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1、第二部分高考题型解法训练,专题七 立体几何解答题的解法,试题特点,专题七 立体几何解答题的解法,1.近三年高考各试卷立体几何考查情况统计 立体几何在每一年高考中都有一个解答题，这是不变的，主要考查空间位置关系（线线、线面及面面的平行与垂直）及空间量（线线角、线面角、面面角、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离），一般以三棱柱、四棱柱、三棱 锥、四棱锥作为考查的载体，当然，也有不规则几何体，如 2006湖南卷的八面体，2007江西卷的不规则体.,试题特点,专题七 立体几何解答题的解法,2.主要特点 (1)解答题的考查稳中求新，稳中求活. 解答题在考查中经常涉及的知识及题型有：证明“平
2、行”和 “垂直”，求多面体的体积，三种角的计算，有关距离的 计算，多面体表面积的计算.这类问题的解法主要是化归思 想，如两条异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，面 面距离转化为线面距离，再转化为点面距离等.但近几年来， 也推出了一些新题型，就是开放性试题，也是探索性的问题， 如2000年的第18题.,试题特点,专题七 立体几何解答题的解法,(2)依托知识，考查能力. 由于近几年加强了对能力的考查，因此应重视空间想象能力、逻辑思维能力、化归转化能力的培养，因高考数学是通过知识考能力，本章尤其突出的是空间想象能力，而空间想象能力并不是漫无边际的胡想，而应以题设为根据，以某一几何体为依托，这样
3、会更好的帮助你解决实际问题，提高解题能力. (3)一题两法，支持新课程改革. 立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用向量方法处理，又可用传统的几何方法解决，并且向量方法比用传统方法解决较为简单，对中学数学教学有良好的导向作用，符合数学教材改革的要求，有力地支持了新课程的改革.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,1.平行、垂直位置关系的论证 证明空间线面平行或垂直需要注意以下几点： (1)理清平行、垂直位置关系的相互转化,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,(2)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻 找证题思路. (3)立体几
4、何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅 助线(或面)是解题的常用方法之一. (4)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明 线线垂直时应优先考虑，应用时需要先认清所观察的平面 及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根 据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过 计算证明线线垂直也是常用方法之一.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,2.空间角的计算 主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算. (1)两条异面直线所成的角 平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一 条直线的平行线，常常
5、利用中位线或成比例线段引平行线. 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方 体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面 直线间的关系. 向量法：直接利用向量的数量积公式cos= （注意向量的方向）.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,(2)直线和平面所成的角 作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到 同一三角形中计算，或用向量计算. 用公式计算sin= (PM 直线l，M面,是l与 所成的角，n 是面的法向量）. (3)二面角 平面角的作法： ()定义法； ()三垂线定理及其逆定理法； ()垂面法.,应试策略,专题七
6、立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,平面角计算法： ()找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量 计算； ()射影面积法：cos= ； ()向量夹角公式：|cos|= ，n1,n2是两面的法向量. (是锐角还是钝角，注意图形和题意取舍）. *求平面的法向量：找；求：设a,b为平面内的任意两个 向量，n=(x,y,1)为的法向量, 则由方程组 ，可求得法向量n.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,3.空间距离的计算 (1)两点间距离公式
7、（线段的长度） |AB|= (A(xA,yA,zA),B(xB,yB,zB）) (2)求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂 线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点 到直线的距离.(可用向量法来计算),应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,(3)求两条异面直线间距离，一般先找出其公垂线，然后求其 公垂线段的长.在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为 线面距离求解（这种情形高考不作要求）. (4)求点到平面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知
8、平 面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂 线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离； 有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到 平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一 点上去求“点到平面的距离”.求直线与平面的距离及平面与 平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解.（向量 法： (N为P在面内的射影，M,n是面的 法向量）.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,1.（2007南通市模拟题）如图，已知矩形 ABCD， PA平
9、面ABCD，M、N分别是AB、 PC的中点，设 AB=a，BC=b，PA=c （1）建立适当的空间直角坐标系，写出A、 B、M、N点的坐标，并证明MNAB； （2）平面PDC和平面ABCD所成的二面角为 ，当为何值时（与a、b、c无关）， MN是直线AB和PC的公垂线段.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,解析 （1）证明：以A为原点，分别以AB、 AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间 直角坐标系.则A（0，0，0）， B（a，0，0），M（ ，0，0）， N（ ，
10、， ）. =（a，0，0）， =（0， ， ）. =0 ABMN.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,（2）P（0，0，c），C（a，b，0）， =（a，b，c）， 若MN是PC、AB的公垂线段，则 =0，,即 =0 b=c. PDA是二面角PCDA的平面角. PDA=45， 即二面角PCDA是45.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,点评 在高
11、考立体几何题中，利用向量法解题，正确建立空间 直角坐标系是解题的前提，同时也要熟悉向量法处理这 些问题的方法.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,2.（2007东北三校质检题）如图，在长方体ABCD A1B1C1D1 中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB上的动点. （1）证明D1EA1D； （2）若二面角D1ECD为45时，求EB的长.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖
12、析,专题七 立体几何解答题的解法,解析解法1：（1）证明：对长方体ABCDA1B1C1D1， 有AB平面AA1D1D， A1D 平面AA1D1D, ABA1D 由侧面AA1D1D是矩形且AD=AA1=1， A1DAD1， AD1AB=A， A1D平面ABD1， 又D1E 平面ABD1 D1EA1D,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,（2）过D作DGEC，垂足为G，连结D1G 对长方体ABCDA1B1C1D1，有D1D平面ABCD 根据三垂线定理有D1GEC， D1GD是
13、二面角D1ECD的平面角 二面角D1ECD为45，则D1GD=45， 又D1D=A1A=1 DG=1 在矩形ABCD中AB=2，AD=1 由SDEC= ECDG=1得EC=2, EB= =,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,解法2：（1）证明：对长方体ABCDA1B1C1D1， 以D为坐标原点，AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立 空间直角坐标系（如图所示）. 由AD=AA1=1，AB=2， 点E是棱AB上的动点，设BE=m. D（0，0，0），D1（0，0，1
14、） A1（1，0，1），E（1，2m，0）， C（0，2，0） （1） =(1,2m,1), =(1,0,1), = 1+1=0 ,即D1EA1D,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,（2）D1D平面ABCD， 平面ABCD的法向量 =(0,0,1) 设平面D1EC的法向量为n=(x,y,z), 由n 得n =0 又 =(0,2,1)2yz=0 又 =(1,2m,1), x+(2m)yz=0 取y=1，z=2，x=m n=(m,1,2) 二面角D1ECD为45 n=| |
15、n|cos45 即2= , 解得m= ,即EB=,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,点评 本题第1问事实上是考查三垂线定理，当然也可用线 面垂直来证，在第二问的处理中，如果用非向量的方法， 画分图是一个常用的方法，这样由于空间位置关系的失真 可以避免出错.画分图就是将空间图形中的某一个平面画 出来，然后用平面几何的相关知识来求边与角的信息.,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,应试策略,专题七 立体几何解答题的解法,考题剖析,专题七 立体几何解答题的解法,3.（2007岳阳市模拟题）如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点， （1）求证：ACBC1； （2）求证：AC 1平面CDB1.,证明解法1： （1）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长 AC=3，BC=4，AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC内的 射影为BC， ACBC1； （2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点， E是BC1的中点， DEAC1， DE 平面CDB1， AC1 平面CDB1， AC1平面CDB1；,考题剖析
