《高考数学一轮复习 第10单元第64讲 圆锥曲线的综合应用课件 理 湘教》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮复习 第10单元第64讲 圆锥曲线的综合应用课件 理 湘教(39页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第64讲 圆锥曲线的综合应用,2,掌握探究与圆锥曲线相关的最值问题、定点与定值问题、参变数取值范围问题的基本思想与方法,培养并提升运算能力和思维能力.,3,1.已知R,则不论取何值,曲线C:x2-x-y+1=0恒过定点( ),D,A.(0,1) B.(-1,1) C.(1,0) D.(1,1),由x2-x-y+1=0,得(x2-y)-(x-1)=0. x2-y=0 x=1 x-1=0 y=1, 可知不论取何值,曲线C过定点(1,1).,依题设,即,解析,4,B,解析,5,B,解析,6,7,4.双曲线x2-y2=4上一点P(x0,y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q,已知O为坐标原点,则P
2、OQ的面积为定值 .,1,如图,双曲线x2-y2=4的 两条渐近线为y=x, 即xy=0. 又|PQ|= , |PR|= , 所以SPOQ= |PQ|PR|= =1.,解析,8,1.基本概念 在圆锥曲线中,还有一类曲线系方程,对其参数取不同值时,曲线本身的性质不变;或形态发生某些变化,但其某些固有的共同性质始终保持着,这就是我们所指的定值问题.而当某参数取不同值时,某几何量达到最大或最小,这就是我们指的最值问题.曲线遵循某种条件时,参数有相应的允许取值范围,即我们指的参变数取值范围问题.,9,2.基本求法 解析几何中的最值和定值问题是以圆锥曲线与直线为载体,以函数、不等式、导数等知识为背景,综
3、合解决实际问题,其常用方法有两种: (1)代数法:引入参变量,通过圆锥曲线的性质,及曲线与曲线的交点理论、韦达定理、方程思想等,用变量表示(计算)最值与定值问题,再用函数思想、不等式方法得到最值、定值;,10,(2)几何法:若问题的条件和结论能明显的体现几何特征,利用图形性质来解决最值与定值问题. 在圆锥曲线中经常遇到求范围问题,这类问题在题目中往往没有给出不等关系,需要我们去寻找.对于圆锥曲线的参数的取值范围问题,解法通常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时,11,可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(如双曲线的范围,直线与圆锥曲线相交时0等),通过解不等式(组)求
4、得参数的取值范围;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时,则可先建立目标函数,进而转化为求解函数的值域.,12,题型一 定点、定值问题,已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一动点,且满足| | |= . (1)求点P的轨迹C的方程; (2)已知点M(m,2)在曲线C上,过点M作直线l1、l2与C交于D、E两点,且 l1、l2的斜率k1、k2满足k1k2=2,求证:直线DE过定点,并求此定点.,例1,13,(1)设P(x,y),则 =(1-x,-y), =(-1-x,-y), =(-2,0), =(2,0). 因为| | |= , 所以 2=2(x+1),即y2=4x, 所以点P的
5、轨迹C的方程为y2=4x . (2)证明:由(1)知M(1,2),设D( ,y1),E( ,y2), 所以k1k2= =2, 整理得(y1+2)(y2+2)=8. ,解析,14,kDE= = =k,所以y1+y2= . 由知y1y2=4- , 所以直线DE的方程为y-y1= (x- ), 整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0, 即4x- y+4- =0,即(x+1)k-(y+2)=0, 所以直线DE过定点(-1,-2).,15,与圆锥曲线有关的定点问题的探求一般途径是恰当引入参变量,将题设转化为坐标关系式,然后通过分析参变量取符合题设条件的任何一个值时,坐标关系式恒成立的条件,而获得定点
6、坐标.,评析,16,如图,F1(-3,0),F2(3,0)是双曲线C的两焦点,其一条渐近线方程为y= x,A1、A2是双曲线C的两个顶点,点P是双曲线C右支上异于A2的一 动点,直线A1P,A2P交直线 x= 分别于M、N两点. (1)求双曲线C的方程; (2)求证: 是定值.,素材1,17,(1)由已知,c=3, = . 又c2=a2+b2,所以a=2,b=5. 所求双曲线C的方程为 =1. (2)证明:设P的坐标为(x0,y0),M、N的纵坐标分别为y1、y2, 因为A1(-2,0),A2(2,0), 所以 =(x0+2,y0), =(x0-2,y0), =( ,y1), =(- ,y2)
7、.,解析,18,因为 与 共线, 所以(x0+2)y1= y0,y1= . 同理y2=- . 因为 =( ,y1), =(- ,y2), 所以 =- +y1y2=- - =- - =-10,为定值.,19,设F1、F2分别是椭圆 +y2=1的左、右焦点. (1)若P是该椭圆上的一个动点,求 的最大值与最小值; (2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.,例2,题型二 最值与范围问题,20,(1)由方程易知a=2,b=1,c= , 所以F1(- ,0),F2( ,0). 设P(x,y),则 =(- -x,-y)(
8、 -x,-y) =x2+y2-3 =x2+1- -3 = (3x2-8). 因为x-2,2,所以0 x2, 故,解析,21,(2)显然直线x=0不满足题设条件, 可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+2 +y2=1,消去y,整理得 (k2+ )x2+4kx+3=0. 所以x1+x2= ,x1x2= . 由=(4k)2-4(k2+ )3=4k2-30, 解得k 或k- . ,联立方程组,22,又00, 得 0, 所以 =x1x2+y1y20. 又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4 = + +4= . 所以 + 0,即k
9、24. 结合、知,k的取值范围是(-2,- )( ,2).,23,圆锥曲线中求最值与范围问题是高考题中的常考问题,解决此类问题,一般有两个思路:(1)构造关于所求量的不等式,通过解不等式来获得问题的解(如本题第(2)问);(2)构造关于所求量的函数,通过求函数的值域来获得问题的解(如本题第(1)问).在解题的过程中,一定要深刻挖掘题目中的隐含条件,如判别式大于零等.,评析,24,素材2,解析,25,26,题型三 圆锥曲线综合问题,例3,27,解析,28,评析,29,抛物线有光学性质,由其焦点射出的光线经抛物线折射后,沿平行于抛物线的对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p0),一光源在点M
10、( ,4)处, 由其发出的光线沿平行于抛 物线的对称轴的方向射向抛 物线上的点P,折射后又射向 抛物线上的点Q,,30,再折射后,又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出,途中遇到直线l:2x-4y-17=0上的点N,再折射后又射回点M. (1)设P、Q两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),证明:y1y2=-p2; (2)求抛物线的方程; (3)试判断在抛物线上是否存在一点,使该点与点M关于PN所在的直线对称?若存在,请求出此点的坐标;若不存在,请说明理由.,31,解析,(1)证明:由抛物线的光学性质及题意知,光线PQ必过抛物线的焦点F( ,0),设直线PQ的方程为y=k(x- ). 由式
11、得x= y+ ,将其代入抛物线的方程y2=2px中,整理得y2- y-p2=0, 由韦达定理得y1y2=-p2. 当直线PQ的倾斜角为90时,将x= 代入抛物线方程得y=p,同样得到y1y2=-p2.,32,(2)设光线QN经直线l反射后又射向M点, 所以直线MN与直线QN关于直线l对称. 设点M( ,4)关于l的对称点为M(x,y), =-1 x= -17=0 y=-1.,则,解得,33,直线QN的方程为y=-1,Q点的纵坐标为y2=-1. 由题设P点的纵坐标为y1=4, 由(1)知y1y2=-p2,则4(-1)=-p2得p=2, 故所求抛物线的方程为y2=4x. (3)将y=4代入y2=4
12、x得x=4, 故P点的坐标为(4,4). 将y=-1代入直线l的方程2x-4y-17=0, 得x= ,故N点的坐标为( ,-1). 由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y-12=0.,34,设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1), (-2)=-1 x1= -12=0 y1=-1, 即M1( ,-1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解, 故抛物线上存在一点( ,-1)与点M关于直线PN对称.,则,解得,35,36,1.若探究直线或曲线过定点,则直线或曲线的表示一定含有参变数,即直线系或曲线系,可将其方程变式为f(x,y)+g(x,y)=0(其中为参变数),由 f(x,y)=0 g(x,y)=0确定定点坐标.,37,2.在几何问题中,有些几何量与参变数无关,即定值问题,这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值,然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形. 3.解析几何中的最值问题,或数形结合,利用几何性质求得最值,或依题设条件列出所求最值关于某个变量的目标函数,然后应用代数方法求得最值.,38,错解,39,错解分析,正解,