武汉大学《电磁场理论》复习题集

《武汉大学《电磁场理论》复习题集》由会员分享，可在线阅读，更多相关《武汉大学《电磁场理论》复习题集（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、考试复习重点资料（最新版）考试复习重点资料（最新版） 封封 面面 第1页 资料见第二页资料见第二页 思考与练习一思考与练习一 1证明矢量32 zyx eeeA和 zyx eeeB相互垂直。 2. 已知矢量1.55.8 zy e e A和4936 zy e . e B，求两矢量的夹角。 3. 如果 0 zzyyxx BABABA ，证明矢量 A 和 B 处处垂直。 4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的一般表达式。 5根据算符的与矢量性，推导下列公式： BABAABABBA)( AAAAA 2 2 1 HEEHHE 6设u是空间坐标z , y, x的函数，证明： u du df uf)(， d

2、u d uu A A ， du d uu A A ，0z , y, xA。 7设 222 )()()(zzyyxxRrr为源点 x 到场点 x 的距离，R 的方向规 定为从源点指向场点。证明下列结果， R RR R ， 3 11 RRR R ， 0 3 R R ， 0 33 RR RR )0(R（最 后一式在0R点不成立） 。 8. 求)sin( 0 rkE及)sin( 0 rkE，其中 0 Ea,为常矢量。 9. 应用高斯定理证明 vsd dVfsf，应用斯克斯（Stokes）定理证明 sLdl dS。 10.证明 Gauss 积分公式 sV dvd 2 s 。 11. 导 出 在 任 意

3、正 交 曲 线 坐 标 系 中 321 q ,q ,qF、 321 q ,q ,qF、 321 2 q,q,qf的表达式。 12. 从梯度、散度和旋度的定义出发，简述它们的意义，比较它们的差别， 导出它们在正交曲线坐标系中的表达式。 思考与练习二思考与练习二 1. 证明均匀线电荷密度圆环在圆环平面内任意点的电场强度为零。求圆环 平面外任意点的电场的表达式。 2. 有一内外半径分别为 1 r和 2 r的空心介质球，介电常数为，使介质内均 匀带静止自由电荷密度为 f ，求空间电场及极化体电荷和极化面电荷分布。 3. 已知一个电荷系统偶极矩定义为 V Vd)t ,trrP()(，利用电荷守恒定律 证

4、明P的变化率为 V Vdt , dt d )(rJ P 。 4. 内外半径分别为 1 r和 2 r的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由 电流 f J，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。 5. 证明均匀介质内极化电荷密度 p 等于自由电荷密度 f 的 0 1 倍。 6. 简述 Maxwell 方程组各式所对应的实验定律，式中各项的物理意义。为什 么说 Maxwell 方程组预言了电磁场具有波动的运动形式。 7. 利用 Maxwell 方程组，导出电荷守恒定律的表达式。 8. 何谓位移电流，说明位移电流的物理实质及意义，比较传导电流和位移电 流之间的异同点。 9. 证明 Maxwel

5、l 方程组的四个方程中只有两个是独立的，利用两个独立方程 组导出电磁场的波动方程。 10. 利用电磁场与介质相互作用的机理，分析介质在电磁场中的性质，并根 据介所表现出的质宏观特性进行分类。 11. 证明当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场力线的曲折满 足 1 2 1 2 tan tan ，其中 1 和 2 分别为两种介质的介电常数， 1 和 2 分别为界面两侧 电场线与法线的夹角。 12. 假设自然界存在磁荷，磁荷的运动形成磁流。又假设磁荷产生磁场同电 荷产生电场满足同样的实验定律； 磁流产生电场同电流产生磁场满足同样的实验 定律。请导出在这一假设前提下的 Maxwell 方程组表

6、达式。 思考与练习三思考与练习三 1. 利用电场 Gauss 定律分别求电荷面密度为 s 的无穷大导体板和半无穷大 导体在上半空间导体平面附近产生的电场，比较所得到结果的差别。你能从这一 差别中得到什么结论。 面电荷密度 s （a） 无穷大导体薄板（b）半无穷大导体 2. 求如图所示的一同轴线如图所示，内外导体的半径分别为a和b，将其与 电压为V电源相连接， 内导体上的电流强度为I。 求同轴线内电场和磁场的分布， 计算穿过两导体间常数平面单位长度上的磁通量。 b V 3. 证明在无电荷分布的区域，电位既不能达到极大值，也不能达到极小值。 4. 平行板电容器内有两层介质，厚度分别为l1和l2，介

7、电常数为 1 和 2 ， 今在两板极接入电动势为的电池，求 （1）电容器两板上的自由电荷面密度 f ； （2）介质分界面上的自由电荷面密度 f 。 若介质是漏电的，电导率分别为 1 和 2 ，当电流达到恒定时，上述两个结 果如何？ 5. 电位函数在理想导体边界上有两种表述形式： （1）（常数） 0 ； （2） s n 。指出这两个边界条件所对应的物理模型和导体所处的状态。 6. 一长为 l 的圆筒形电容器，内外半径分别为 a 和b，两导体之间充满了介 电常数为的介质。 （1）当电容器带电荷量 Q 时，忽略边缘效应，求电容器内电场的分布； （2）求电容器的电容； （3）假设将电容器接到电压为 V

8、 电源上，并且电容器内介质被部分的拉出 电容器，忽略边缘效应，求介质受到的作用力的大小和方向。 7. 比较恒定电流的电场与静电场的异同点，证明当两种导电介质内流有恒 定电流时，分界面上电场力线的曲折满足 1 2 1 2 tan tan ，其中 1 和 2 分别为两种介 质的电导率。 8. 面偶极层为带等量正负面电荷密度而靠得很近的两个面所形成面偶 极层，定义为：lP 0 lim l 。证明下述结果： （1）在面电荷两侧，电位法向微商 有跃变，而电位是连续的。 （2）在面偶极层两侧，电位有跃变P n 0 12 1 。而 电位法向微商是连续的。 9. 证明在试用A表示一个沿z方向的均匀恒定磁场B0

9、，写出A的两种不同 表示式，证明二者之差为无旋矢量场。 10. 证明两载有恒定电流的闭合线圈之间的相互作用力的大小相等， 方向相 反（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律） 。 11. 已知某个磁场的磁矢势 2 0 B e A ，其中B0是常数。证明该磁场是 均匀的。 12. 在什么样的情况下，可以用磁标位描述磁场，磁标位满足什么样的方程 和边界条件。 13. 电阻、 电容和电感是电路理论中基本元件， 它们反应的是什么特性参数， 表达了导电介质和导体系统的什么性质。 14. 总结静电场、恒定电流电场和恒定电流磁场的基本性质，分析它们性质 的异同点。 思考为什么静态电磁场 （包括

10、静电场、 恒定电流电场和恒定电流磁场） 满足同样类型的数学物理方程。 思考与练习四思考与练习四 1. 设有无穷长的线电流I沿z轴流动， 在Z0的区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度B，然后求出磁化 电流分布。 2. 总结分离变量方法的基本步骤，讨论分离变量方法应用的前提，分析分 离变量方法的基本思想，概括分离变量方法的实质，归纳常用的三个坐标系中分 离变量方法的基本方程。 3. 在均匀外电场中置入半径为a的导体球，用分离变量法求导体球上电势 0 和导体球带总电荷Q两种情况下的电位函数（设未置入导体球前坐标原点的 电位为 0 ） 。 4. 在很大的电解槽中充满电导率为 2 的液体， 使其中流有

11、均匀的电流 0f J， 今在液体中置入一个电导率为 1 的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布，讨 论 21 及 12 两种情况的电流分布的特点。 5. 在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部（如图） ，半球的球心在导 体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，并与平面相距为)(abb，试用镜象法 求空间电位。 V0 bV0 a 第 6 题图第 7 题图 6. 如图所示，求解两同轴圆锥面之间区域内电场分布。已知外圆锥面的电 位为零，内圆锥面的电位为V0。在两圆锥的顶点绝缘。 7. 一块极化介质的极化矢量为 rp，根据电偶极子静电位的公式，极化介 质所产生的电位为 Vd r V 3 0 4 1rrp

12、 ， 另外， 根据极化电荷公式 rP P 及P n p ，极化介质所产生的电势又可表为 sV r d Vd r 00 44 SrPrP 证明以上两式是等同的。 8. 简述Green函数方法的基本思想，证明静电场的电位可以表示为： sd n ,g n ,gdV,g sv rr rrrrrr 0 上述公式中rr,g为 Green 函数。 分析上式右边三项来自何种物理量的贡献。 如何理解这三种物理量对静电场的贡献是一致的。 9. 简述镜象法的基本原理，归纳镜象法的基本原则，思虑镜象法的应用 条件。用镜象法求接地导体圆柱壳(半径为R)内线电荷源在圆柱内部空间的电 位。设线电荷密度为 f ,位于圆柱空间

13、内Raa。 10.接地的空心导体的内外半径为 1 R和 2 R，在球内离球心为)( 1 Raa处 置一点电荷Q，用镜象法求电势，导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面 还是在外表？ 12. 一无穷大接地导体平面外有一电偶极矩P P，P P到导体平面的距离为 a， 与导体平面法线方向的夹角为，如图所示。求电偶极矩P P所受到的作用力。 P a 13. 有一个内外半径为 1 R和 2 R的空心球，位于均匀外磁场 0 H内，球的磁 导率为，求空腔内的场B，讨论 0 时的磁屏蔽作用。 14. 将解析函数的性质与静电场性质进行比较，分析解析函数表示静电场 的可能性。应用解析函数方法求无穷长导体条横截面积

14、内电位的分布。已知导体 条的电位为V0。 y V -aax 思考与练习五思考与练习五 1. 若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋（纵场）和无散（横场） 两部分，导出 E 和 B 的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋 部分对应于库仑场。 2. 利用 Maxwell 方程组导出线性均匀各向同性介质中电磁波方程，求出电 磁波在介质中传播的速度表达式。简述所得结果与经典物理学之间的矛盾。 3. 从Coulomb规范导出Lorentz规范的变换关系，并且证明它们之间的变 换关系满足规范变换不变性。 4. 试分析产生势函数,A非唯一性的原因，何谓势函数,A的规范和 规范变换。为什么在规范

15、变换下电磁场和方程保持不变性。 5. 设真空中矢势t , rA可用复数傅里叶展开为 k * kk jtjtt ,rkarkarA)exp()exp( 其中 * k a是的复共轭。 （1）证明展开系数 k a满足谐振子方程0 22 2 2 )t (ck dt )t (d k k a a （2）当选取规范0 A，0时，证明0 k ak （3） 把 E 和 B 用 k a和表 k a示出来。 6. 推迟势是DAlembert方程解的一部分， 导出DAlembert方程的全部解， 说明舍弃另外一部分的原因。分析并理解推迟势的物理意义， 7. 在静态电磁场中，电场和磁场的能量可以表示为 V e dVWr

16、r 2 1 , dVW V m rJrA 2 1 即静态电磁场的能量由电荷和电流与势函数确定， 而时变电磁场的能量则不能由 电荷和电流与势函数确定，分析产生这一差别的原因。 8. 说明Poynting矢量t , rS的物理意义。以同轴传输线为例，分析并证明电 磁场的能量是通过场传输的。 9. 由于初始条件描述困难，一般时变电磁场波动方程很难直接求解。我们 通过 Fourier 变换，将一般时变电磁场问题转变为时谐电磁场问题的求解。然而 实际应用中， 电磁场的初始状态总是存在的， 请思考如何处理初始条件及其影响。 10. 从电磁场与介质相互作用的机理，分析为什么不同频率的谐变电磁场 中介质的电磁特性参数 、有不同的数值。 11. 证明平面电磁波 rE k rHrkErE k j ，exp 0 中波矢量 k 的方向与能流密度矢量方向