的值AB OC OC 11(2013揭阳模拟)已知点 A(1，0)，B(0，1)，C(2sin ，cos )(1)若| | |，求 的值；AC BC sin 2cos sin cos (2)若( 2 ) 1，其中 O为坐标原点，求 sin cos 的值OA OB O
4、C 2解析及答案一、选择题1【解析】| |2| |2| |2，AB BC CA ，即 0，AB BC AB BC ( )AB BC BC CA CA AB CA BC AB 225.CA AC CA 【答案】C2【解析】 a c， ac0，又 a b，则设 b a， c(a2 b)(12) ca0.【答案】D3【解析】 a b， ab0，x2， a(2，1)， a25， b25，|a b| .（ a b） 2 a2 2ab b2 5 5 10【答案】B4【解析】( a b)c ac bc13cos 12023cos 120 ，92|a b| （ a b） 2 a2 2ab b2 ，12 212
5、cos 120 22 3cos ，（ a b） c|a b|c| 9233 320180，150.【答案】D5【解析】因为 a(3，4)， b(0，2)，所以 cos ，且ab|a|b| 852 450，则 sin ，故| ab| a|b|sin 52 6.35 35【答案】C二、填空题6【解析】(1)2 a b(3，1)，3|2 a b| .32 12 10与 2a b同向的单位向量 ( ， )2a b|2a b| 31010 1010(2) b3 a(2，1)，| b3 a| ，| a|1，5(b3 a)a(2，1)(1，0)2，cos b3 a， a .（ b 3a） a|b 3a|a|
6、 25 255【答案】(1)( ， )(2)31010 1010 2557 【解析】( a b)a a2 ab112cos 602，则 a b在 a方向上的投影为 2.（ a b） a|a|【答案】28 【解析】由题意知 (2，1)， (4，3)，OA OB 则| | ，| |5，OA 5 OB 24135，OA OB cosAOB ，OA OB |OA |OB | 555 55sinAOB ，255S OAB | | |sinAOB12OA OB 5 5.12 5 255【答案】5三、解答题9 【解】 a与 a b均为非零向量，且夹角为锐角， a(a b)0，即(1，2)(1，2)0，(1)
7、2(2)0， ，53当 a与 a b共线时，存在实数 m，使 a bm a，即(1，2)m(1，2)， 0，1 m，2 2m， )即当 0 时， a与 a b共线综上可知， 且 0.5310【解】(1)由题设知 (3，5)， (1，1)，则AB AC 4 (2，6)， (4，4)AB AC AB AC 所以| |2 ，| |4 .AB AC 10 AB AC 2故所求的两条对角线长分别为 4 ，2 .2 10(2)由题设知 (2，1)， t (32t，5t)OC AB OC 由( t ) 0，AB OC OC 得(32t，5t)(2，1)0，从而 5t11，所以 t .11511【解】A(1，0)，B(0，1)，C(2sin ，cos )， (2sin 1，cos )， (2sin ，cos 1)AC BC (1)| | |，AC BC ，（ 2sin 1） 2 cos2 （ 2sin ） 2 （ cos 1） 2化简得 2sin cos ，所以 tan ，12 5.sin 2cos sin cos tan 2tan 112 212 1(2) (1，0)， (0，1)， (2sin ，cos )，OA OB OC 2 (1，2)，OA OB ( 2 ) 1，OA OB OC 2sin 2cos 1.(sin cos ) 2 ，14sin cos .38
