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1、Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5 1 导导数数与与函函数数核核心心考考点点 目目录录 题型一切线型 11 . 求求在在某某处处的的切切线线方方程程 22 . 求求过过某某点点的的切切线线方方程程 33 . 已已知知切切线线方方程程求求参参数数 题型二单调型 11 . 主主导导函函数数需需“二二次次求求导导”型型 22 . 主主导导函函数数为为“一一次次函函数数”型型 33 . 主主导导函函数数为为“二二次次函函数数”型型 44 . 已已知知函函数数单单调调性性，求求参参数数范范围围 题型三极值最值型 11 . 求求函函数数的的极极值值 22 . 求求函函数数的的最最值值 33 . 已已
2、知知极极值值求求参参数数 44 . 已已知知最最值值求求参参数数 题型四零点型 11 . 零零点点( 交交点点，根根) 的的个个数数问问题题 22 . 零零点点存存在在性性定定理理的的应应用用 33 . 极极值值点点偏偏移移问问题题 题型五恒成立与存在性问题 11 . 单单变变量量型型恒恒成成立立问问题题 22 . 单单变变量量型型存存在在性性问问题题 33 . 双双变变量量型型的的恒恒成成立立与与存存在在性性问问题题 44 . 等等式式型型恒恒成成立立与与存存在在性性问问题题 题型六与不等式有关的证明问题 11 . 单单变变量量型型不不等等式式证证明明 22 . 含含有有 ee xx与 与
3、ll nn xx 的的不不等等式式证证明明技技巧巧 33 . 多多元元函函数数不不等等式式的的证证明明 44 . 数数列列型型不不等等式式证证明明的的构构造造方方法法 Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5 2 题型一切线型 11 . 求求在在某某处处的的切切线线方方程程 例例 11 . 【 22 00 11 55重重庆庆理理 22 00 】 求求函函数数ff(xx) 3 3xx ee xx在 在点点( 11 ，ff( 11 ) ) 处处的的切切线线方方程程. 解： 由f(x) 3 x e x， 得 f(x) 6 x3x e x ， 切点为( 1 ， 3 e )， 斜率为f( 1 ) 3 e
4、 由f( 1 ) 3 e ， 得切点坐标为( 1 ， 3 e ) ， 由f( 1 ) 3 e ， 得切线斜率为3 e ； 切线方程为y3 e 3 e (x1 ) ， 即 3xe y0 . 例例 22 . 求求ff(xx) ee xx ( 11 xx 22 ) 在在点点( 11 ，ff( 11 ) ) 处处的的切切线线方方程程. 解： 由f(x) e x ( 1 x 2 ) ， 得f(x) e x ( 1 x 1 x 2 ) 由f( 1 ) 3e， 得切点坐标为( 1 ,3e) ， 由f( 1 ) 2e， 得切线斜率为 2e； 切线方程为y3e2e(x1 ) ， 即 2e xye0 . 例例 3
5、3 . 求求ff(xx) ll nn 11 xx 11 xx 在在点点( 00 ，ff( 00 ) ) 处处的的切切线线方方程程. 解： 由f(x) l n 1 x 1 x l n( 1 x) l n( 1 x) ， 得f(x) 1 1 x 1 1 x 由f( 0 ) 0 ， 得切点坐标为( 0 ， 0 ) ， 由f( 0 ) 2 ， 得切线斜率为2 ； 切线方程为y2x， 即 2xy0 . 例例 44 . 【 22 00 11 55全全国国新新课课标标理理 22 00 】 在在直直角角坐坐标标系系xx oo yy中中， 曲曲线线CC：yy= xx 44 与与 直线l：y=k xa(a0 )
6、交于M，N两点， 当k0时， 分别求C在点M与N处的 切线方程. 解： 由题意得：a= x 4 ， 则x 2a， 即M( 2a，a) ，N( 2a，a) ， 由f(x) x 4 ， 得f(x) x 2 ， 当切点为M( 2a，a) 时， 切线斜率为f( 2a) a， 此时切线方程为：a xya0 ； 当切点为N( 2a，a) 时， 切线斜率为f( 2a) a， 此时切线方程为：a xya0 ； 解解题题模模板板一一求求在在某某处处的的切切线线方方程程 Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5 3 写写出出ff(xx) ； 求求出出ff(xx) ； 写写出出切切点点(xx00，ff(xx00)
7、) ； 切切线线斜斜率率kkff(xx00) ； 切切线线方方程程为为yyff(xx00) ff(xx00) (xxxx00) . 22 . 求求过过某某点点的的切切线线方方程程 S t e p1 设切点为(x0，f(x0) ) ， 则切线斜率f(x0) ， 切线方程为： yf(x0) f(x0) (xx0) S t e p2 因为切线过点(a，b) ， 所以bf(x0) f(x0) (ax0) ， 解得x0 x1或x0 x2 S t e p2 当x0 x1时， 切线方程为yf(x1) f(x0) (xx1) 当x0 x2时， 切线方程为yf(x2) f(x0) (xx2) 例例 11 . 求
8、求ff(xx) 1 1 33 xx 33 4 4 33 过过点点PP( 22 ， 44 ) 的的切切线线方方程程. 解： 设切点为(x0， 1 3 x0 3 4 3 ) ， 则切线斜率f(x0) x0 ， 所以切线方程为：y1 3 x0 3 4 3 x0 (xx0) ， 由切线经过点P( 2 ， 4 ) ， 可得 4 1 3 x0 3 4 3 x0 ( 2 x0) ， 整理得：x0 3 3x0 4 0 ， 解得x01或x02 当x01时， 切线方程为：xy2 0 ； 当x02时， 切线方程为： 4xy4 0 . 例例 22 . 求求ff(xx) xx 33 44xx 55xx44过过点点 (
9、22 ， 22 ) 的的切切线线方方程程. 解： 设切点为(x0，x0 3 4x0 5x04 ) ， 则切线斜率f(x0) 3x0 8x05 ， 所以切线方程为：y(x0 3 4x0 5x04 ) ( 3x0 8x05 ) (xx0) ， 由切线经过点P( 2 ， 4 ) ， 可得 4 (x0 3 4x0 5x04 ) ( 3x0 8x05 ) ( 2 x0) ， 解得x01或x02 当x01时， 切线方程为： 2xy2 0 ； 当x02时， 切线方程为：xy4 0 . 例例 33 . 过过AA( 11 ，mm) (mm 22 ) 可可作作ff(xx) xx 33 33xx的的三三条条切切线线
10、， 求求mm的的取取值值范范围围. 解： 设切点为(x0，x0 3 3x0) ， 则切线斜率f(x0) 3x0 3 ， 切线方程为 y(x0 3 3x0) ( 3x0 3 ) (xx0) 切线经过点P( 1 ,m) ， m(x0 3 4x0 5x04 ) ( 3x0 8x05 ) ( 1 x0) ， O OO P P P 点 P不在曲线上 不是切点 点 P在曲线上 不确定是切点 点 P在曲线上 切点 Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5 4 即： 2x0 3 3x0 3 m0 ， 即m2x0 3 3x0 3 过点A( 1 ，m) (m 2 ) 可作f(x) x 3 3x的三条切线， 方程m
11、2x0 3 3x0 3 ， 有三个不同的实数根. 曲线H(x0) 2x0 3 3x0 3与直线y=m有三个不同交点， H(x0) 6x0 6x06x0(x01 ) 令H(x0) 0 ， 则 0 x01 ； 令H(x0) 0 ， 则x00或x01 H(x0) 在( ， 0 ) 递减， 在( 0 ,1 ) 递增， 在( 1 ， ) 递减， H(x0) 的极小值H( 0 ) 3 ，H(x0) 的极大值H( 1 ) 2 ， 由题意得3 x2 . 例例 44 . 由由点点( ee，ee22 ) 可可向向曲曲线线ff(xx) ll nn xxxx11作作几几条条切切线线， 并并说说明明理理由由. 解解：
12、设切点为(x0，l n x0 x01 ) ， 则切线斜率f(x0) 1 x0 1 ， 切线方程为 y(l n x0 x01 ) ( 1 x0 1 ) (xx0) ， 切线经过点( e，e2 ) ， e2 (l n x0 x01 ) ( 1 x0 1 ) ( ex0) ， 即l n x0e x0 y=l n x与y= e x 只有一个交点 方程l n x0e x0 有唯一的实数根 由点( e，e2 ) 可向曲线f(x) l n xx1作一条切线. 解解题题模模板板二二求求过过某某点点的的切切线线方方程程 设设切切点点为为(xx00，ff(xx00) ) ， 则则切切线线斜斜率率ff(xx00)
13、， 切切线线方方程程为为： yyff(xx00) ff(xx00) (xxxx00) 因因为为切切线线过过点点(aa，bb) ， 所所以以bbff(xx00) ff(xx00) (aaxx00) ， 解解得得xx00 xx11或或xx00 xx22 当当xx00 xx11时时， 切切线线方方程程为为yyff(xx11) ff(xx00) (xxxx11) 当当xx00 xx22时时， 切切线线方方程程为为yyff(xx22) ff(xx00) (xxxx22) 33 . 已已知知切切线线方方程程求求参参数数 解解题题模模板板三三已已知知切切线线方方程程求求参参数数 已已知知直直线线AA xxB
14、B yyCC00与与曲曲线线yy=ff(xx) 相相切切 设设切切点点横横坐坐标标为为xx00， 则则 切切点点纵纵坐坐标标切切点点纵纵坐坐标标 切切线线斜斜率率切切线线斜斜率率 即即 ff(xx00) A A xx00CC BB ff(xx00) A A BB Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5 5 解解方方程程组组得得xx00及及参参数数的的值值. 例例 11 . 函函数数ff(xx) a a ll nn xx xx11 b b xx 在在( 11 ，ff( 11 ) ) 处处的的切切线线方方程程为为xx22yy33 00 ， 求求aa，bb的的值值. 解： f(x) a l n x
15、 x1 b x ， f(x) a(x1 ) x a l n x (x1 ) b x 由题意知： f( 1 ) 1 f( 1 ) 1 2 ， 即 b1 a 2 b1 2 ab1 例例 22 .ff(xx) aa ee xx ll nn xxb b ee xx11 xx 在在( 11 ，ff( 11 ) ) 处处的的切切线线方方程程为为yyee(xx11 ) 22 ， 求求aa，bb的的 值值. 解： f(x) a e x l n xb e x1 x ， f(x) a e x ( 1 x l n x) b e x1 ( 1 x 1 x ) 由题意知： f( 1 ) 2 f( 1 ) e ， 即 b2 a ee a1 ，b2 例例 33 . 若若直直线线yykk xxbb是是yy=ll nn xx22的的切切线线， 也也是是yy=ll nn(xx11 ) 的的切切线线， 求求bb. 解： 设yk xb与y=l n x2相切的切点横坐标为x1，yk xb与y=l n(x1 ) 相 切的切点横坐标为x2， l n x12 k x1b 1 x1 k l n(x21 ) k x2b 1 x21 k ， 由得：x1x21 ， 由得：l n x1l n(x21 ) 2 k(x1x2) ， 将上式代入得：k2 x11 2 ， 代入得： l n
