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1、,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,第二章 流体力学的近似方程及其数学性质,流体力学的各级近似方程 一阶拟线性偏微分方程组的分类 流体力学各级近似方程的类型 流体力学问题的定解条件的提法 边界条件的给定,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,1.流体力学的各级近似方程,可压缩牛顿流体二维非定常流动的Navier-Stokes方程,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,1.流体力学的各级近似方程,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,1.流体力学的各级近似方程,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,1.流体力学的各级近似方
2、程,抛物化的Navier-Stokes方程,在物面附近的流动中，沿切线方向的耗散远小于沿法线方向的耗散，所以可以将Navier-Stokes方程中包含沿主要流动方向的所有二阶导数项略去，得到抛物化Navier-Stokes方程。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,1.流体力学的各级近似方程,不可压缩牛顿流体二维非定常流动的Navier-Stokes方程,对于液体或者低速运动的气体而言，可以采用不可压缩近似，即Dp/Dt=0，并且能量方程可与连续方程及运动方程分开求解。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,1.流体力学的各级近似方程,可压缩理想完全气体非定常绝热
3、流动的Euler方程,实验表明，在大Reynolds数流动中，只在物面附近薄层中粘性的影响是重要的，而在除去此薄层外的主流区中粘性影响可以忽略，于是可以把主流区中的流体近似地认为是无粘性地理想流体。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,1.流体力学的各级近似方程,可压缩理想流体非定常跨音速无旋流动,当物体在理想流体中作亚临界飞行时，整个流场将是无旋的；即使当物体作跨音速飞行时，激波强度不大，整个流场也可以近似地当作是无旋的。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,1.流体力学的各级近似方程,可压缩理想流体非定常跨音速无旋流动的小扰动方程,如果我们所研究的流场是由于
4、在某个均匀流动中产生的微小扰动所引起的，例如研究均匀来流绕过一个薄翼的流场，则可以由于小扰动假设而使问题得到进一步简化。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,1.流体力学的各级近似方程,可压缩理想流体非定常亚音速或者超音速无旋流动的小扰动方程,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,2.一阶拟线性偏微分方程组的分类,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,2.一阶拟线性偏微分方程组的分类,若这n个特征值全是复数，则方程在 平面上是纯椭圆型； 若这n个特征值是互不相等且不等于零的实数，则方程在 平面上是纯双曲型； 若这n个特征值全为零，则方程在 平面上是抛
5、物型； 若这n个特征值部分是实数，部分是复数，则方程在 平面上是双曲椭圆型，或者简称椭圆型； 若这n个特征值全是实数，且部分是零，部分不是零，则方程在 平面上是双曲抛物型或者抛物双曲型。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,3.流体力学各级近似方程的类型,可压缩理想流体二维定常亚音速或超音速无旋流动的小扰动方程,亚音速流动，方程是纯椭圆型 超音速流动，方程是纯双曲型,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,3.流体力学各级近似方程的类型,可压缩理想完全气体二维非定常绝热流动的Euler方程,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,3.流体力学各级近似方程
6、的类型,可压缩理想完全气体二维非定常绝热流动的Euler方程,矩阵C的特征值,亚音速流动，在（x,y）平面上是双曲型 超音速流动，在（x,y）平面上是双曲椭圆型,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,3.流体力学各级近似方程的类型,可压缩理想完全气体二维非定常绝热流动的Euler方程,矩阵D的特征值,在（x,t）平面上是纯双曲型 类似地可得：在（y,t）平面上是纯双曲型,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,3.流体力学各级近似方程的类型,可压缩粘性常比热完全气体二维非定常流动的Navier-Stokes方程,在包含时间t轴的任何平面上，可压缩粘性常比热完全气体非定
7、常流动的Navier-stokes方程是双曲抛物型方程组，而在（x,y）平面上则是双曲椭圆型方程组。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,4.流体力学问题的定解条件的提法,对于一阶拟线性偏微分方程组的正确定解条件一般规定：保证所研究的偏微分方程组的定解问题是适定的，解存在、唯一、并且连续依赖于定解条件。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,4.流体力学问题的定解条件的提法,椭圆型偏微分方程边值问题的提法,对于椭圆椭圆型偏微分方程组，要求在封闭区域的整个边界上规定边界条件,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,4.流体力学问题的定解条件的提法,双曲型
8、偏微分方程初值、边值问题的提法,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,4.流体力学问题的定解条件的提法,双曲型偏微分方程初值、边值问题的提法,x,t,A,A,B,D,C,C,C-,0,L,t0,C0,C+,C+,C+,C+,C+,C0,C0,C0,C0,C-,C-,C-,C-,一维非定常流动Euler方程的初值、边值条件的提法,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,4.流体力学问题的定解条件的提法,抛物型偏微分方程初值、边值问题的提法,x,t,0,L,一维热传导方程的初、边值条件的提法,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,4.流体力学问题的定解条件的
9、提法,抛物型偏微分方程初值、边值问题的提法,抛物型偏微分方程组要求在开区域的所有边界上规定定解条件。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,5.边界条件的给定,适当的边界条件提法及其数学处理使计算过程稳定的必要条件； 边界处理的具体方法可能影响诸如摩阻、热流等物理量的计算精度； 在对一些流动问题的细致模拟中，边界处理将可能对流场内部结构产生影响。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,5.边界条件的给定,边界条件的提法： 各类边界上所需规定的边界条件的数目； 各类边界上具体的边界条件的提法。 要求由这些边界条件和初始条件及支配方程所构成的偏微分方程组的初边值问题在数
10、学上是适定的，同时要求它们具有明显的物理意义。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,5.边界条件的给定,CFD计算中，一般有两类边界 （1）实际边界：它们是由物理问题的性质决定的，从而是确定的。例如：外流问题中的固体壁面，内流问题中的进出口边界及固体壁面都是实际边界。 （2）人工边界：它们是针对无限或半无限区域，或人们感兴趣的范围远小于实际区域时人为引入的。例如：在外流问题的计算中，尽管实际区域延伸至无限远，但实际计算时只能把外边界选在距固体边界有限远的地方。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,5.边界条件的给定,适定性所要求的物理边界条件的数目,XJTU,西
11、安 2005年3月,计算流体动力学课程,5.边界条件的给定,Euler方程的边界条件,入流边界： (1)超音速入流边界条件 规定5个物理边界条件（压力，密度，速度） (2)亚音速入流边界条件 规定4个物理边界条件（压力，速度） 出流边界： (1)超音速出流边界条件 不需要规定任何物理边界条件 (2)亚音速出流边界条件 规定一个物理边界条件（压力） 物面边界条件 规定1个物面边界条件（法向速度是零）,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,5.边界条件的给定,Navier-Stokes方程的边界条件,入流边界： (1)超音速入流边界条件 规定5个物理边界条件（压力，密度，速度） (2
12、)亚音速入流边界条件 规定5个物理边界条件（压力，速度,粘性边界条件）,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,5.边界条件的给定,Navier-Stokes方程的边界条件,出流边界： (1)超音速出流边界条件 规定4个物理边界条件（粘性边界条件） (2)亚音速出流边界条件 规定4个物理边界条件（压力，粘性边界条件）,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,5.边界条件的给定,Navier-Stokes方程的边界条件,物面边界条件 等温无滑移物面条件 规定4个物理边界条件(速度是零，壁面温度) (2)绝热无滑移物面条件 规定4个物理边界条件(速度是零，壁面热通量是零),
