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1、第六章不等式推理与证明 (理)五年新课标全国卷试题分析 高考考点分布示例图命题特点 1.高考在本章一般命制 12 道小题，分值 510 分2.在高考中主要考查一元二次不 等式的解法，常与集合相结合，简单的线性 规划求最值、范围；或由最值求参数、或考 查非线性最值问题 3.基本不等式较少单独考查、有时在解三角 形、导数与函数、解析几何等问题中会用到 基本不等式求最值(或范围) (文)五年新课标全国卷试题分析 高考考点分布示例图命题特点 1.高考在本章一般命制 12 道小题，分值 510 分 2.在高考中主要考查一元二次不等式的解法， 常与集合相结合，简单的线性规划求最值、 范围；或由最值求参数、
2、或考查非线性最值 问题 3.基本不等式较少单独考查、有时在解三角 形、导数与函数、解析几何等问题中会用到 基本不等式求最值(或范围) 第一讲第一讲不等关系与不等式不等关系与不等式 Z 知识梳理 hi shi shu li 1实数的大小与运算性质的关系 (1)ab_ab0_； (2)ab_ab0_； (3)ab_abbbb，bc_ac_； (3)同向可加性：abac_bc；ab，cdac_bd； (4)同向同正可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd； (5)可乘方性：ab0an_bn(nN，n2)； (6)可开方性：ab0(nN，n2) n a n b Z 重要结论 ho
3、ng yao jie lun 1ab，ab0 . 1 a 1 b 2a0b b0,0c . a c b d 40axb 或 axb0 b0，m0，则 (bm0)； ； 0) b a bm am b a bm am a b am bm a b am bm S 双基自测 huang ji zi ce 1(必修 5P74T3)下列四个结论，正确的是(C) 导学号 58532882 ab，cbd； ab0，cdbd； ab b. 3 a 3 b AB CD 解析利用不等式的同向可加性可知正确；对根据不等式的性质可知 acb，但 1 3 1 a ，故不正确，故选 C 1 b 2(课本改编)若 m0 且
4、mn0，则下列不等式中成立的是(D) 导学号 58532883 AnmnmBnmmn CmnmnDmnnm 解析解法一：(取特殊值法)令 m3，n2 分别代入各选项检验即可 解法二：mn0mnnm，又由于 m0n，故 mnnb，cd，则 acbd B若 acbc，则 ab C若，则 ab，cd，则 acbd 解析取 a2，b1，c1，d2，可知 A 错误；当 cbcab，B 错误；0，ab，C 正确；取 a c2 b c2 ac2，bd1，可知 D 错误 4若角 ， 满足 ，则 的取值范围是(B) 2导学号 58532885 A(，)B(，0) 3 2 3 2 3 2 C(0，)D( ，0)
5、3 2 2 解析 ， ， 2 2 ，. 2 3 2 3 2 又a，0，从而b 成立的充 要条件是(D) 导学号 58532886 A|a|b|B 1 a 1 b Ca2b2D2a2b 解析ab|a|b|，如 a2，b5，故 A 错； ab ，如 a2，b1，故 B 错； 1 a 1 b aba2b2，如 a1，b3，故 C 错选 D 另解：y2x是单调增函数，ab2a2b.故选 D 考点 1比较代数式的大小 例 1 (1)若 xy0，b0，且 ab，试比较 aabb与 abba的大小；导学号 58532888 (3)若 ab0，试比较与的大小. abab导学号 58532889 分析(1)可用
6、求差比较法；(2)可用求商比较法；(3)因为与均为正数，可 abab 以平方后再比较大小 解析(1)(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)(x2y2)(xy)2 2xy(xy)xy0，xy0.(x2y2)(xy)(x2y2)(xy) (2)aabbba( )ab.当 ab0 时， 1，ab0，( )ab1，aabbabba；当 aabb abba a b a b a b ba0 时，0 1，ab1，aabbabba. a b a b (3)ab0，0，0，又()2()2ab(ab2)2 ababababab 2b，ab0，b，22b0，即()2()2， ababababababab
7、. ab 引申本例(2)的条件下 aabb_(ab). a + b 2 名师点拨 比较两个代数式的大小，常用的方法有两种，一种是作差法，解题步骤是：作差变形 与 0 比较，变形的方法主要有通分、因式分解、配方等，变形的目的是为了更有利于判断 符号另一种是作商法，解题步骤是作商变形与 1 比较作商法通常适用于两代数式同 号的情形注意若 1，b0，则 ab；比较两式大小时可以先赋值判断两式大小关系， a b 以明确比较时变形的方向；注意函数单调性在比较大小中的应用 变式训练 1 (1)若 a，b，c，则(B) ln3 3 ln4 4 ln5 5导学号 58532890 AabcBcba CcabD
8、ba0，q0，前 n 项和为 Sn，则与的大小关系为 S3 a3 S5 a5 _0，ab，同理 bc，ab0， 4ln33ln4 12 ln81 64 12 故选 B 解法二：(作商法) ，ln81ln640， 1，即 ab.同理 bc，abc. a b 4ln3 3ln4 ln81 ln64 a b 故选 B 解法三：(函数单调性法)构造函数 f(x).f(x). lnx x 1lnx x2 易知当 xe 时，函数 f(x)单调递减 因为 e34f(4)f(5)， 即 cba，故选 B (2)当 q1 时，3，5，所以0 且 q1 时， 0，所以有. S3 a3 S5 a5 a11q3 a1
9、q21q a11q5 a1q41q q21q31q5 q41q q1 q4 S3 a3 S5 a5 综上可知. S3 a3 S5 a5 秒杀解法：依据题意不妨取 an1，则3，5. S3 a3 S5 a5 S3 a3 S5 a5 考点 2不等式的性质 例 2 (1)(2018山东德州期中)已知 abc 且 abc0，则下列不等式恒成立的 是(C) 导学号 58532892 Aa2b2c2Bab2cb2 CacbcDabb 成立的充分而不必要的条件是 (B) 导学号 58532893 Aab1Ba2b2 Cab1Da3b3 (3)(2017广东深圳调研)已知 ab0，cbcBacbc Cloga
10、(ac)logb(bc)D a ac b bc 分析(1)由已知条件可判断出 a、b 的符号，然后由不等式的性质求解； (2)利用充要条件定义判断； (3)利用不等式性质和函数单调性求解，或用赋值法 解析(1)abc 且 abc0 a0 ab，acb1ab，排除 A； 当 a2，b1 时，a2b2ab，排除 B ab1ab 但 abab1 故 ab1 是 ab 的充分不必要条件；a3b3ab，故选 C (3)解法一：(赋值法)不妨取 a2，b1，c1，则 ac2bc1，A 错； ac b，c0，acbc，A 不正确；cb0，acb0，cbc0 abacabbcacb，故选 D a ac b b
11、c 名师点拨 (1)在判断一个关于不等式命题的真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来 考虑，找到与命题相近的性质，并根据性质判断命题的真假，有时还要用到其他知识，如本 例中幂函数、对数函数的性质等 (2)在应用不等式的性质时，不可以强化或弱化不等式成立的条件，如“同向不等式” 才可以相加， “同向正数不等式”才可以相乘 (3)在不等关系的判断中，赋值法是非常有效的方法 变式训练 2 (1)(2014四川)若 ab0，cdB D y0，则(C) 导学号 58532896 A 0Bsinxsiny0 1 x 1 y C( )x( )y0 1 2 1 2 (3)(2018山西 45 校联考)
12、下列选项中，的一个充分不必要条件的是 ab (B) 导学号 58532897 A Blgalgb 1 a 1 b Ca2b2Deaeb 解析(1)由 cd0 0，又 ab0，故由不等式性质，得 1 d 1 c 1 d 1 c 0，所以 y0，取 x1，y ，则 1210，排除 A；取 x，y ，则 1 2 1 x 1 y 2 sinxsinysinsin 1y0，所以( )x( )y，即( )x( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ylgbab0，但lgalgb，如 abab a1，b0.故选 B 考点 3利用不等式的性质求范围问题 例 3 (1)已知1x4,2y3，则 xy 的取值
13、范围是_(4,2)_,3x2y 的取值范 围是_(1,18)_.导学号 58532898 (2)(2017青岛模拟)设 f(x)ax2bx，若 1f(1)2,2f(1)4，则 f(2)的取值范围 是_5,10_.导学号 58532899 分析(1)应用同向不等式可以相加这一性质求解； (2)用 f(1)和 f(1)表示 f(2)，也就是把 f(1)，f(1)看作一个整体求 f(2)，或用待定 系数法求解 解析(1)1x4,2y3，3y2，4xy2. 由1x4,2y3，得33x12,42y6, 13x2y18. (2)yf(x)ax2bx，f(1)ab，f(1)ab. 解法一：(待定系数法)设
14、f(2)mf(1)nf(1)， 又 f(2)4a2b， 所以 4a2bm(ab)n(ab)(mn)a(nm)b， 可得Error!Error!解得Error!Error! 所以 f(2)3f(1)f(1) 又 1f(1)2,2f(1)4， 所以 53f(1)f(1)10. 故 5f(2)10. 解法二：(运用方程思想)由Error!Error! 得Error!Error! 所以 f(2)4a2b3f(1)f(1) 又 1f(1)2,2f(1)4， 所以 53f(1)f(1)10. 故 5f(2)10. 名师点拨 若题目中所给范围的式子比较复杂，一定要把这样的式子当成一个整体，利用待定系数 法求
15、解，在解题过程中还要注意不等式链中的隐含条件，如 ab 中，千万不要忽略 这一条件本例(2)中若直接求出 a，b 范围，再求 f(2)范围，会因扩大范围而出错 变式训练 3 (1)已知 12a60,15b36，则 的取值范围是_( ，4)_. a b 1 3导学号 58532900 (2)已知 1ab5，1ab3，则 3a2b 的取值范围是_(2,10)_. 导学号 58532901 解析(1)15b36，b，又12a60. ，即 4； 1 36 1 15 12 36 a b 60 15 1 3 a b (2)设 3a2bm(ab)n(ab)， 则 3a2b(mn)a(mn)b， Error!Error!解得Error!Error! 3a2b (ab) (ab) 1 2 5 2 又1ab5，1ab3， (ab) ， (ab). 1 2 1 2 5 2 5 2 5 2 15 2 23a2b10. 不等式性质的综合运用 高考试题中，对不等式性质的考查时有出现，题型为选择题或填空题，内容主要有以下 两个方面：一是单独命题，考查命题真假判断、充要条件、大小比较等问题；二是与函数的 性质相结合考查 例 4 (2018湖北省重点高中联考协作体期中)已知 0cab0，下列不等式成 立的是(D) 导学号 58532902 AcacbBabcDlogaclogbc 分析构
