《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)导数的应用(一)(含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)导数的应用(一)(含解析)（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 Go the distance 第十二节 导数的应用 (一 ) 知识能否忆起 1 函数的单调性 在 (a， b)内可导函数 f(x)， f (x)在 (a， b)任意子区间内都不恒等于 0. f (x) 0 f(x)在 (a， b)上为 增函数 f (x) 0 f(x)在 (a， b)上为 减函数 2 函数的极值 (1)函数的极小值： 函数 y f(x)在点 x a 的函数值 f(a)比它在点 x a 附近其它点的函数值都小， f (a) 0，而且在点 x a 附 近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，则点 a 叫做函数 y f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y f(x)的极小
2、值 (2)函数的极大值： 函数 y f(x)在点 x b 的函数值 f(b)比它在点 x b 附近的其他点的函数值都大， f (b) 0，而且在点 x b 附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，则点 b 叫做函数 y f(x)的极大值点， f(b)叫做函数 y f(x)的极大值 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 3 函数的最值 (1)在闭区间 a， b上连续的函数 f(x)在 a， b上必有最大值与最小值 (2)若函数 f(x)在 a， b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在 a， b上单调递减，则 f(a)为
3、函数的最大值， f(b)为函数的最小值 小题能否全取 1 (教材习题改编 )若函数 f(x) x3 ax2 3x 9 在 x 3 时取得极值，则 a 等于 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 解析： 选 D f (x) 3x2 2ax 3， f ( 3) 0， a 5. 2 (2012辽宁高考 )函数 y 12x2 ln x 的单调递减区间为 ( ) Go the distance A ( 1,1 B (0,1 C 1， ) D (0， ) 解析： 选 B 函数 y 12x2 ln x 的定义域为 (0， )， y x 1x x 1x 1x ，令 y 0，则可得 00，函数 f(x) x3
4、 ax 在 1， )上是单调增函数，则 a 的最大值是 _ 解析： f (x) 3x2 a 在 x 1， )上 f (x) 0， 则 f (1) 0 a 3. 答案： 3 1.f (x)0与 f(x)为增函数的关系： f (x)0能推出 f(x)为增函数，但反之不一定如函数 f(x) x3在 ( ， )上单调递增，但 f (x) 0，所以 f (x)0是 f(x)为增函数的充分 不必要条件 2可导函数的极值点必须是导数为 0的点，但导数为 0的点不 一定是极值点，即f (x0) 0是可导函数 f(x)在 x x0处取得极值的必要不充分条件例如函数 y x3在 x 0处有 y |x 0 0，但
5、x 0不是极值点此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点 3可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较 Go the distance 运用导数解决函数的单调性问题 典题导入 例 1 (2012山东高考改编 )已知函数 f(x) ln x kex (k 为常数， e 2.718 28 是自然对数的底数 )，曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线与 x 轴平行 (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的单调区间 自主解答 (1)由 f(x) ln x kex ， 得 f (x) 1 kx x
6、ln xxex ， x (0， )， 由于曲线 y f(x)在 (1， f(1)处的切线与 x 轴平行 ，所以 f (1) 0，因此 k 1. (2)由 (1)得 f (x) 1xex(1 x xln x)， x (0， )， 令 h(x) 1 x xln x， x (0， )， 当 x (0,1)时， h(x)0；当 x (1， )时， h(x)0，所以 x (0,1)时， f (x)0； x (1， )时， f (x)0， 即 f(x)在 ( ， 2)上单调递增； 当 x ( 2,1)时， f (x)0， 即 f(x)在 (1， )上单调递增 从而函数 f(x)在 x 2 处取得极大值 f
7、( 2) 21， 在 x 1 处取得极小值 f(1) 6. 运用导数解决函数的最值问题 典题导入 例 3 已知函数 f(x) (x k)ex. Go the distance (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)在区间 0,1上的最小值 自主解答 (1)f (x) (x k 1)ex. 令 f (x) 0，得 x k 1. f(x)与 f (x)的情况如下： x ( ， k 1) k 1 (k 1， ) f (x) 0 f(x) ek 1 所以， f(x)的单调递减区间是 ( ， k 1)；单调递增区间是 (k 1， ) (2)当 k 1 0，即 k 1 时，函数 f(x)在 0
8、,1上单调递增，所以 f(x)在区间 0,1上的最小值为 f(0) k； 当 00，故 f(x)在 ( ， 2)上为增函数； 当 x ( 2,2)时， f (x)0，故 f(x)在 (2， )上为增函数 由此可知 f(x)在 x1 2 处取得极大值 f( 2) 16 c， f(x)在 x1 2 处取得极小值 f(2) c 16. 由题设条件知 16 c 28，得 c 12. 此时 f( 3) 9 c 21， f(3) 9 c 3， f(2) 16 c 4， 因此 f(x)在 3,3上的最小值为 f(2) 4. Go the distance 1函数 f(x) x eln x 的单调递增区间为
9、( ) A (0， ) B ( ， 0) C ( ， 0)和 (0， ) D R 解析： 选 A 函数定义域为 (0， )， f (x) 1 ex0，故单调增区间是 (0， ) 2 (2012“ 江南十校 ” 联考 )已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数f (x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是 ( ) A f(b)f(c)f(d) B f(b)f(a)f(e) C f(c)f(b)f(a) D f(c)f(e)f(d) 解析： 选 C 依题意得，当 x ( ， c)时， f (x)0； 当 x (c， e)时， f (x)0.因此，函数 f(x)在 ( ， c)上是增函数，在
10、(c， e)上是减函数，在 (e， )上是增函数，又 af(b)f(a) 3 (2012陕西高考 )设函数 f(x) 2x ln x，则 ( ) A x 12为 f(x)的极大值点 B x 12为 f(x)的极小值点 C x 2 为 f(x)的极大值 点 D x 2 为 f(x)的极小值点 解析： 选 D 函数 f(x)的定义域为 (0， )， f (x) 2x2 1x x 2x2 ，当 x 2 时， f (x) 0；当 x2 时， f (x)0，函数 f(x)为增函数；当 0f(b) B f(a) f(b) C f(a)1 Go the distance 解析： 选 A f (x) 1 ln
11、 xx2 ，当 xe 时， f (x)f(b) 6函数 f(x) x3 3x 1，若对于区间 3,2上的任意 x1， x2，都有 |f(x1) f(x2)| t，则实数 t 的最小值是 ( ) A 20 B 18 C 3 D 0 解析： 选 A 因为 f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)，令 f (x) 0，得 x 1 ，所以 1,1为函数的极值点又 f( 3) 19， f( 1) 1， f(1) 3， f(2) 1，所以在区间 3,2上 f(x)max 1， f(x)min 19.又由题设知在区间 3,2上 f(x)max f(x)min t，从而 t 20，所以 t 的最小值是
12、20. 7已知函数 f(x) x3 mx2 (m 6)x 1 既存在极大值又存在极小值，则实数 m 的取值范围是 _ 解析： f (x) 3x2 2mx m 6 0 有两个不等实根，即 4m2 12 (m 6)0.所以m6 或 m0，得 x1. 所以函数 y f(x)的单调减区间是 (0,1)， 单调增区间是 (1， ) 11 (2012重庆高考 )设 f(x) aln x 12x 32x 1，其中 a R，曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂直于 y 轴 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值 解： (1)因 f(x) aln x 12x 32x 1， 故 f (x) ax 12x2 32. 由于曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂直于 y 轴，故该切线斜率为 0，即 f (1) 0，从而 a 12 32 0， 解得 a 1. (2)由 (1)知 f(x) ln x 12x 32x 1(x0)， f (x) 1x 12x2 32 3x2 2x 12x2 3x 1x 12x2 . Go the distance 令 f (x) 0，解得 x1 1， x2 13 因 x2 13不在定 义域内，舍去 当 x (0,1)时， f (x)0，故 f(x)在 (1， )上为增函数
