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1、此幻灯片可在网址上下载,第11讲,概率论与数理统计讲义,第五节 两个随机变量的函数的分布,如果已知二维随机变量(X,Y)的联合分布，怎样求随机变量X和Y的函数Z=g(X,Y)的分布，这是本节要讨论的问题。与第二章第五节的求一维随机变量的函数的分布相比较，这一类问题要复杂一些，但其基本方法仍然是适用的。换一个角度，就下面几个具体的函数，我们来讨论两个随机变量的函数的分布。,(一)Z=X+Y的分布设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为PX=xi,Y=yj=pij,i=1,2, j=1,2,若随机变量Z是X与Y的和，即Z=X+Y，则Z的任一可能值zk是X的可能值xi和Y的可能值yj的和：zk=xi
2、+yj由上式及概率的加法公式，有,或者,例1 设二维随机变量(X,Y)的分布律为,试求Z=X+Y的分布律. 解 由X,Y可能取的值知Z的可能值为: -1,0,1,2,且有 PZ=-1=PX=0,Y=-1=0.1 PZ=0=PX=0,Y=0+PX=1,Y=-1=0.2+0.3=0.5 PZ=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0=0.1+0.1=0.2 PZ=2=PX=1,Y=1=0.2,Z=X+Y. 即Z的分布律为,对于连续型随机变量, 若(X,Y)的概率密度为f(x,y), 则Z=X+Y的分布函数为,x,y,x+y=z,O,化成累次积分, 得,于是,上式两边对z求导数, 即得Z的概率密度,由
3、X,Y的对称性, fZ(z)又可写成,特别地, 当X和Y相互独立时, 我们有,(5)式或(6)式称为卷积公式.,例2 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 它们都服从正态分布N(0,1), 其概率密度为,求Z=X+Y的概率密度.,解 由(6)式,即Z服从N(0,2)分布.,例3 设随机变量X,Y相互独立, 其概率密度分别为,求随机变量Z=X+Y的概率密度. 解法1 利用公式,由fX,fY的定义知, 仅当,时, 上述积分的被积函数才不等于零.,x=1,x=z,z,x,O,如图可知,即有,解法2 由已知, (X,Y)的概率密度为,则z的分布函数为,x,y,O,1,x,y,O,1,当z0时, FZ(z
4、)=0.当0z1时,当z1时,综合上述Z的分布函数,故Z=X+Y的概率密度为,(二)Z=XY的分布例4 设二维随机变量(X,Y)在矩形域G=(x,y)|0 x2,0y1上服从均匀分布, 试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s).解 由已知, (X,Y)的概率密度为,令F(s)为S的分布函数, 则,显然，当s0时, F(s)=0; 当s2时，F(s)=1.,当0s2时，如图所示，有,于是,故S的概率密度为,(三) M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y). 现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)
5、的分布函数.由于事件“max(X,Y)不大于z”等价于事件“X和Y都不大于z”, 则PMz=PXz,Yz.而X和Y相互独立, 得到M=max(X,Y)的分布函数为Fmax(z)=PMz=PXz,Yz=PXzPYz即Fmax(z)=FX(z)FY(z)(7),类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数为Fmin(z)=PNz=1-PNz=1-PXz,Yz=1-PXzPYz即Fmin(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)(8)上述结果容易推广到n个相互独立的随机变量的情况。,特别地, 当X1,X2,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有Fmax(z)=F(z)n,(11)Fmin(z)=1
6、-1-F(z)n(12),例5 设某种型号的电子元件的寿命(以小时计)近似服从N(160,202)分布, 随机地选取4只, 求其中没有一只寿命小于180小时的概率.解 将随机选出的4只电子元件的寿命分别记为T1,T2,T3,T4. 按题意，TiN(160,202), i=1,2,3,4, 其分布函数为F(t).令T=min(T1,T2,T3,T4), 由(12)式得出FT(t)=PTt=1-1-F(t)4.于是 PT180=1-PT180=1-F(180)4依据第二章第四节的引理知,故所求的概率为 PT180=1-F(1)4=(1-0.8413)4=(0.1587)4=0.000634,作业:第82页开始习题3-5, 第1,4题,
