《2013版高二数学(人教B版)选修2-1同步练习2-3-2双曲线的几何性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013版高二数学(人教B版)选修2-1同步练习2-3-2双曲线的几何性质（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2 双曲线的几何性质一、选择题1(2009宁夏、海南)双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为()x24 y212A2 B2 3C. D13答案A解析本题主要考查双曲线的几何性质由双曲线 1 得焦点坐标为(4,0)，渐近线方程为 xy0，x24 y212 3焦点到渐近线的距离 d 2 .|43|3 1 32双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶点的坐标为(0,2) ，则双2曲线的标准方程为()A. 1 B. 1x24 y24 y24 x24C. 1 D. 1y24 x28 x28 y24答案B解析顶点为(0,2)，a2 且焦点在 y 轴上，又 实轴长与虚 轴长之和等于其焦距的倍
2、， 有 42b 2c，且 4b 2c 2，解得 b2.2 23已知双曲线 1 与直线 y2x 有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )x2a2 y2b2A(1， ) 5B(1， )( ，)5 5C( ，) 5D ，)5答案C解析用数形结合法解决较为简单，由 图分析可知，只有当渐近线斜率 2 时，才能保ba证 y2x 与双曲线有公共点， 4，即 5.c2 a2a2 c2a2 .ca 54如果 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，那么它的半焦距 c 的取值范围x2|k| 2 y21 k是( )A(1，) B(0,2)C(2，) D(1,2)答案A解析方程化为： 1，y2k 1 x2|k| 2Err
3、or! k2.又 c 1，k 1 (k 2) 2k 3故选 A.5(2009四川)已知双曲线 1( b0)的左右焦点分别为 F1、F 2，其一条渐近线方x22 y2b2程为 yx，点 P( ，y 0)在该双曲线上，则 ()3 PF1 PF2 A12 B2 C0 D4答案C解析本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质由题意得 b22，F 1(2,0) ，F2(2,0)，又点 P( ，y0)在双曲线上，y 1，3 20 (2 ，y 0)(2 ， y0)PF1 PF2 3 31y 0，故 选 C.206已知椭圆 1 和双曲线 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线x23m2 y25n2 x22m2 y
4、23n2方程是( )Ax y By x152 152Cx y Dy x34 34答案D解析由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上，椭圆焦点( ，0)，3m2 5n2双曲线焦点( ，0)2m2 3n23m 25n 22m 23n 2.m 28n 2.又双曲线渐近线为 y x，6|n|2|m|代入 m28n 2，|m|2 |n|，得 y x.2347如果双曲线 1 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()x2a2 y2b2A. B2 2C. D23 2答案A解析双曲线 1 的渐近线方程为 y x，又两渐近线互相垂直，所以x2a2 y2b2 baab， c a，e .a2 b2 2ca 28已知
5、双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，点 P 在双曲线的右x2a2 y2b2支上，且| PF1| 4|PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为( )A. B. 45 53C2 D.73答案B解析由题意|PF 1|PF 2|2a，即 3|PF2|2a，|PF 2| a，设 P(x0，y)，则 x00， aex 0a，e .23 23 5a3x0|x 0|a， 1.e .故选 B.ax0 53ax0 539(2010浙江理，8)设 F1， F2 分别为双曲线 1( a0，b0)的左、右焦点若x2a2 y2b2在双曲线右支上存在点 P，满足| PF2|F 1F2|，且 F2
6、到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( )A3x4y0 B3x 5y0C4x3y0 D5x4y0答案C解析如图：由条件|F 2A|2a，| F1F2|2c又知|PF 2| F1F2|，知 A 为 PF1 中点，由 a2b 2c 2，有 |PF1|4b 由双曲线定义：|PF1|PF 2|2 a，则 4b2c 2a2bca，又有 c2a 2b 2，(2ba) 2a 2b 2，4b 24aba 2a 2b 23b24ab， ，ba 43渐近线方程：y x.故选 C.4310已知双曲线中心在原点，且一个焦点为 F( ，0)，直线 yx1 与其相交于7M，N 两点，MN 中点
7、的横坐标为 ，则此双曲线方程是( )23A. 1 B. 1x23 y24 x24 y23C. 1 D. 1x25 y22 x22 y25答案D解析设双曲线方程为 1(a0，b0)，依 题意 c ，方程可化为x2a2 y2b2 7 1，由Error!得(72a 2)x22a 2x8a 2a 40.x2a2 y27 a2设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x 2 . 2a27 2a2 ， ，x2 x22 23 a27 2a2 23解得 a22.故所求双曲线方程为 1.x22 y25二、填空题11与椭圆 1 有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为x29 y24_答案 12x25
8、2y25解析双曲线的两渐近线互相垂直，双曲线为等轴双曲线，又 c25，a 2b 2 .5212(2008安徽)已知双曲线 1 的离心率为 ，则 n_.x2n y212 n 3答案4解析若焦点在 x 轴上，a2n，b 212n，c 2a 2b 212， e ， n4.ca 12n 3若焦点在 y 轴上，a 2n12，b 2n，c 2a 2b 212 不合题意故 n4.13已知点 F、A 分别为双曲线 C 1(a0 ，b0) 的左焦点、右顶点，点x2a2 y2b2B(0， b)满足 0，则双曲线的离心率为_FB AB 答案1 52解析由已知 F(c,0) ，A(a,0)， (c，b)， (a，b)
9、，FB AB 由 0 得acb 20，FB AB 即 c2aca 20，e 2e 10，解得 e (另一根舍去)1 5214(2008江西)已知双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线方程为 y x，若顶x2a2 y2b2 33点到渐近线的距离为 1，则双曲线方程为_答案 1x24 3y24解析易知右顶点为( a,0)， 1，|a|1 3a2，又双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线方程也是 y x，x2a2 y2b2 ba ，a b，b ，ba 33 3 233双曲线的方程为 1.x24 3y24三、解答题15已知双曲线与椭圆 x24y 264 共焦点，它的一条渐近线方程为 x y0，求双3曲线的
10、方程解析解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为 x y0，则另一条为 x y0，3 3可设双曲线方程为x23y 2( 0)，即 1.x2 y23由椭圆方程 1 可知x264 y216c2a 2b 2641648.双曲线与椭圆共焦点，则 48，336.故所求双曲线方程为 1.x236 y212解法二：双曲线与椭圆共焦点，可 设双曲线方程为 1，x264 y2 16由渐近线方程 y x 可得 .13 1664 1328.故所求双曲线方程为 1.x236 y21216F 1、F 2 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且F 1PF260，SPF1F212 ，又离心率为 2.求双曲线的方程3解析设
11、双曲线方程为 1，因 |F1F2|2c，而 e 2，由双曲 线的定义，得x2a2 y2b2 ca|PF1| |PF2| 2ac .由余弦定理，得(2c)2|PF 1|PF 2|22|PF 1|PF2|cosF 1PF2(| PF1|PF 2|)22| PF1|PF2|(1cos60)，4c 2c 2|PF 1|PF2|，又 SPF 1F2 |PF1|PF2|sin6012 ，12 3|PF 1|PF2| 48，3c 248，c 216 得 a24，b 212.所求双曲线方程为 1.x24 y21217已知双曲线 1(a 0，b0)过点 A( ， )，且点 A 到双曲线的两条渐近线x2a2 y2
12、b2 14 5的距离的积为 ，求此双曲线方程43解析双曲线 1 的两渐近线的方程为 bxay0.x2a2 y2b2点 A 到两渐近线的距离分别为d1 ，d2 ，| 14b 5a|a2 b2 | 14b 5a|a2 b2已知 d1d2 ，故 43 |14b2 5a2|a2 b2 43又 A 在双曲线上，则 14b25a 2a 2b2，代入，得 3a2b24a 24b 2，联立、解得 b22，a 24.故所求双曲线方程为 1.x24 y2218已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F 2 在坐标轴上，离心率为 ，且过点(4 ，2)10(1)求此双曲线的方程；(2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1MF 2；(3)求F 1MF2 的面积解析(1)e ，可设双曲线方程为 x2y 2.2过点(4， )，1610 ，即 6.10双曲线方程为 x2y 26.(2)证明：易知 F1(2 ，0)、F2(2 ，0)，3 3kMF 1 ，kMF2 ，m3 23 m3 23kMF1kMF2 ，m29 12 m23点(3，m) 在双曲线上，9m 26，m 23，故 kMF1kMF21，MF 1MF 2.(3)F 1MF2 的底|F 1F2|4 ，3F1F2 上的高 h|m| ，3SF 1MF2 6.
