《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数列求和(含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数列求和(含解析)（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 数_列_求_和知识能否忆起一、公式法1如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前 n 项和公式，注意等比数列公比 q 的取值情况要分 q1 或 q1.2一些常见数列的前 n 项和公式：(1)1234n ；nn 12(2)13572n1n 2；(3)24682nn 2n.二、非等差、等比数列求和的常用方法1倒序相加法如果一个数列a n，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，等差数列的前 n 项和即是用此法推导的2分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分
2、组转化法，分别求和而后相加减3错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，等比数列的前 n 项和就是用此法推导的4裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和小题能否全取1(2012沈阳六校联考)设数列 (1) n的前 n 项和为 Sn，则对任意正整数 n，S n()A. B.n 1n 12 1n 1 12C. D. 1n 12 1n 12解析：选 D因为数列(1) n是首项与公比均为1 的等比数列，所以 Sn . 1 1n 11 1 1n 122等差数列a n的通项公式为 an2
3、n1，其前 n 项的和为 Sn，则数列 的前 10 项Snn的和为( )A120 B70C75 D100解析：选 CS n n( n2)，na1 an2 n2.故 75.Snn S11 S22 S10103数列 a12，a k2k，a 1020 共有十项，且其和为 240，则a1a k a 10 的值为()A31 B120C130 D185解析：选 Ca1a k a 10240(2 2k 20)240 240110130.2 201024若数列a n的通项公式为 an2 n2n1，则数列a n的前 n 项和为_解析：S n 2 n1 2n 2.21 2n1 2 n1 2n 12答案：2 n1
4、n 225数列 ， ， ， ，的前 n 项和为_124 146 168 12n2n 2解析：因 an 12n2n 2 14(1n 1n 1)则 Sn14(1 12 12 13 1n 1n 1) .14(1 1n 1) n4n 1答案：n4n 1数列求和的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法
5、、错位相减法、倒序相加法等来求和分组转化法求和典题导入例 1(2011山东高考)等比数列 an中，a 1，a 2，a 3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a 2，a 3 中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列第一行 3 2 10第二行 6 4 14第三行 9 8 18(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足：b na n( 1) nln an，求数列 bn的前 2n 项和 S2n.自主解答 (1)当 a13 时，不合 题意；当 a12 时，当且仅当 a26，a 318 时，符合题意；当 a110 时，不合题意因此 a12，a 26，a 318.所以公
6、比 q3，故 an23 n1 .(2)因为 bna n(1) nln an 23n1 (1) nln(23n1 )23 n1 ( 1) n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以 S2nb 1b 2b 2n2(133 2n1 )111(1) 2n(ln 2ln 3)1 23(1) 2n2nln 32 nln 33 2nnln 31.1 32n1 3由题悟法分组转化法求和的常见类型(1)若 anb ncn，且b n，c n为等差或等比数列，可采用分组求和法求a n的前 n 项和(2)通项公式为 anError!的数列，其中数列 bn， cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和. 以题试
7、法1已知数列x n的首项 x13，通项 xn2 npnq( nN *，p，q 为常数) ，且 x1，x 4，x 5成等差数列求：(1)p，q 的值；(2)数列x n前 n 项和 Sn的公式解：(1)由 x13，得 2pq3，又因为 x42 4p4q，x52 5p5q，且 x1x 52x 4，得 32 5p5q2 5p8q，解得 p1，q1.(2)由(1)，知 xn2 nn，所以 Sn(2 2 22 n)(12n) 2 n1 2 .nn 12错位相减法求和典题导入例 2(2012江西高考)已知数列 an的前 n 项和 Snkc nk( 其中 c，k 为常数)，且a24，a 68a 3.(1)求
8、an；(2)求数列na n的前 n 项和 Tn.自主解答 (1)由 Snkc nk，得 anS nS n1 kc nkc n1 (n2)由 a24，a 68a 3 ，得 kc(c 1)4， kc5(c1) 8kc 2(c1)，解得Error!所以 a1S 12，a nkc nkc n1 2 n(n2)，于是 an2 n.(2)Tn ai 2i，ni 1ini 1i即 Tn222 232 342 4n2 n.Tn2T nT n 22 22 3 242 nn2 n12 n1 2n2 n1 (n1)2 n1 2.由题悟法用错位相减法求和应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形
9、；(2)在写出“S n”与“ qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqS n”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1两种情况求解以题试法2(2012济南模拟)已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn3 nk.(1)求 k 的值及数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足 (4 k )anbn，求数列b n的前 n 项和 Tn.an 12解：(1)当 n2 时，由 anS nS n1 3 nk3 n1 k 23 n1 ，得等比数列 an的公比q3，首项为 2.a1 S13k2，k 1，数列 an
10、的通项公式为 an23 n1 .(2)由 (4k )anbn，可得 bn ，an 12 n23n 1即 bn .32n3nTn ，32(13 232 333 n3n) Tn ，13 32(132 233 334 n3n 1) Tn ，23 32(13 132 133 13n n3n 1)Tn .94(12 123n n3n 1)裂项相消法求和典题导入例 3已知数列 an的前 n 项和为 Sn，a 11，S nna nn(n1)( nN *)(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn.2anan 1自主解答 (1)S nna nn( n1)，当 n2 时，S
11、n1 (n1)a n1 (n1)( n 2)，an SnS n1 na nn(n1)(n1) an1 (n1)(n2)，即 ana n1 2.数列 an是首项 a11，公差 d2 的等差数列，故 an1(n1)2 2n1，nN *.(2)由(1)知 bn ，2anan 1 22n 12n 1 12n 1 12n 1故 Tnb 1b 2b n 1 (1 13) (13 15) (15 17) ( 12n 1 12n 1) 12n 1.2n2n 1本例条件不变，若数列b n满足 bn ，求数列b n的前 n 项和 Tn.1Sn n解：S nna nn(n1)n(2 n1) n(n1)n 2.bn
12、，1Sn n 1n2 n 1nn 1 1n 1n 1Tn 1 .(11 12) (12 13) (13 14) (1n 1n 1) 1n 1 nn 1由题悟法利用裂项相消法求和应注意(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若a n是等差数列，则 ， .1anan 1 1d(1an 1an 1) 1anan 2 12d(1an 1an 2)以题试法3(2012“江南十校”联考) 在等比数列a n中，a 10，nN *，且 a3a 28，又a1、a 5 的等比中项为 16.(
13、1)求数列a n的通项公式；(2)设 bnlog 4an，数列 bn的前 n 项和为 Sn，是否存在正整数 k，使得 0)，求数列 bn的前 n 项和 Sn.解：(1)设数列a n的首项为 a1，公差 为 d，则由 a59，a 2a 614，得Error!解得Error!所以a n的通项 an2n1.(2)由 an2n1 得 bn2n1q 2n1 .当 q0 且 q1 时，S n135(2 n1)(q 1q 3q 5q 2n1 )n 2；q1 q2n1 q2当 q1 时，b n2n，则 Snn(n1) 所以数列b n的前 n 项和SnError!12(2012“江南十校”联考) 若数列a n满足：a 1 ，a 22,3( an1 2a na n1 )2.23(1)证明：数列a n1 a n是等差数列；(2)求使 成立的最小的正整数 n.1a1 1a2 1a3 1an52解：(1)由 3(an 12a na n1 )2 可得：an1 2a na n1 ，即(a n1 a n)( ana n1 ) ，23 23故数列a n1 a n是以 a2a 1 为首项， 为公差的
