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1、第三章函数的应用,3.1函数与方程,3.1.1方程的根与函数的零点,方程的根与函数的零点,做一做1已知函数f(x)在区间-5,2上的图象如图所示,根据图象写出方程f(x)=0的根是.,答案:-4,-2,1,做一做2函数y=x2-1的零点是. 答案:1,-1,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)函数f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点.() (2)在闭区间a,b上连续的曲线y=f(x),若f(a)f(b)0,则函数y=f(x)在 区间(a,b)内没有零点. () 答案:(1)(2)(3),探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一求函数
2、的零点,【例1】判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点. (1)f(x)=-8x2+7x+1; (2)f(x)=1+log3x; (3)f(x)=4x-16; (4)f(x)= . 分析:可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究二判断函数零点的个数,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:(方法一)f(0)=1+0-2=-10, f(x)在区间(0,2)内必定存在实根. 又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+)上为增函数,故f(x)有
3、且只有一个零点. (方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示.,由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点, 即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练2判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数. 解:(方法一)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x. 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.,由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个
4、交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点. (方法二)因为f(3)=ln 30,f(2)=-1+ln 2=ln 0, 所以f(3)f(2)0,说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点. 又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+)上是增函数,所以原函数只有一个零点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究三判断函数的零点所在的大致区间,【例3】方程log3x+x=3的解所在的区间为() A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 分析:构造函数f(x)=log3x+x-3,转化为确定函数f(x)的零点所在的区间. 解析:令f(x)=log3x+x-3,
5、则f(1)=log31+1-3=-20,f(4)=log34+4-3=log3120,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2,3). 答案:C,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,函数与方程思想在一元二次方程根的分布问题中的应用 典例关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时: (1)方程有一个正根和一个负根; (2)方程的两个根都大于1. 【审题视角】 题意画草图转换为数量关系求解 解:令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1. (1)当方程有一个正根和一
6、个负根时,f(x)对应的草图可能如图,所示.,图,探究一,探究二,探究三,思想方法,图,探究一,探究二,探究三,思想方法,图,图,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,图,图,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,2.若x0是方程ln x+x=4的解,则x0所在的区间是() A.(0,1)B.(1,2) C.(2,3)D.(3,4) 解析:设f(x)=ln x+x-4,则f(1)=-30, f(4)=ln 40,则x0(2,3). 答案:C,1 2 3 4 5,3.若函数f(x)=x2+2x+a
7、没有零点,则实数a的取值范围是. 解析:函数f(x)=x2+2x+a没有零点,就是方程x2+2x+a=0没有实数解, 所以=4-4a1. 答案:(1,+),1 2 3 4 5,4.函数y=2|x|+x-2的零点的个数为. 解析:令2|x|+x-2=0,得2|x|=2-x. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2|x|与函数y=2-x的图象,如图,图象有2个交点,即方程2|x|+x-2=0有2个实数根,也就是函数有2个零点.,答案:2,1 2 3 4 5,5.若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是3,求实数a的值,并求函数f(x)的其余零点. 解:由题意知f(3)=0,即32+3-a=0,解得a=12. 所以f(x)=x2+x-12. 由x2+x-12=0,得x=3或x=-4, 所以函数f(x)的其余零点是-4.,
