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1、高中数学人教A版选修22第二章,四川省成都市新都一中 肖 宏,No.1 middle school ，my love ！,A，B，C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A，B都撒谎.则C必定是在撒谎，为什么?,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,预学1:反证法的概念 假定命题结论的反面成立，在这个前提下，引用一系列论据进行正确推理，若推出的结果与已有公理、定理、定义相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证
2、明方法叫作反证法.,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,练一练:应用反证法导出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用:结论相反的判断，即假设;原命题的条件;公理、定理、定义等;原结论.(). A.B.C.D. 【答案】C,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,预学2:反证法的证题步骤,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,练一练:反证法是(). A.从结论的反面出发，推出矛盾的证法 B.对其否命题的证明 C.对其逆命题的证明 D.分析法的证明方法 【答案】A,No.1 mid
3、dle school ，my love ！,第4课时反证法,预学3:常见的“原结论词”与“假设词”,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,练一练:否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(). A.有一个解B.有两个解 C.至少有三个解D.至少有两个解 【答案】C,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,预学4:适合用反证法证明的试题类型 (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论; (3)结论为“至少”“至多”“有无穷多个”类命题; (4)结论为“唯一”类命题. 想一想:设实数a，b，c满足abc1，则a，b，
4、c中至少有一个不小于. 【答案】 ,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,1.用反证法证明否定性命题 例1、已知a，b，c(0，1)，求证:三个数(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于 . 【方法指导】证明三个数不能同时大于某数，这种否定性命题不容易从正面入手，可用反证法求证.先假设三个数都大于某数，然后利用均值不等式推出矛盾.,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,【解析】假设三个数同时大于 ， 即(1a)b ，(1b)c ，(1c)a ， 因为a，b，c(0，1)， 所以上述三个不等式同向相乘， 得(1a)
5、b(1b)c(1c)a ，,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,又(1a)a( )2 ， 同理，(1b)b ，(1c)c ， 所以(1a)b(1b)c(1c)a ， 这与假设矛盾，故原命题得证.,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,变式训练1、已知函数f(x)ax (a1)，用反证法证明方程f(x)0没有负实数根. 【解析】假设存在x00(x01)满足f(x0)0，则 . 又0 1，所以0 1，解得 x02，这与假设矛盾. 故x00不成立，故方程f(x)0没有负实数根.,No.1 middle school ，my
6、 love ！,第4课时反证法,2.用反证法证明几何命题 例2、求证:若两条平行直线中的一条与平面相交，则另一条也与平面相交. 【方法指导】直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的否定形式不止一种，需一一驳倒，才能推出命题的结论正确.,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,【解析】已知直线ab，且直线a与平面相交，求证:直线b与平面相交.假设直线b与平面不相交，则必有下面两种情况:(1)直线b在平面内.由ab，a平面，得a平面，与题设矛盾;(2)直线b平面.在平面内有直线b，使bb.而ab，故ab，因为a平面，所以a平面，这也与题设矛
7、盾. 综上所述，直线b与平面相交.,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,变式训练2、设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证:AC与平面SOB不垂直. 【解析】假设AC平面SOB，如图所示. 因为SO在平面SOB内， 所以SOAC. 因为SO底面圆O， AB在底面圆O内，所以SOAB.,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,又AC与AB交于点A，SO不在平面ABC内，所以SO平面ABC，所以SO平面SAB. 所以平面SAB底面圆O. 这显然矛盾，所以假设不成立， 即AC与平面SOB不垂直.
8、,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,3.用反证法证明至多、至少等形式的命题 例3、已知a，b，c为正数，求证:三个数a ，b ，c 中至少有一个不小于2. 【方法指导】结论含有的“至少”提示我们可用反证法，注意“至少有一个”的反面是“一个也没有”.,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,【解析】假设这三个数都小于2， 即a 2，b 2，c 2， 将上述三个不等式相加， 得a b c 6. 又a 2，b 2，c 2， 所以a b c 6. 显然与矛盾， 所以三个数a ，b ，c 中至少有一个不小于2.,No.1 mi
9、ddle school ，my love ！,第4课时反证法,变式训练3、若a，b，c均为实数，且ax22y ，by22z ，cz22x ，求证:a，b，c中至少有一个大于0.,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,【解析】假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0， 所以abc0. 而abc (x22y )(y22z )(z22x ) (x22x)(y22y)(z22z) (x1)2(y1)2(z1)2330， 这与abc0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.,1.用反证法证明数学命题的四个步骤 第一步:分清命题的条件和结论; 第二步:写出与命题结论
10、相矛盾的假设; 第三步:由假设出发，推出矛盾的结果; 第四步:断定产生矛盾结果的原因在于假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真.,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,2.适宜用反证法证明的数学命题 (1)结论本身是以否定形式出现的一类命题; (2)关于唯一性、存在性的命题; (3)结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题; (4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题; (5)一些基本命题、定理.,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的
11、正弦值，那么(). A.A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形 B.A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形 C.A1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形 D.A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,【解析】由条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形.假设A2B2C2是锐角三角形， 由 ( )， ( )， ( )，,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,得 ， ， ， 所以A2B2C2 ，这与三角形内角和为180相矛盾，所以假设不成立.又A2B2C2不能为直角三角形，所以A2B2C2是钝角三角形. 【答案】D,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,No.1 middle school ，my love ！,第4课时反证法,No.1 middle school ，my love ！,作业：见固学案,第4课时反证法,Thanks,2017年3月20日,No.1 middle school ，my love ！,
