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1、数学第三册（选修I）,导数的背景,早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果微积分的产生。 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，牛顿是从运动学角度，莱布尼兹是从几何学角度来研究微积分的。可以说，微积分靠解析几何的帮助，成为十七世纪发现的最伟大的数学工具，以后，微积分得到了广泛的应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题。这一问题还与历法、农业密切相关。,来自于生产生活实际和科学研究的许多问题，常常遇到一些求什么条件下可以使材料最省、时间最少
2、、效率最高等问题。这些问题都可以归结为求函数的最大值与最小值。,学习导数与微分是解决上述问题的有力工具。,问题：超市货品架上的罐装饮料（圆柱形），当圆柱形罐的容积V一定时，如何选取圆柱的底半径，能使所用材料最省？,一.瞬时速度,已知物体作变速直线运动,其运动方程为ss(t)(表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度,如图设该物体在时刻t0的位置是(t0)OA0,在时刻t0 +t 的位置是s(t0+ t)=OA1,则从t0 到 t0 +t 这段时间内,物体的位移是:,在时间段( t0+Dt) t0 = Dt 内，物体的平均速度为:,问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？,平
3、均速度反映了物体运动时的快慢程度程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.,如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到 t+t这段时间内，当 t0 时平均速度:,例1:物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间2,2.1上的平均速度； (2) 物体在时间区间2,2.01上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.,解:,(1)将 t=0.1代入上式，得:,(2)将 t=0.01代入上式，得:,即物体在时刻t0=2(
4、s)的瞬时速度等于20(m/s). 当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).,练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)2t2+t这段时间内的平均速度,这里t取值 范围为1; (2)t=2时刻的瞬时速度.,一、物理意义瞬时速度,当 越来越小的时候， 越来越接近某时刻的瞬时速度,在物理学中，我们学过平均速度,二.边际成本,问题二：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为 ，我们来研究当q50时， 产量变化对成本的影响,在本问题中，成本的增量为：,产量变化对成本的影响可用： 来刻划， 越小， 越接近300；,当 无限趋近于
5、0时， 无限趋近于300，我们就说 当 趋向于0时， 的极限是300.,我们把 的极限300叫做当q50时 的边际成本.,一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C C（q），当产量为 时，产量变化对成本的影响可用增量 比 刻划.如果 无限趋近于0时， 无限趋近于常数A， 经济学上称A为边际成本.它表明当产量为q0时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.,二、实际应用边际成本,我们研究函数增量与自变量的关系：,如果 无限趋于0时， 无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本，它表明当产量为 时，增加单位产量需付出成本A,引入,问题:曲线y=x2+1在点P(1,
6、2)处的切线方程是什么?,法一:判别式法,引入,问题:曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线方程是什么? 法二:函数极限法,3.曲线的切线,如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM/x轴,QM/y轴,为PQ的 倾斜角.,P,Q,割线,切线,T,请看当 点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处
7、的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.,因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.,例2:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求 过点P的切线的倾斜角和切线方程.,故
8、过点P的切线方程为:y-2=1(x-1),即y=x+1.,练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.,答案:y=3x-4.,二、小结,1、瞬时速度是平均速度 当 趋近于0时的极限； 2、切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率 当 趋近于0时的极限； 3、边际成本是平均成本 当 趋近于0时的极限.,导数的概念,从上面三个实例,一个是曲线的切线的斜率,一个是瞬时速度,具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数 学表达式结构是一样的,即计算极限 ,这就是我们要学习的导数的定义.,定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量x时函数有相应的改变量y=f(x0+
9、 x)- f(x0).如果当x0 时,y/x的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:,如瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.,是函数f(x)在以x0与x0+x 为端点的区间x0,x0+x(或x0+x,x0)上的平均变化率,而导数则是函数f(x)在点x0 处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度,如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处不可导.,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可
10、负. 自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择 哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,如果函数yf(x)在区间(a,b)内每一点都可导,就说函数yf(x)在区间(a,b)内可导.这时,对每一个x(a,b)都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间(a，b)内就构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数f(x)在区间(a,b)内的导函数,记作 ,即:,在不致发生混淆时，导函数也简称导数,如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数在点x0处连续,求函数y=f(x)的导数可分如下三步:,4.导数的几何意义
11、,函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是 .,故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:,例1:设f(x)为可导函数,且满足条件 , 求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.,故所求的斜率为-2.,例2:如图,已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,例2:设函数f(x)在点x0处可导,求下列
12、各极限值:,分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定 义中,自变量的增量x的形式是多样的,但不论x 选择哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:,6.小结,a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增 量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。,c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数
13、”、“导函数”、“导数” 之间的区别与联系。,（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。,（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 。,（3）如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都可导, 就说函数yf(x)在开区间(a,b)内可导，这时， 对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一 个确定的导数 ，这样就在开区间(a,b)内 可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。,（4）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。,（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,求切线方程的步骤：,
