《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)正弦定理和余弦定理(含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)正弦定理和余弦定理(含解析)（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 Go the distance 第七节 正弦定理和余弦定理 知识能否忆起 1 正弦定理 分类 内容 定理 asin A bsin B csin C 2R(R 是 ABC 外接圆的半径 ) 变形 公式 a 2Rsin_A， b 2Rsin_B， c 2Rsin_C， sin A sin B sin C a b c， sin A a2R， sin B b2R， sin C c2R 解决的 问题 已知两角和任一边，求其他两边和另一角， 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 2 余弦定理 分类 内容 定理 在 ABC 中，有 a2 b2 c2 2bccos_A； b2 a2 c2 2accos_
2、B； c2 a2 b2 2abcos_C 变形 公式 cos A b2 c2 a22bc ； cos Ba2 c2 b22ac ； cos C a2 b2 c22ab 解决的 问题 已知三边，求各角； 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 3 三角形中常用的面积公式 (1)S 12ah(h 表示边 a 上的高 )； (2)S 12bcsin A 12acsin B 12absin C； (3)S 12r(a b c)(r 为三角形的内切圆半径 ) Go the distance 小题能否全取 1 (2012广东高考 )在 ABC 中 ， 若 A 60， B 45， BC 3 2， 则 A
3、C ( ) A 4 3 B 2 3 C. 3 D. 32 解析： 选 B 由正弦定理得： BCsin A ACsin B，即 3 2sin 60 ACsin 45，所以 AC 3 232 22 2 3. 2 在 ABC 中 ， a 3， b 1， c 2， 则 A 等于 ( ) A 30 B 45 C 60 D 75 解析： 选 C cos A b2 c2 a22bc 1 4 32 1 212， 又 0B ab sin Asin B. (2)在 ABC中，已知 a、 b和 A时，解的情 况如下： A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a bsin A bsin Ab 解的个数 一解 两解
4、一解 一解 利用正弦、余弦定理解三角形 典题导入 例 1 (2012浙江高考 )在 ABC 中 ， 内角 A， B， C 的对边 分别为 a， b， c， 且 bsin A 3acos B. (1)求角 B 的大小 ； (2)若 b 3， sin C 2sin A， 求 a， c 的值 自主解答 (1)由 bsin A 3acos B 及正弦定理 asin Absin B，得 sin B 3cos B， 所以 tan B 3，所以 B 3. (2)由 sin C 2sin A 及 asin A csin C， 得 c 2a. 由 b 3 及余弦定理 b2 a2 c2 2accos B， 得 9
5、 a2 c2 ac. Go the distance 所以 a 3， c 2 3. 在本例 (2)的条件下 ， 试求角 A 的大小 解： asin A bsin B， sin A asin Bb 3sin33 12. A 6. 由题悟法 1 应熟练掌握正 、 余弦定理及其变形 解三角形时 ， 有时可用正弦定理 ， 有时也可用余弦定理 ， 应注意用哪一个定理更方便 、 简捷 2 已知两角和一边 ， 该三角形是确定的 ， 其解是唯一的 ； 已知两边和一边的对角 ， 该三角形具有不唯一性 ， 通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 以题试法 1 ABC 的三个内角 A， B， C 所对的
6、边分别为 a， b， c， asin Asin B bcos2A 2a. (1)求 ba； (2)若 c2 b2 3a2， 求 B. 解： (1)由正弦定理得， sin2Asin B sin Bcos2A 2sin A，即 sin B(sin2A cos2A) 2sin A. 故 sin B 2sin A， 所以 ba 2. (2)由余弦定理和 c2 b2 3a2， 得 cos B 1 3a2c . 由 (1)知 b2 2a2， 故 c2 (2 3)a2.可得 cos2B 12， 又 cos B0， 故 cos B 22 ， 所以 B 45. 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 Go the
7、distance 典题导入 例 2 在 ABC 中 a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边 ， 且 2asin A (2b c)sin B(2c b)sin C. (1)求 A 的大小 ； (2)若 sin B sin C 1， 试判断 ABC 的形状 自主解答 (1)由已知，根据正弦定理得 2a2 (2b c)b (2c b)c，即 a2 b2 c2 bc. 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A， 故 cos A 12， 0cos B”成立的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析： 选 C acos B. 2 (
8、2012泉州模拟 )在 ABC 中 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 所对的边 若 A 3， b1， ABC 的面积为 32 ， 则 a 的值为 ( ) A 1 B 2 C. 32 D. 3 Go the distance 解析 ： 选 D 由已知得 12bcsin A 12 1 c sin3 32 ， 解得 c 2， 则由余弦定理可得a2 4 1 2 2 1 cos3 3 a 3. 3 (2013“ 江南十校 ” 联考 )在 ABC 中 ， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知a 2 3， c 2 2， 1 tan Atan B 2cb ， 则 C ( )
9、A 30 B 45 C 45或 135 D 60 解析： 选 B 由 1 tan Atan B 2cb 和正弦定理得 cos Asin B sin Acos B 2sin Ccos A， 即 sin C 2sin Ccos A， 所以 cos A 12， 则 A 60. 由正弦定理得 2 3sin A 2 2sin C， 则 sin C 22 ， 又 cc， b 7， 求 AB AC 的值 解： (1)因为 3a 2bsin A 0， 所以 3sin A 2sin Bsin A 0， 因为 sin A 0，所以 sin B 32 . 又 B 为锐角，所以 B 3. (2)由 (1)可知， B
10、3.因为 b 7. 根据余弦定理，得 7 a2 c2 2accos3， 整理，得 (a c)2 3ac 7. 由已知 a c 5，得 ac 6. 又 ac，故 a 3， c 2. 于是 cos A b2 c2 a22bc 7 4 94 7 714， 所以 AB AC |AB |AC |cos A cbcos A 2 7 714 1. 12 (2012山东高考 )在 ABC 中 ， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知 sin B(tan A tan C) tan Atan C. (1)求证 ： a， b， c 成等比数列 ； (2)若 a 1， c 2， 求 ABC 的
11、面积 S. 解： (1)证明：在 ABC 中，由于 sin B(tan A tan C) tan Atan C， 所以 sin B sin Acos A sin Ccos C sin Acos Asin Ccos C， 因此 sin B(sin Acos C cos Asin C) sin Asin C， 所以 sin Bsin(A C) sin Asin C. 又 A B C ， 所以 sin(A C) sin B， 因此 sin2B sin Asin C. Go the distance 由正弦定理得 b2 ac， 即 a， b， c 成等比数列 (2)因为 a 1， c 2，所以 b 2
12、， 由余弦定理得 cos B a2 c2 b22ac 12 22 22 1 2 34， 因为 0BC， 3b 20acos A， 则 sin A sin B sin C 为 ( ) A 4 3 2 B 5 6 7 C 5 4 3 D 6 5 4 解析： 选 D 由题意可得 abc，且为连续正整数，设 c n， b n 1， a n 2(n1，且 n N*)，则由余弦定理可得 3(n 1) 20(n 2)n 12 n2 n 222nn 1 ，化简得 7n2 13n60 0， n N*，解得 n 4，由正弦定理可得 sin A sin B sin C a b c 6 5 4. 2 (2012长春调
13、研 )在 ABC 中 ， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 4sin2A B2 cos 2C 72， 且 a b 5， c 7， 则 ABC 的面积为 _ 解析： 因为 4sin2A B2 cos 2C 72， 所以 21 cos(A B) 2cos2C 1 72， 2 2cos C 2cos2C 1 72， cos2C cos C 14 0， 解得 cos C 12.根据余弦定理有 cos C 12 a2 b2 72ab ， ab a2 b2 7,3ab a2 b2 2ab 7 (a b)2 7 25 7 18， ab 6，所以 ABC 的面积 S ABC 12absin C 12 6 32 3 32 . 答案： 3 32 3 在 ABC 中 ， 角 A， B
