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1、- 1 -、 . 我 们 打 败 了 敌 人 。 我 们 把 敌 人 打 败 了 。第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A（初一组）（时间: 2010 年 4 月 10 日 10:0011:30）一、填空题 (每题 10 分, 共 80 分) 1.互不相等的有理数 a, b, c 在数轴上的对应点分别为 A, B, C. 如果,| cbab那么在点 A, B, C 中, 居中的是点 .2.右图所示的立体图形由 9 个棱长为 1 的正方体木块搭成, 这个立体图形的表面积为 .3.汽车 A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车 B、C 从乙站出发与 A 相向而行开往甲站, 途中 A 与 B 相遇后
2、 15 分钟再与 C 相遇. 已知 A、B、C 的速度分别是每小时 90km, 80km, 70km, 那么甲乙两站的路程是 km.4.把自然数 分组, 要求每组内任意 3 个数的最大公约数为 1, 则至少需要分201成组.5.已知正 n 边形的内角度数的两倍为整数, 那么这样的正整数 n 有 个.6.已知 , 则 的值等于 .32572acbacb6527.六人参加乒乓球比赛, 每两人赛一场, 分胜负, 无平局. 最终他们胜的场数分别是 a, b, b, c, d, d, 且 , 那么 a 等于 .dcba8.某中学新建游泳池开启使用, 先用一天时间匀速将空游泳池注满, 经两天的处理后同速将
3、水放光; 然后开始同速注水, 注满一半时, 将注水速度加倍直到注满. 请在下图中用图表示游泳池中水量随时间的变化关系.二、解答下列各题 (每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程)9.能否找到 7 个整数, 使得这 7 个整数沿圆周排成一圈后 , 任 3 个相邻数的和都等 29 ? 如果能, 请举一例. 如果不能, 请简述理由.10.已知 k 是满足 的整数, 并且使二元一次方程组20119kkyx547有整数解. 问: 这样的整数 k 有多少个?总 分- 2 -11.所有以质数 p 为分母的最简真分数的和记为 m, 所有以质数 q 为分母的最简真分数的和记为 n. 若 , 求 的可
4、能值.48mn12.解方程,80x其中 x 表示不大于 x 的最大整数.三、解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程)13.右图中, ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB的面积之和等于六边形 ABCDEF 的面积. 又图中的 6 个阴影三角形面积之和等于六边形 ABCDEF 的面积的 . 求六边形31的面积与六边形 ABCDEF 的面积之比.11FEDCBA14.一个单项式加上多项式 后等于一个整式的平方, 试求所有52)1(9x这样的单项式.装订线1第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A 参考答案（初一组）一、填空 (每题 10 分, 共 80 分
5、)题号 1 2 3 4 5 6 7答案 A 32 680 503 28 1258. 解答. 二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程)9. 答案: 不能.解答. 假设存在 7 个整数 排成一圈后, 满足任 3 个相邻数的和都等7654321,aa于 29. 则, , , ,9321a94322954329654a, , .765 176a17a将上述 7 式相加, 得.729)(37654321 所以,326797654321 aa与 为整数矛盾! 所以不存在满足题设要求的 7 个整数.7654321aa10. 答案: 2.解答. 直接解方程组,.412853kyx当(其
6、中 m 和 n 是整数) (1)nk415283时方程组有整数解. 消去上面方程中的 k, 得到. (2)7m从(2)解得(其中 l 是整数). (3)ln5243将(3)代入(1)中一个方程, .lk16423lk12解不等式, , .0412190l 98l 412086l因此共有 2 个 k 值使原方程有整数解.11. 答案: 49, 14. 96.5（96.5可答可不答）解答. 因为 为质数, 所以 为最简真分数, 所以pp1,2,1.21)(pm同理可得.qn所以2.6(1)23pq首先, 因为上式右端 3 的因子只有一个, 所以 p 和 q 不可能相等, 不妨设 . 因为pq= ,
7、62948164所以 p 和 q 可以是以下情形:, 对应的 ;3,97nm, 对应的 .11412. 答案: .980x解答. 当 时, 有 . 当 时, 有 . 由于bababa0ba,981648可以断言, 如果方程有正数解 x, 则 . 因此 , 是不可能的.x80)(x2x另一方面,9810648可以断言, 如果方程有负数解 x, 则 . 因此9x, , , .)(9(980x故原方程的解为 .80x三、解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程)13. 答案: .31解答. 记六边形 的面积为 S, 图中阴影部分的面积为 S1; 记 ABC, BCD, 11FEDC
8、BACDE, DEF, EFA, FAB 的面积之和为 S2, 由这六个三角形组成的图形除去阴影部分的面积为 S3, 由题设条件可知S2 = , S1 = .ABCDEF3ABCDEF在计算 S2 时, 加了两次 S3, 所以 , 从而得312S.ABCDEF又,31SSABEF所以.ABCDEF故.31ABCDEFS14. 答案: , 或 8x, 或 32x, 或 .216649解答. 设所求的单项式是 , .ma0共有 3 个不为同类项的单项式, 如果 , 则多项式52)(9x 3m+52)1(9xa中不为同类项的单项式有 4 项, 不可能写为两个不为同类项的单项式和的平方, 如果写成至少有 3 项不为同类项的单项式和的平方, 则展开后, 至少有 5 个不为同类项的单项式, 所以, 得到 .2m2 22291569104;xxxx22283;3 264109159;93xxx所求的单项式为 , 或 8x, 或 32x, 或 , 再无其他解答 .2
