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1、第四章 非线性回归模型的形式,一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例,在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。,如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线（Pillips cuves）表现为双曲线形式等。 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面的处理。,一、模型的类型与变换,1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法,例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线 s = a + b r + c r2 c0 s：税收； r：税
2、率,设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b X1 + c X2 c0,3、复杂函数模型与级数展开法,方程两边取对数后，得到：,(1+2=1),Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入 ：替代参数， 1、2：分配参数,例如，常替代弹性CES生产函数,将式中ln(1K- + 2L-)在=0处展开台劳级数,取关于的线性项，即得到一个线性近似式。,如取0阶、1阶、2阶项，可得,并非所有的函数形式都可以线性化,无法线性化模型的一般形式为:,其中，f(x1,x2,Xk)为非线性函数。如：,二、非线性回归实例,例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。,根据需求理论，居
3、民对食品的消费需求函数大致为,Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额 P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。,零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变,(*),(*),为了进行比较，将同时估计（*）式与（*）式。,根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数的变化关系:,首先,确定具体的函数形式,对数变换:,考虑到零阶齐次性时,(*),(*),(*)式也可看成是对（*）式施加如下约束而得,因此，对（*）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件。,X：人均消费 X1：人均食品消费 GP：居民消费价格指数 FP：居民食品消
4、费价格指数 XC：人均消费（90年价） Q：人均食品消费（90年价） P0：居民消费价格缩减指数（1990=100） P：居民食品消费价格缩减指数（1990=100,中国城镇居民人均食品消费,特征： 消费行为在19811995年间表现出较强的一致性 1995年之后呈现出另外一种变动特征。,建立19811994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:,(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34),按零阶齐次性表达式回归:,（75.86）(52.66) (-3.62),为了比较，改写该式为：,发现与,接近。,意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征, 受约束回归,在建立回归模型时
5、，有时根据经济理论需对模型中变量的参数施加一定的约束条件。,如： 0阶齐次性 条件的消费需求函数 1阶齐次性 条件的C-D生产函数,模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回归（restricted regression）; 不加任何约束的回归称为无约束回归（unrestricted regression）。,受约束回归,一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量 三、参数的稳定性 *四、非线性约束,一、模型参数的线性约束,对模型,施加约束,得,或,(*),(*),如果对（*）式回归得出,则由约束条件可得：,然而，对所考查的具体问题能否施加约束？,需进一步进行相应的检验。常用的检验
6、有： F检验、x2检验与t检验，,主要介绍F检验,在同一样本下，记无约束样本回归模型为,受约束样本回归模型为,于是,受约束样本回归模型的残差平方和RSSR,于是,ee为无约束样本回归模型的残差平方和RSSU,(*),受约束与无约束模型都有相同的TSS,由（*）式 RSSR RSSU 从而 ESSR ESSU,这意味着，通常情况下，对模型施加约束条件会降低模型的解释能力。,但是，如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约束回归模型具有相同的解释能力，RSSR 与 RSSU的差异变小。,可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性,根据数理统计学的知识：,于是：,讨论： 如果约束条件无效， R
7、SSR 与 RSSU的差异较大，计算的F值也较大。,于是，可用计算的F统计量的值与所给定的显著性水平下的临界值作比较，对约束条件的真实性进行检验。,注意，kU - kR恰为约束条件的个数。,例3.6.1 中国城镇居民对食品的人均消费需求实例中，对零阶齐次性检验：,取=5%，查得临界值F0.05(1,10)=4.96 判断：不能拒绝中国城镇居民对食品的人均消费需求函数具有零阶齐次特性这一假设。,无约束回归:RSSU=0.00324， kU=3 受约束回归:RSSR=0.00332， KR=2 样本容量n=14， 约束条件个数kU - kR=3-2=1,这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验,
8、如：多元回归中对方程总体线性性的F检验： H0： j=0 j=1,2,k,这里：受约束回归模型为,这里，运用了ESSR 0。,二、对回归模型增加或减少解释变量,考虑如下两个回归模型,(*),(*),(*)式可看成是（*）式的受约束回归：,H0：,相应的统计量为：,如果约束条件为真，即额外的变量Xk+1, , Xk+q对没有解释能力，则统计量较小； 否则，约束条件为假，意味着额外的变量对有较强的解释能力，则统计量较大。 因此，可通过F的计算值与临界值的比较，来判断额外变量是否应包括在模型中。,讨论：,统计量的另一个等价式,三、参数的稳定性,1、邹氏参数稳定性检验,建立模型时往往希望模型的参数是稳
9、定的，即所谓的结构不变，这将提高模型的预测与分析功能。如何检验？,假设需要建立的模型为,在两个连续的时间序列（1,2,，n1）与（n1+1,，n1+n2）中，相应的模型分别为：,合并两个时间序列为( 1,2,，n1 ，n1+1,，n1+n2 )，则可写出如下无约束回归模型,如果=，表示没有发生结构变化，因此可针对如下假设进行检验： H0: = (*)式施加上述约束后变换为受约束回归模型,(*),（*）,因此，检验的F统计量为：,记RSS1与RSS2为在两时间段上分别回归后所得的残差平方和，容易验证，,于是,参数稳定性的检验步骤：,（1）分别以两连续时间序列作为两个样本进行回归，得到相应的残差平
10、方： RSS1与RSS2 （2）将两序列并为一个大样本后进行回归，得到大样本下的残差平方和RSSR （3）计算F统计量的值，与临界值比较： 若F值大于临界值，则拒绝原假设，认为发生了结构变化，参数是非稳定的。,该检验也被称为邹氏参数稳定性检验（Chow test for parameter stability）。,2、邹氏预测检验,上述参数稳定性检验要求n2k。 如果出现n2k ，则往往进行如下的邹氏预测检验（Chow test for predictive failure）。,邹氏预测检验的基本思想: 先用前一时间段n1个样本估计原模型，再用估计出的参数进行后一时间段n2个样本的预测。 如果
11、预测误差较大，则说明参数发生了变化，否则说明参数是稳定的。,分别以、 表示第一与第二时间段的参数，则,其中，,如果 =0，则 = ，表明参数在估计期与预测期相同,(*),(*)的矩阵式：,可见，用前n1个样本估计可得前k个参数的估计，而不外是用后n2个样本测算的预测误差X2( - ),(*),如果参数没有发生变化，则=0，矩阵式简化为,(*),（*）式与（*）式,这里：KU - KR=n2 RSSU=RSS1,分别可看成受约束与无约束回归模型，于是有如下F检验：,第一步，在两时间段的合成大样本下做OLS回归，得受约束模型的残差平方和RSSR ； 第二步，对前一时间段的n1个子样做OLS回归，得
12、残差平方和RSS1 ； 第三步，计算检验的F统计量，做出判断：,邹氏预测检验步骤：,给定显著性水平，查F分布表，得临界值F(n2, n1-k-1) 如果 FF(n2, n1-k-1) ，则拒绝原假设，认为预测期发生了结构变化。,例3.6.2 中国城镇居民食品人均消费需求的邹氏检验。,1、参数稳定性检验,19811994：,RSS1=0.003240,19952001：,(9.96) (7.14) (-5.13) (1.81),19812001:,(14.83) (27.26) (-3.24) (-11.17),给定=5%，查表得临界值F0.05(4, 13)=3.18 判断：F值临界值，拒绝参
13、数稳定的原假设，表明中国城镇居民食品人均消费需求在1994年前后发生了显著变化。,2、邹氏预测检验,给定=5%，查表得临界值F0.05(7, 10)=3.18 判断： F值临界值，拒绝参数稳定的原假设,*四、非线性约束,也可对模型参数施加非线性约束,如对模型,施加非线性约束12=1,得到受约束回归模型:,该模型必需采用非线性最小二乘法（nonlinear least squares）进行估计。 非线性约束检验是建立在最大似然原理基础上的,有最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验.,1、最大似然比检验 (likelihood ratio test, LR),估计:无约束回归模型与受约束回归
14、模型， 方法:最大似然法， 检验:两个似然函数的值的差异是否“足够”大。,记L(,2)为一似然函数: 无约束回归 : Max:,受约束回归 : Max:,或求极值：,g():以各约束条件为元素的列向量, ：以相应拉格朗日乘数为元素的行向量,约束：g()=0,受约束的函数值不会超过无约束的函数值，但如果约束条件为真，则两个函数值就非常“接近”。,由此，定义似然比（likelihood ratio）:,如果比值很小，说明两似然函数值差距较大，则应拒绝约束条件为真的假设； 如果比值接近于，说明两似然函数值很接近，应接受约束条件为真的假设。,具体检验时，由于大样本下：,h是约束条件的个数。因此： 通过
15、LR统计量的2分布特性来进行判断。,在中国城镇居民人均食品消费需求例中，对零阶齐次性的检验：,LR= -2(38.57-38.73)=0.32,给出=5%、查得临界值20.05(1)3.84， 判断： LR 20.05(1),不拒绝原约束的假设， 表明:中国城镇居民对食品的人均消费需求函数满足零阶齐次性条件。,、沃尔德检验（Wald test, W）,沃尔德检验中，只须估计无约束模型。如对,在所有古典假设都成立的条件下，容易证明,因此，在1+2=1的约束条件下,记,可建立沃尔德统计量:,如果有h个约束条件，可得到h个统计量z1,z2,zh 约束条件为真时，可建立大样本下的服从自由度为h的渐近2
16、 分布统计量,其中，Z为以zi为元素的列向量，C是Z的方差-协方差矩阵。 因此，W从总体上测量了无约束回归不满足约束条件的程度。 对非线性约束，沃尔德统计量W的算法描述要复杂得多。,3、拉格朗日乘数检验,拉格朗日乘数检验则只需估计受约束模型. 受约束回归是求最大似然法的极值问题:,是拉格朗日乘数行向量，衡量各约束条件对最大似然函数值的影响程度。,如果某一约束为真，则该约束条件对最大似然函数值的影响很小，于是，相应的拉格朗日乘数的值应接近于零。 因此，拉格朗日乘数检验就是检验某些拉格朗日乘数的值是否“足够大”，如果“足够大”，则拒绝约束条件为真的假设。,拉格朗日统计量LM本身是一个关于拉格朗日乘数的复杂的函数，在各约束条件为真的情况下，服从一自由度恰为约束条件个数的渐近2分布。,n为样本容量，R2为如下被称为辅助回归（auxiliary regression）的可
