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1、,第4章 概率论基本概念,随机事件及其运算,第一节,随机事件,随机事件的概率,随机事件的公理化定义及其性质,条件概率和乘法公式,全概率公式与Bayes公式,试验的独立性与独立试验概型,确定性现象 Certainty phenomena 在101325a的大气压下，将纯净水加热到 100时必然沸腾 垂直上抛一重物，该重物会垂直下落,随机现象 Random phenomena 掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点 抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上 两种不同的结果,什么是概率论,概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科,在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具
2、有某种规律性的事件叫做随机事件(random Events )，简称事件（Events) 随机事件通常用大写英文字母、等表示,例如： 在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上”是一 个随机事件，可用正面向上表示 掷骰子，“出现偶数点”是一个随机事件，试验结果为2，4或6点，都导致“出现偶数点”发生。,随机事件 random Events,A= 硬币正面向上，B=硬币反面向上， C=骰子出现偶点数 必然事件，用 U 表示； 不可能事件，用 表示。 基本事件，必然出现而且只可能出现一个结果的事件，例如A、B C：复合事件。,随机事件 random Events,基本事件与样本空间,样本点 Sampl
3、e Point,样本空间 Sample Space,例：,随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个 样本点 ，记作 ,全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，记作 S 即,S=| 0 T,E4: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命,E2: 射手向一目标射击，直到击中目标为止,E3: 从四张扑克牌J,Q,K,A任意抽取两张。,E1: 掷一颗匀质骰子，观察骰子出现的点数,S=1,2,S=(J,Q),(Q,A),S=1，2，3，4，5，6,写出下列试验的样本空间,点数：一维离散型随机变量,射击次数：一维离散型随机变量,寿命：一维连续型随机变量,二维离散型随机变量,事件的关系与运
4、算,给定一个随机试验，设 S 为其样本空间，事件，Ak ( k =1 , 2 , 3 , . ) 都是 S 的子集,事件,事件之间的关系与事件的运算,集合,集合之间的关系与集合的运算,事件发生必然导致事件发生,子事件 (事件的包含Contain ）,B,A,事件的样本点都是事件的样本点,例如,抛掷两颗骰子，观察出现的点数,A=出现1点,B=出现奇数点,记作,S,相等事件（Equal）,A=B,B,A,事件A与事件B含有相同的样本点,例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点” 与事件“出现2，4或6点”是相等事件。,S,事件A与事件B至少有一个发生,和事件 Union,由事件A与事件B所有
5、样本点组成,多个事件的和,S,积事件Intersection,多个事件的积,由事件和事件的公共样本点组成,S,互斥事件 (互不相容事件) Exclusive,事件A与事件B不能同时发生,事件A与事件B没有公共的样本点,S,对立事件 Contrary,事件A不发生,是由所有不属于A的样本点组成,性质,记作,S,差事件 Difference,由属于事件A但不属于事件B的样本点组成,性质,S,Venn图演示集合的关系与运算,事件之间的运算律,交换律,结合律,分配律,摩根律,完备事件组,完备事件组,S,概率论 集合论 样本空间（必然事件） S 全集 不可能事件 空集 子事件 AB 子集AB 和事件 A
6、B 并集AB 积事件 AB 交集AB 差事件 A-B 差集A-B 对立事件 补集,小 结,（1） 三次都击中目标：,（2） 至少有一次击中目标：,（3） 恰好有两次击中目标：,（4） 最多击中一次：,（5）至少有一次没有击中目标：,（6）三次都没有击中目标：,例：复合事件的表示,练一练,A,B,C为同一样本空间的随机事件， 试用A，B，C的运算表示下列事件,1） A，B，C 都不发生,2） A与B发生，C不发生,3） A，B，C 至少有一个发生,4） A，B，C 中恰有二个发生,5） A，B，C 中至少有二个发生,6） 事件3）的对立事件,第二节 随机事件频率的稳定性和概率,随机事件的频率Fr
7、equency,A=“出现正面”,随机试验,抛掷一枚均匀的硬币,试验总次数n,将硬币抛掷n次,随机事件,事件A出现次数m,出现正面m次,随机事件的频率,德.摩 根,试 验 者,抛 掷 次 数n,出现正面的次数m,出现正面的频率m/n,2048,1061,0.518,蒲 丰,4040,2048,0.5069,皮尔逊,12000,6019,0.5016,皮尔逊,24000,12012,0.5005,维 尼,0.4998,14994,30000,抛掷硬币的试验 Experiment of tossing coin,历史纪录,程序模拟,抛掷硬币模拟试验,随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A 发生的
8、频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数的增加更加明显,频率和概率,频率的稳定性,事件的概率,事件A的频率稳定在数值p，说明了数值p可以用来刻划事件发生可能性大小，可以规定为事件A的概率,对任意事件，在相同的条件下重复进行n次试验，事件发 生的频率 m/n，随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数 附近摆动那么称p为事件的概率,概率的统计定义,当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频率近似的代替事件A的概率,再分析一个例子，为检查某种小麦的发芽情况，从一大批种子中抽取10批种子做发芽试验，其结果如表1-2：,从表1-2可看出，发芽率在0.9附近摆动，随着n的增大，将逐渐稳定在0.9这个数值上.
9、,概率的统计定义,频率 稳定于概率,性质,（1）,（2）,（4）对任何事件A,B,（5）若事件,（6）若事件,非负性：,规范性： (S)=1,可列可加性：,那么，称 为事件的概率,概率的公理 化定义,()0,两两互不相容时,（1 2 ）=（1）+（2）+,证明,由公理 3 知,所以,概率的性质,不可能事件的概率为零,注意事项,但反过来，如果P（A）=0，未必有A=,例如：,一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可能发生。,设A1，A2， , An两两互不相容，则,证明,有限可加性,若 A B，
10、则 P (B A) = P(B) P(A),（）（）（）,差事件的概率,对任意两个随机事件、 ，有,加法定理,加法定理,证明,由于与其对立事件互不相容，由性质2有,而,所以,逆事件的概率,第三节 古典概型,有限性,每次试验中，每一种可能结果的发生的可能性相同，即,古典概型的定义,每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间是个有限集,等可能性,设试验结果共有n个基本事件 ，而且这些事件的发生具有相同的可能性,古典概型的概率计算,确定试验的基本事件总数,事件由其中的m个基本事件组成,确定事件A包含的基本事件数,抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数 , 求“出现的点数是不小于3的偶数”的概率,
11、=“出现的点数是不小于3的偶数”,古典概率的计算：抛掷骰子,事件A,试验,抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数,样本空间,=4，6,S =1，2，3，4，5，6,n=6,m=2,事件A的概率,设在100 件产品中，有 4 件次品，其余均为正品,古典概率的计算：正品率和次品率,n 100,这批产品的次品率,任取3件，全是正品的概率,任取3件，刚好两件正品的概率,mA 4,古典概率的计算： 有放回抽样和无放回抽样,设在10 件产品中，有2件次品，8件正品,A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品”,第一次抽取后，产品放回去,第一次抽取后，产品不放回去,古典概率的计算：投球入盒,把3个小球随机地投入5个盒内
12、。设球与盒都是可识别的。,A=“指定的三个盒内各有一球,B =“存在三个盒，其中各有一球,古典概率的计算：生日问题,某班有50个学生，求他们的生日各不相同的概率（设一年365天）,分析,此问题可以用投球入盒模型来模拟,50个学生,365天,50个小球,365个盒子,相似地有分房问题,房子,盒子,人,小球,生日问题模型,某班有n个学生，设一年N天,则他们的生日各不相同的概率为,至少有两人生日相同的概率为,可能吗？,没问题！,古典概率的计算：抽签,10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A=第五个抽签的学生抽到入场券的概率。,基本事件总数,基
13、本事件总数,第五个学生抽到入场券,另外9个学生抽取剩下9张,所以抽签后千万别和别人说结果！, 0.192,古典概率的计算：数字排列,用1，2，3，4，5这五个数字构成三位数,没有相同数字的三位数的概率,没有相同数字的三位偶数的概率,生活中的数字排列,彩票 买一注7位数中彩票的概率是？ 小概率事件的存在 小概率事件的意义：飞机、火车、汽车的故障率都是小概率事件，小概率事件在一次试验中一般认为不会发生，但是试验次数多就会必然发生。,匹 配 问 题,某人写了4封信和4个信封，现随机地将信装入信封中， 求全部装对的概率。,解 设“全部装对”为事件A,总的基本事件数为 4！,A所包含的基本事件数为 1,
14、所以,概率的古典定义,性质,（1）,（2）,思考题,1、 从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四 只，问能凑成两双的概率是多少？,总的基本事件数：,有利事件数：,解,设“能凑成两双鞋”为事件A,所以，所求概率为,2，掷两颗骰子，求事件“至少有一颗出现 6点”，“点数之和为8”的概率。,解 总的基本事件数为,事件A“至少出现一个6点”所包含的基本事件数为,事件B“点数之和为8”所包含的样本点为,所以,3， 包括甲，乙在内的10个人随机地排成 一行，求甲与乙相邻的概率。若这10个人 随机地排成一圈，又如何呢？,解 总的基本事件数为,排成行时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为,排成圈时，事件“甲乙相邻”
15、的基本事件数为,所求概率为,袋中有20个球，其中15个白球，5 个黑球，从中任取3个，求至少取到一个白球的概率,设表示至少取到一个白球，i 表示刚好取 到i个白球，i0，1，2，3， 则,方法 （用互不相容事件和的概率等于概率之和）,(A)(A123)(1)(2)(3),解,方法 （利用对立事件的概率关系）,例,甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 两人都击中的概率为 0.68 求目标被击中的概率,解,设表示甲击中目标，表示乙击中目标，表示目标被击中， 则, 0.85 0.8 0.68 0.97,例,例,已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在
16、下列两种 情形下分别求出P(A-B)与P(B-A),(1) 事件A,B互不相容,(2) 事件A,B有包含关系,解,(2) 由已知条件和性质3,推得必定有,练一练,投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率（含4和10）.,解 设“两颗骰子的点数之和在4和10”为事件A,总的基本事件数为,所包含的样本点为,所以,练一练,考察甲，乙两个城市6月逐日降雨情况。已知甲城出现雨天的概率是0.3, 乙城出现雨天的概率是0.4, 甲乙两城至少有一个出现雨天的概率为0.52, 试计算甲乙两城同一天出现雨天的概率.,解 设A表示“甲城下雨”，B表示“乙城下雨”,则,所以,练一练,把6个小球随机地投入6个盒内(球,盒 可识别),求前三个盒当中有空盒的概率.,解 设
