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1、,函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是增函数；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是减函数；,若 f(x) 在G上是增函数或减函数，,增函数,减函数,则 f(x) 在G上具有严格的单调性。,G 称为单调区间,复习引入,G = ( a , b ),以前,我们主要采用定义法去判断函数的单调性. 在函数y=f(x) 比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单
2、.,判断函数单调性有哪些方法？,图象法,已知函数,导数的几何意义,过曲线y=f(x)上一点(x,y)的曲线的切线的斜率k= 应用：1、求切线的斜率及切线方程 2、求切线的倾斜角 注意：已知点是不是切点,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y = x,y = x2,y = x3,观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.(p90),在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 , 那么函数 在这个区间内单调递减.p90,结 论,例1 (教材）已知导函数 的下列信息:,当1 x 4 时,当 x 4 , 或 x 1时,当 x = 4 , 或
3、 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形状.,解:,当1 x 4 时, 可知 在此区间内单调递增;,当 x 4 , 或 x 1时, 可知 在此区间内单调递减;,当 x = 4 , 或 x = 1时,综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.,例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,解:,(1) 因为 , 所以,因此, 函数 在 上单调递增.,(2) 因为 , 所以,当 , 即 时, 函数 单调递增;,当 , 即 时, 函数 单调递减.,例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,解:,(3) 因为 , 所以,因此, 函数 在 上单调递减.,例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区
4、间:,(4) 因为 , 所以,当 , 即 时, 函数 单调递增;,当 , 即 时,函数 单调递减.,例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,求可导函数f(x)单调区间的步骤： (1)求f(x) (2)解不等式f(x)0(或f(x)0) (3)确认并指出递增区间（或递减区间）,练习 P93 1,1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,函数单调性与导数正负的关系,注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它必是定义域内的某个区间。,（1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f(x)0以及f(x)0,求自变量x的取值范围 (4)下结论， 写出函数的单调区间。,总结:用“导数法
5、” 求单调区间的步骤：,练习：p93练习1 作业：p98习题A 1、p93练习1（3、4）,函数的单调性与导数（二）,复习 1、函数的单调性与导数正负的关系 2、利用导数求函数单调性的步骤 3、练习（补充）,填空、解答,1确定函数f(x)=x36x2+9x+2单调增区间是 ，单调减区间是 2已知函数f(x)=x2(x3)，则f(x)在R上的单调递减区间是 ，单调递增区间为 3若三次函数f(x)=x3+kx在（，+）内是增函数，则实数k的取值范围是 4、设f(x)=(x1)2，g(x)=x21， (1)写出fg(x)的解析式； (2)求函数fg(x)的单调区间 ,证明可导函数f(x)在(a,b)
6、内的单调性的方法： (1)求f(x) (2)确认f(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论,例 求证函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数,1. 对x(a,b),如果f/(x)0,但f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是增函数;,2. 对x(a,b),如果f/(x)0,但f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是减函数;,补充结论,解：由已知得,因为函数在（0，1上单调递增,练习,P93练习 3、4,例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,(A)
7、,(B),(C),(D),h,t,O,h,t,O,h,t,O,h,t,O,一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.,如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象“平缓”.,例 求证：方程 只有一个根。,知识小结：,一般地，函数yf（x）在某个区间内： 如果 ，则 f(x)在该区间是增函数。 如果 ，则 f(x)在该区间是减函数。,求单调区间的步骤 : （1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f(x)0以及f(x)0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。,f(x)0,f(x)0,导函数f(x)的-与原函数f(x)的增减性有关,正负,思考题,A,作业 1、P98 2 2、求证函数y= 3x2-2x+1 在（13，+）是增函 数,
